1、2018 苏锡常镇二调试卷 第 1 页 共 13 页2017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数 学 试 题 2018.5注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题第 14 题）、解答题（第 15 题第 20 题）两部分本 试卷满分 160 分，考试时间为 120 分钟2答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的指定位置3答题时，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在答题 卡的指定位置，在其他位置作答一律无效4如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚5请保
2、持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔方差公式： ，其中 22221()()()nsxxxn 12()nxxn一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上1 若复数 满足 是虚数单位 ，则 的虚部为 z(1+i)=2)z2 设集合 ， 其中 ，若 ，则实数 4A， (Ba， 0ABa3 在平面直角坐标系 中，点 到抛物线 的准线的距离为 xOy4)P， 28yx4 一次考试后，从高三（1）班抽取 5 人进行成绩统计，其茎叶图如图所示，则这五人成绩的方差为 7 88 2 4 49 2（第 4
3、 题图） （第 5 题图）S2xx2S1输出 S结束开始输入 xx1Y N（第 6 题图）5 如图是一个算法流程图，若输入值 ，则输出值 的取值范围是 02x， S6 欧阳修在卖油翁中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿” ，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径 4 厘米，中间有边长为 1 厘米的正方形小孔，随机向2018 苏锡常镇二调试卷 第 2 页 共 13 页铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计） ，则油恰好落入孔中的概率是 7 已知函数 在 时取得最大值，则 ()sin)(02)fxx8 已知公差为 的等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 dnanS1
4、0541ad9 在棱长为 2 的正四面体 中， ， 分别为 ， 的中点，点 是线段 上一点，PABCMNPABCDPN且 ，则三棱锥 的体积为 PDND10 设 的内角 ， ， 的对边分别是 ，且满足 ，则 ABCabc， ， 3cos5abActanB 11 在平面直角坐标系 中，已知圆 ，点 ，若圆 上存在点 ，满足xOy2:(1)Cxy(20)， CM，则点 的纵坐标的取值范围是 210MAM12 如图，扇形 的圆心角为 90，半径为 1，点 是圆弧 上的动点，作点 关于弦 的对称BPABPAB点 ，则 的取值范围为 QP13 已知函数 若存在实数 ，1(|3|)0)2lnxf， ， ，
5、 abc满足 ，则 的最大值()()fabfc()()afbfcf是 14 已知 为正实数，且 ，则 的最小值为 ， 234()1a二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 中， ， ，点 为棱 的中点PABCD90CBDEPB（1）若 ，求证： ；（2）求证： /平面 EA BCDPE（第 15 题图）QPOBA（第 12 题图）2018 苏锡常镇二调试卷 第 3 页 共 13 页16 （本小题满分 14 分）在 中，三个内角 ， ， 的对边分别为 ，设 的面积为 ，且A
6、BCABCabc， ， ABCS.2243()Sacb（1）求 的大小；（2）设向量 ， ，求 的取值范围(sin3cos)，m(32cos)，nmn17 （本小题满分 14 分）下图（I）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（II ）所示的数学模型索塔 ， 与桥面 均垂直，通过测量知两索塔的高度均为 60m，桥面 上一点ABCDA AC到索塔 ， 距离之比为 ，且 对两塔顶的视角为 P21:4P135（1）求两索塔之间桥面 的长度；（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数
7、为正数 ） ，且与该处到索塔的距离的平方成反a比（比例系数为正数 ） 问两索塔对桥面何处的 “承重强度 ”之和最小？并求出最小值b18 （本小题满分 16 分）如图，椭圆 的离心率为 ，焦点到相应准线的距离为 1，点 ， ， 分21(0)xyab2ABC别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点 的直线 交椭圆于点 ，交 轴于点 ，直线ClDx1(0)Mx，与直线 交于点 ACBD2()Nxy，（1）求椭圆的标准方程；（2）若 ，求直线 的方程；Ml（第 17 题图（） ） （第 17 题图（） ） P DCBAN DMCBAyxO（第 18 题图）2018 苏锡常镇二调试卷 第 4 页 共 13
8、 页（3）求证： 为定值 12x19 （本小题满分 16 分）已知函数 R32()1fxabx， ，（1）若 ，20b 当 时，求函数 的极值（用 表示） ；()fxa 若 有三个相异零点，问是否存在实数 使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出()fx的值；若不存在，请说明理由；a（2）函数 图象上点 处的切线 与 的图象相交于另一点 ，在点 处的切线为 ，直线()fA1l()fxB2l的斜率分别为 ，且 ，求 满足的关系式1l， 12k， =4kab，20 （本小题满分 16 分）已知等差数列 的首项为 1，公差为 ，数列 的前 项和为 ，且对任意的 ，nadnbnS*nN恒成立692nS
9、b（1）如果数列 是等差数列，证明数列 也是等差数列；nSn（2）如果数列 为等比数列，求 的值；12nbd（3）如果 ，数列 的首项为 1， ，证明数列 中存在无穷多项可表3dnc1(2)nncbna示为数列 中的两项之和nc2018 苏锡常镇二调试卷 第 5 页 共 13 页2017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学（附加题） 2018.5注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本 试卷只有解答题，供理工方向考生使用本试卷第 21 题有 A，B，C，D 4 个小题供选做，每位考生在 4个选做题中选答 2 题若考生 选做了 3 题或 4 题，
10、则按选做 题中的前 2 题计分第 22，23 题为必答题每小题 10 分，共 40 分考试时间 30 分钟考试结束后，请将答题卡交回.2. 答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用 0.5 毫米黑色墨水的 签字笔填写在答题卡的规定位置3答题时，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在答题 卡的指定位置，在其他位置作答一律无效4如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚5请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔21 【选做题】在 A，B，C，D 四小题中只能选做两题，每小题 10分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明
11、、证明过程或演算步骤A选修 41：几何证明选讲如图所示， 为 的直径， 平分 交 于OAEBCOE点，过 作 的切线交 于点 ，求证 EDB选修 42：矩阵与变换已知矩阵 的一个特征值为 3，求 1xM=1MC选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，圆 的参数方程为 为参数 以原点 为极点，以xOyC32cos(inxty， )O轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 ，已知圆心 到直x l (4aRC线 的距离等于 ，求 的值l2aD选修 45：不等式选讲2018 苏锡常镇二调试卷 第 6 页 共 13 页已知实数 满足 ， ，求证： abc， ， 21bc221abc2
12、13c【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22 （本小题满分 10 分）甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为 ，乙、丙13做对该题的概率分别为 ，且三位学生能否做对相互独立，设 为这三()mn， X位学生中做对该题的人数，其分布列为：X 0 1 2 3P 13a b 16（1）求 的值；mn，（2）求 的数学期望X23 （本小题满分 10 分）已知函数 21()5)(R)nfxxN，（1）当 时，若 ，求实数 的值；2n5fA（2）若 ，求证： ()(01)fm， ()1
13、m2018 苏锡常镇二调试卷 第 7 页 共 13 页2017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）参考答案一、填空题：1 2 3 4 5420.801，6 7 8 9 1042411 12 13 142， 1， 2e12二、解答题15 证明：（1）取 的中点 ，连结 ，BDOCP，因为 ，所以 为等腰三角形，所以 2 分CBDCO因为 ，所以 为等腰三角形，所以 4 分PP又 ，所以 平面 6 分O因为 平面 ，所以 7 分（2）由 为 中点，连 ，则 ，EBEOP又 平面 ，所以 平面 9 分PAD AD由 ，以及 ，所以 ，90C又 平面 ，所以 平面 11 分COO P又
14、 ，所以平面 平面 ， 13 分=EE AD而 平面 ，所以 平面 14 分C16解（1）由题意，有 ， 2 分2214sin3()2acBacb则 ，所以 4 分sin3bBiosB因为 ，所以 ，0cos0所以 ta2018 苏锡常镇二调试卷 第 8 页 共 13 页又 ，所以 6 分0B3（2）由向量 ， ，得(sin2cos)A，m(32cos)A，n8 分3i6i in(2)34 An=由（1）知 ，所以 ，所以 B3C03所以 10 分12()42，所以 12 分sinA，所以 即取值范围是 14 分 632，m632，17解（1）设 ， ，记 ，则1Pt4(0)Bt， =APBC
15、D， 2 分015tan=an27tt，由 ， 4 分215an7t()t45301tt化简得 ，解得 或 （舍去） ， 2730ttt157t所以， 6 分250ACP答：两索塔之间的距离 AC=500 米（2）设 AP=x，点 P 处的承重强度之和为 .()Lx则 ，且 ， 22()60(5)abLxx0,5即 9 分221,()（注：不写定义域扣 1 分）记 ，则 ， 11 分22(),(05)(50)lxx332()(50)lxx令 ，解得 ，当 ， ， 单调递减；(,)(l()l当 ， ， 单调递增；250x0x所以 时， 取到最小值， 也取到最小值 . 13 分()l()Lx631
16、25ab答：两索塔对桥面 AC 中点处的 “承重强度”之和最小，且最小值为 . 14 分63125ab18. 解（1）由椭圆的离心率为 ，焦点到对应准线的距离为 1.22018 苏锡常镇二调试卷 第 9 页 共 13 页得 解得 2 分21ca， ， 2ac，所以，椭圆的标准方程为 . 4 分21xy（2）由（1）知 ，设 ，(0,1)C0(,)D因为 ， 得 ，所以 ， 6 分M2y2y代入椭圆方程得 或 ，所以 或 ，06x61(,)61(,)2D所以 的方程为： 或 . 9 分l 12y2yx（3）设 D 坐标为(x 3，y 3）,由 ，M (x1，0)可得直线 的方程 ， (0,)CC
17、M1yx联立椭圆方程得： 解得 , . 12 分12xy， 1324x213xy由 ，得直线 BD 的方程： ， (2,0)B21(2)4yxx直线 AC 方程为 ， 21yx联立得 ， 15 分21x从而 =2 为定值 . 16 分1解法 2：设 D 坐标为(x 3，y 3） ，由 C,M,D 三点共线得 ，所以 ， 10 分131x31xy由 B,D,N 三点共线得 ，将 代入可得23=y221， 12 分322xy和相乘得，23333122=2xyxyxyx. 16 分233()xx19. 解：（1）由 及 ，2(fab02得 ， 1 分2()3fx2018 苏锡常镇二调试卷 第 10
18、页 共 13 页令 ，解得 或 .()0fx3ax由 知， ， 单调递增，a(,)(0f， )(xf， 单调递减， ， 单调递增，(,)3xfx， ,)(03afx， )(f3 分因此， 的极大值为 ， 的极小值为 .)(f 3()1fa)(xf35()127af4 分 当 时， ，此时 不存在三个相异零点；0ab3()fx当 时，与同理可得 的极小值为 ， 的极大值为 . 3()1fa)(xf35()127af要使 有三个不同零点，则必须有 ，)(xf 351027即 . 6 分332715a或不妨设 的三个零点为 ，且 ，)(xf 321,x321x则 ，123()0f， 31()fa， 22xx， 33()0f-得 ，2 2211121)()()()0axxax因为 ，所以 ， 0xx8 分同理 ， 22233()0a-得 ，1131()()0xxxax因为 ，所以 ， 9 分3023又 ，所以 . 10 分12所以 ，即 ，即 ，()3af229a371a因此，存在这样实数 满足条件. 12 分31（2）设 A（m，f(m) ）,B(n， f(n)，则 ， ，bamk231 bank232又 ，mnak )()()23113 分由此可得 ，化简得 ，bnba)(2322 a2因此， ， 15 分amamk 2281)()(
