1、1第一章1.1 集合1. 关于集合的元素的特征（1）确定性（组成元素不确定的如：我国的小河流）（2）互异性（3）无序性集合相等：构成两个集合的元素完全一样(1)若集合 A 中的元素与集合 B 中的元素完全相同则称集合 A 等于集合 B,记作 A=B.(2) B,例：已知 A=1,1+d，1+2d，B=1 ，q，q 2，若 A=B，求的，d，q 的值。解：d= ，q=34 122. 元素与集合的关系；（1）如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于（belong to）A ，记作 aA（2）如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于（not belong to）A ，记作 a A子集与真
2、子集：如果集合 A 中的每一个元素都是集合 B 中的元素，那么集合 A 叫做集合 B 的子集，记作 或 .B若集合 P 中存在元素不是集合 Q 的元素，那么 P 不包含于 Q，或 Q 不包含 P.记作Q若集合 A 是集合 B 的子集，且 B 中至少有一个元素不属于 A,那么集合 A 叫做集合 B 的真子集. 或 .A子集与真子集的性质：传递性：若 ， ，则CA空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.3. 常用数集及其记法非负整数集（或自然数集） ，记作 N正整数集，记作 N*或 N+；整数集，记作 Z有理数集，记作 Q实数集，记作 R4. 集合的表示方法（1） 列举法：把集合中的元素一一
3、列举出来，写在大括号内。如：1 ，2， 3，4，5 ，x 2，3x+2，5y 3-x，x 2+y2，；（2） 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或2变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。如：x|x-32，(x,y)|y=x 2+1，直角三角形，；（3） 自然语言描述法：小于 10 的所有正偶数组成的集合。 （2,4,6,8）问：1、1 ， 3，5，7，9如何用自然语言描述法表示？ 2、用例举法表示集合 |18AxN练习：（1）已知集合 M=a，b，c中的三个元素可构成某一三角形的三
4、条边，那么此三角形一定不是（ ）A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形5. 集合间的基本运算并集（）：一般的由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，成为集合 A 与 B 的并集，记作 AB，即：|,x或,韦恩图如下：交集（）：一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为 A 与 B 的交集，记作 AB，即：|,.ABx且韦恩图如下：全集（U）：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就成这个集合为全集，记为 U。补集：对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U
5、的补集，简称为集合 A 的补集，记作 CUA，即CUA =x xU 且 xA，韦恩图如下：练习：1、若 A=0，2，4，C UA=-1，2， C UB=-1，0，2，求 B= 。2、设 A=x|x-2,B=x|x0,A=1,3,5,7,9,B=1,4,7,10，且，试求 p、q；X,X8、已知集合 A=a+2，(a+1) 2，a 2+3a+3，且 1A，求实数 a 的值9、已知集合 A=x|x25x6=0，B=x|mx1=0，AB=A，求实数 m 的值组成的集合。10、集合 A=x|x2|2，xR，B=y|y=x 2，1x2，则 CR(AB)等于（）A.R B.x|xR，x0 C.0 D. （
6、 空 集 ）11、 已 知 a， b A，且 A 为a，b，c，d，e的真子集，则满足条件的集合 A的个数是（）12、记函数 f（x）=lg（2x3）的定义域为集合 M，函数 g（x）= 的定12 1义域为集合 N，求：（1）集合 M、N；（2）集合 mN，MN13、已知集合 A=x|xa|1，B=x|x 25x40，若 AB= ， 则 实 数 a的 取 值 范 围 是 （ ）41.2 函数函数概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个
7、函数。记作： y=f(x)， xA其中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 f(x)| xA 叫做函数的值域构成函数的三要素：定义域、对应关系、值域区间：（1）、开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）、无穷区间；区间的数轴表示例 1：已知函数 f (x) = + ，求函数的定义域。321x例 2：设一个矩形周长为 80，其中一边长为 x，求它的面积关于 x 的函数的解析式，并写出定义域。函数的定义域小结：（1）如果 f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集 R .（2）如果 f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于
8、零的实数的集合 .（3）如果 f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.（4）如果 f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）（5）满足实际问题有意义.例 3：下列函数中哪个与函数 y=x 相等？（1） y = ( )2 ; （2） y = ( ) ;x3x（3） y = ; （4） y= =242练习：1.求下列函数的定义域（1）y= 12 | 2 1（2） y=（ | ）（3）已知 f（x）的定义域为（1,1），求函数 F（x）=f（1x）f（ ）的1定义域。2.已知 A=1,2,3，k，B
9、=4,7，a 4，a 23a，aN *，xA，yB，f：xy=3x+1 是从定义域 A 到值域 B 的一个函数，求a，k，A，B。解：a=2，k=5，A=1,2,3,5，B=4,7,16,10映射：一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射1 25记作“ f：AB”说明：（1）这两个集合有先后顺序，A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射是截然不同的，其中 f表示具体的对应法则，可以用多种形式表述（2）“都有唯一”包含两层意
10、思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思例：1.已知 A=x，y，B=a，b，c，从集合 A 到集合 B 的所有不同的映射有（）个。2. 已知 A=x，y，B=a，b，c，从集合 B 到集合 A 的所有不同的映射有（）个。函数的表示方法：解析法、列表法、图像法练习：1.已知 f（x2）=2x 29x13，求 f（x）配凑法答案：f（x）=2x 2x32.已知 f（ 1）=x2 ，求 f（x1），f（x 2）换元法 答案：f（x1）=x 22x，（x0）；f（x 2）=x 41，（x1 或 x1）3.已知 f（x）是一次函数，且有 ff（x）=9x8，求 f（x）待定系数法答案
11、：f（x）=3x2 或 f（x）=3x44.设 f（x）满足关系式 f（x）2f（ ）=3x，求 f（x）消元法1答案：f（x）= x，xx|xR，x026.已知 x0，函数 f（x）满足 f（x ）=x 2 ，则 f（x）的表达式为（）1 1x2A.f（x）=x B.f（x）=x 22 C.f（x）=x 2 D.f（x）=（x ） 21 17.已知函数 f（x）= ，那么 f（5）的值为（）2，（ 4）（ 1） ，（ 4） A.32 B.16 C.8 D.648.若函数 f（2x1）x 22x，则 f（3）=（）9.已知函数 f（x）= ，则 f（1）f（2）f（ ）f（3）f（ ）21 2
12、 12 13f（4）f（ ）的值为（）1410.已知 f（ 1）=lgx，求 f（x）211.已知 f（x）是二次函数，且 f（0）=0，f（x1）=f（x）x1，求f（x）12.定义在（1,1）内的函数 f（x）满足：2f（x）f（x）=lg（x1），求函数 f（x）的解析式.61.3 函数的基本性质增函数：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x 2，当 x1b ）3()82()144(3)2()ab解： ； ；2()10 ；433 .2abba随堂练习1. 求出下列各式的值(a1)473 43()2()(1(3)a解：
13、（1） ； （2 ）（3 ） 3a-344a【例 3】 ：求值： 63125.2)( ;24371分析：（1）题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质；解：9负 去 掉 绝 对 值 符 号 。上 绝 对 值 ， 然 后 根 据 正注 意 ： 此 题 开 方 后 先 带2)2(33| )()( )2(2)3(2)2(3246765)1( 奎 屯王 新 敞新 疆632323315.)(26626随堂练习2若 。21,aa求 的 取 值 范 围解： 3计算 34334(8)(2)()解：-9+第二节1、分数指数幂规定：（1）、正数的正分数指数幂的意义为： *(0,)mnanN正数的
14、负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.即： *1(,)nma（2 ）、 0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂无意义 .2、分数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质，对于分数指数幂同样适用，即：（1 ） (0,)rsrsaQ（2 ） ()S（3 ） ）rbbrr ,、无理指数幂10思考：若 0，P 是一个无理数，则 该如何理解？apa自主学习：学生阅读教材第页中的相关内容归纳得出： 的不足近似值，从由小于 的方向逼近 ， 的过剩近似值从大222于 的方向逼近 。所以，当 不足近似值从小于 的方向逼近时， 的近似25值从小于 的方向逼近 .525当 的过剩似值从大于 的方向逼近 时，
15、的近似值从大于 的方向逼近252，(如课本图所示) 所以， 是一个确定的实数.2 2总结：一般来说，无理数指数幂 是一个确定的实数，有理(0,)pa是 一 个 无 理 数数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂. 这样幂的性质就推广到了实数范围(0,)rsrsaRs(),rrba练习：轻松过关、下列式子中计算正确的是（ D ）A B C D42x63x623x4293a2 下列式子中计算正确的有（ A ）（） ；（） （）a1 61a11abnnA 0 B 1 C 2 D 3、 的值是（ ）33 、下列说法正确的是（ ） 无意义 252542.141.552、用计算器算 ；（保留个有效数字）.10、已知 ，则 ；32121a1a、计算 的值5922(9)解：原式 51310适度拓展、化简： （e=2.718 ）442323ee解：原式 + = 9、已知 求 的值,1a3a
