1、高二数学双曲线试题一：选择题1双曲线 的离心率为 2，有一个焦点与椭圆 的焦点重合，210xymn2165xy则 m 的值为（ ）A B C D【答案】A2以 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（ ）142yxA B C D26162yx1462yx1642yx【答案】A3设 分别是双曲线 的两个焦点，P 是该双曲线上的一点，且12F、23yx，则 的面积等于（ ）|4|P12PF（A） （B） （C） （D）5553210【答案】B4.已知双曲线的中心在坐标原点，两个焦点为 F1（ ， 0） ，F 2（ ，0） ，点 P 是此双曲线上的一点，且 =0，| | |=4，该双曲线的标准方程是（
2、 ）AB C D解：设双曲线的方程为： =1，两焦点 F1（ ，0） ，F 2（ ，0） ，且 =0， ，F1PF2 为直角三角形， P 为直角； + = = =28；又点 P 是此双曲线上的一点，|PF1|PF2|=2a， + 2|PF1|PF2|=4a2，由| | |=4 得|PF 1|PF2|=4， + 8=4a2，由得：a 2=5，又 c2= =7，b2=c2a2=2双曲线的方程为： =1，故选 C5.已知双曲线 E 的中心为原点，P（3，0）是 E 的焦点，过 P 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且 AB 的中点为 N（ 12，15） ，则 E 的方程式为（ ）AB C D
3、解：由已知条件易得直线 l 的斜率为 k=kFN=1，设双曲线方程为 ，A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则有 ，两式相减并结合 x1+x2=24，y 1+y2=30 得= ，从而= =1即 4b2=5a2，又 a2+b2=9，解得 a2=4，b 2=5，故选 B6.已知椭圆 和双曲线 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ）A x=B y= C x= D y=解： 椭圆和双曲线有公共焦点3m25n2=2m2+3n2，整理得 m2=8n2， =2双曲线的渐近线方程为 y= = x故选 D7.已知中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的离心率 ，其焦点到渐近线的距离为 1，则此双
4、曲线的方程为（ ）A y2=1 B =1C y2=1 D x2y2=1解：设双曲线的方程为 ，渐近线方程为双曲线的离心率 ，其焦点到渐近线的距离为 1， ， =1b=1，a=双曲线的方程为 y2=1故选 A8.已知抛物线 y2=8x 的准线与双曲线 相交于 A，B 两点，点F 是抛物线的焦点，若双曲线的一条渐近线方程是 ，且FAB 是直角三角形，则双曲线的标准方程是（ ）AB C D解：依题意知抛物线的准线 x=2代入双曲线方程得y= 双曲线的一条渐近线方程是 ， 则不妨设 A（ 2， ） ，F （2，0）FAB 是等腰直角三角形， =4，解得： a= ，b=4c2=a2+b2=2+16=20
5、，双曲线的标准方程是故选 C9.已知椭圆 的离心学率为 .双曲线 的渐近线与椭2:1(0)xyab3221xy圆 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆 的方程为C（A） （B） （C） （D）28xy216xy21642105【答案】D【解析】因为椭圆的离心率为 ，所以 ，2323ace， ，所以 ，即 ，双曲线的渐近线为243ac2bac24124b，代入椭圆得 ，即 ，所以xy2x522xbx， ， ，则第一象限的交点坐标为b5,424yy，所以四边形的面积为 ，所以 ，所以),5(b 165252bb52b椭圆方程为 ，选 D.1520yx10.设 F1，F 2
6、分别是双曲线 的左、右焦点若双曲线上存在点 A，使F1AF2=90，且|AF 1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（ ）AB C D解：设 F1，F 2 分别是双曲线 的左、右焦点若双曲线上存在点 A，使F 1AF2=90，且|AF 1|=3|AF2|，设|AF 2|=1，|AF 1|=3，双曲线中 2a=|AF1|AF2|=2， ，离心率 ，故选 B11.设双曲线的个焦点为 F；虚轴的个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）AB C D解：设双曲线方程为 ，则 F（c，0） ，B（0，b）直线 FB：bx+cybc=0 与渐近线 y= 垂直，所以
7、 ，即 b2=ac所以 c2a2=ac，即 e2e1=0，所以 或 （舍去）12已知双曲线 的右焦点为 F，若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个214xy交点，则此直线斜率的取值范围是( C )A. B. C. D.3,)(3,)3,3,【 答 案 】 C13.如图，F 1,F2 分别是双曲线 C： （a,b0）的左、右焦点， B 是虚轴的端点，21xyab直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P,Q 两点，线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交与点 M，若|MF 2|=|F1F2|,则 C 的离心率是A. B。 C. D. 3623【答案】B【解析】由题意知直线 的方程为： ，联
8、立方程组 得点 QBF1bxcy0,byaxc，联立方程组 得点 P ，所以 PQ 的中点坐标为),(acb0,byaxc),(c，所以 PQ 的垂直平分线方程为： ，令 ，得),(2b )(22bax0y，所以 ，所以 ，即 ，所以)1(2acxcbac3)1(222ca23c。故选 B6e14.过双曲线 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l，若 l 与双曲线 M 的两条渐近线分别相交于点 B，C，且|AB|=|BC|，则双曲线 M 的离心率是（ ）AB C D解：过双曲线 的右顶点 A（1，0）作斜率为 1 的直线 l：y=x1，若 l 与双曲线 M 的两条渐近线 分别相交于点 B（x
9、1，y 1） ，C（x 2，y 2） ，联立方程组代入消元得（b 21）x 2+2x1=0， ，x1+x2=2x1x2，又|AB|=|BC|，则 B 为 AC 中点，2x 1=1+x2，代入解得 ，b2=9，双曲线 M 的离心率 e= ，故选 A二：填空题15以双曲线 的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆方程是 解：双曲线 的顶点为（0，2）和（0，2） ，焦点为（ 3，0）和（3，0） 椭圆的焦点坐标是（0， 2）和（0，2） ，顶点为（3，0 ）和（3，0） 椭圆方程为 故答案： 16.已知双曲线 C ： - =1 的焦距为 10 ，点 P （2,1）在 C 的渐近线上，则 C 的方程2xayb
10、为 .【解析】设双曲线 C ： - =1 的半焦距为 ，则 .2xyc210,5c又 C 的渐近线为 ，点 P （2,1）在 C 的渐近线上， ，即 .ba 2baAb又 ， ， C 的方程为 - =1.22ca5,20x5y17 已知双曲线 的一条渐近线方程是 ，它的一个焦点与抛物线 y2=16x 的焦点相同则双曲线的方程为 解：由双曲线渐近线方程可知 因为抛物线的焦点为（4，0） ，所以 c=4又 c2=a2+b2联立，解得 a2=4，b 2=12，所以双曲线的方程为 故答案为 18已知双曲线 C 过点 ，一条渐近线方程为 ，双曲线 C 的标准方程为 解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为
11、 ，设双曲线方程为 =（0） ，双曲线过点 ， =，即 =1所求双曲线方程为故答案为： 19.若双曲线 的左、右焦点分别为 F1，F 2，线段 F1F2 被抛物线y2=2bx 的焦点分成 5：3 两段，则此双曲线的离心率为 解： 抛物线 y2=2bx 的焦点 F（ ，0） ，双曲线 =1（ab0）左、右焦点F1（c， 0） ，F 2（c ，0） ，又线段 F1F2 被抛物线 y2=2bx 的焦点分成 5：3 两段， = ，即 = ，c=2b；又 c2=a2+b2=4b2，a2=3b2，此双曲线的离心率 e2= = = ，e= = 故答案为： 20.已知双曲线 =1（a 0，b0）的渐近线与圆
12、x2+y24x+2=0 有交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 解：由圆 x2+y24x+2=0 化为（x 2） 2+y2=2，得到圆心（2，0） ，半径 r= 双曲线 =1（a0，b0）的渐近线 与圆 x2+y24x+2=0 有交点， ，化为 b2a2 该双曲线的离心率的取值范围是 故答案为 三：解答题21已知双曲线 的离心率 ，过 的直线到原点的距离12byax32e),0(,bBaA是 （1）求双曲线的方程；（2）已知直线 交双曲线于不同的点.3 5kxyC，D 且 C， D 都在以 B 为圆心的圆上，求 k 的值.解：（1） 原点到直线 AB： 的距离,3ac 1ba.3,1.22ab
13、cbd故所求双曲线方程为 .1yx（2）把 中消去 y，整理得 352ky代 入.078)(2x设 的中点是 ，则CDC),(,21 ),(0xE. ,1530 200kxyk kkyBE,即 7,0,0315315 222 kkk又故所求 k= .722.已知双曲线 的两个焦点为的曲线 C 上（）求双曲线 C 的方程；（）记 O 为坐标原点，过点 Q （0，2）的直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F，若OEF 的面积为 ，求直线 l 的方程解：（）：依题意，由 a2+b2=4，得双曲线方程为 （0a 24） ，将点（3， ）代入上式，得 解得 a2=18（舍去）或 a2=2，故所求双曲线方程为 （）：依题意，可设直线 l 的方程为 y=kx+2，代入双曲线 C 的方程并整理，得（1k 2）x 24kx6=0直线 I 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F，k（ ）（1， ）
