第四章 线性变换.doc

1、第四章 线性变换在第三章中，我们介绍了同构的概念，它研究的是线性空间与线性空间之间的一种联系. 我们研究客观事物，固然要弄清楚个体事物单个的和总体的性质，但单个事物之间的各种各样的联系则更为重要. 基于此，本章将要研究线性空间本身的向量之间的一种最为基本、最为重要的联系线性变换. 它是线性空间到它自身的映射是几何中旋转变换、投影变换以及别的科目中类似变换的一种推广. 其应用十分广泛，是线性代数的一个主要研究对象. 在本章中，如果不特别声明，我们考虑的都是某个数域 上的线性空间.P4.1 线性变换及其运算一个集合到它自身的映射，称为这个集合的一个变换. 线性变换就是线性空间到它自身的一种特殊变换

2、. 我们给出它的定义.1. 线性变换的概念定义 4.1.1 设 是线性空间 的一个变换，如果 对于 中任意的向量AVAV及数域 中的任意数 ，满足：,Pk；()()A.k则称 是线性空间 的一个线性变换.AV以后我们一般用花体大写字母 来表示线性变换，用 或,BC()A来表示向量 在线性变换 下的象.A说明 变换仅反映元素之间的一种单纯的对应关系，而线性变换则涉及到了线性空间中向量的运算. 从定义可以看出，线性变换保持向量的加法与数乘.例 4.1.2 设 是数域 上的上的线性空间， 是 中的某个数，定义变换如下：VPP.(),()VA则容易看出， 是线性空间 的一个线性变换.V说明 1）上例中

3、的线性变换 称为由数 决定的数乘变换.2）当 时，就是 的恒等变换或单位变换，记为 . 即 将 中的每个 EV向量变为它自身.3）当 时， 就是 的零变换，记为 . 它把 中的每个向量都变为 ，00AV00即 .(),()V0例 4.1.3 对于 ，变换12,)naP 1(,(,)nnaa A是 的一个线性变换.nP例 4.1.4 令 ，则 是线性空间 的一个线性()(),)xafftdbA,Cb变换.例 4.1.5 平面 上的向量构成了实数域上线性空间. 将 围绕着坐标原点逆时 针方向旋转 角度，就是一个线性变换，我们用 表示. 设平面 上的向量在直角坐标系下的坐标是 ，那么旋转 角度后 的

4、坐标按照下面的公式(,)xy计算：.cosin()ixyyA例 4.1.6 设 是几何空间中某个固定的非零向量，将每个向量 变到它在 上的内射影的变换是一个线性变换，以 来表示它，即N.(,)其中 表示内积.(,)例 4.1.7 设线性空间 ，则显然3P212313(,)(,)aaA是 的一个变换，但如果取 ，3P,0,0则 ，而 ，()(3,0)(9,)A()(,)(4,0)(5,)A则 . 所以， 不是线性变换.A2. 线性变换的性质线性变换具有如下的性质：性质 1 .();()(),)V0AA事实上， 0;0又 ，所以 .()()(0AA()()A性质 2 线性变换保持线性组合与线性关系

5、式不变. 也就是说，如果 是 的一个线性组合：12,m，12mkk则经过线性变换 之后， 是 同样的线性组合：A()12(),()AA.12mkk如果 之间有线性关系式：12,m，12mkk0则它们的象 之间也有同样的关系：12(),()AA.12()mkk A性质 3 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组. 也就是说，如果线性相关，则 也线性相关.12,m12(),()事实上，若 线性相关，则在数域 中存在一组不全为零的数12,m P使得12,mk.12mkk0则由性质 2 与性质 3 得.12 12()()()()(mmk k0 AAA 从而 也线性相关.,说明 当 线性相关时，

6、 未必是线性相关的；12(),()m 12,m当 线性无关时， 未必是线性无关的. 如零12,m12,(),()AA变换.3. 线性变换的运算线性变换作为映射的一种特殊情形，它当然可以定义乘法、加法及数量乘法.下面我们来介绍线性变换的运算及其简单性质.定义 4.1.8 设 及 都是数域 上线性空间 上的线性变换， 及12,APVV，现在定义：kP1）线性变换的加法： ；1212()()A2）线性变换的乘法： ；3）数与线性变换的数量乘法： .()()kk定理 4.1.9 定义 4.1.8 中的线性变换的和 、乘积 及数与线性变换的12A12A乘积 都还是线性变换.kA证明 仅证明 是线性变换，

7、其余的类似证明.12对于 中任意的向量 及数域 上的任意数 ，由于 都是线性变V,P12,换，则结合线性变换的和的定义有 12121122()()()()()AAAA；2 2).121211212()()()()kkkk因此， 是线性空间 上的线性变换. 证毕.AV由线性变换的加法及乘积的定义易知下述性质.性质 4 线性变换的加法满足1）结合律： ；123123()()A2）交换律： .A说明 1）零变换 与任何线性变换 的和仍是 ，即 .0A02）对每个线性变换 ，我们可以定义它的负变换 ：()().V容易看出 也是线性的，且 .A性质 5 线性变换的乘法满足1）结合律： ；123123()

8、()A2）对加法的左右分配律： ；1231213()AA.13123()A说明 线性变换的乘法一般是不满足交换律的. 如在实数域 上的线性空间R，定义线性变换xR0()(,).xfftdDJ则乘积 是恒等变换，但一般 却不是恒等变换.DJ性质 6 数与线性变换的数量乘法满足下面的规律：；()()kllA；1212()kk.A注 线性变换所满足的全部运算规则，同矩阵所满足的运算规则完全一致. 如果用 表示由数域 上的线性空间 的全体线性变换构成的集合，则 构()VMPV()VM成数域 上的一个线性空间.定义 4.1.10 设 是数域 上线性空间 上的一个线性变换，如果存在 上的A一个变换，记之为

9、 ，使得1，1AE则称 为 的逆变换，且称 是可逆的.1说明 一个线性变换未必有逆变换，如零变换就没有逆变换.定理 4.1.12 设 是数域 上线性空间 上的一个线性变换，如果 是可逆的，APVA则其逆变换 也是 上的线性变换.1V证明 任取 及 ，则,k111()()()A.1(A1111()()kk A.1()(故 是 上的线性变换.1AV4. 线性变换的多项式的概念由于线性变换的乘法满足结合律，当若干个线性变换 相乘时，其最终A结果是确定的，与乘积的结合方式无关. 所以我们可以用.nA来表示 （ 是正整数）个线性变换 的乘积，称 为 的 次幂. 并规定n n.0AE由此可以推出指数法则：

10、， （ 是正整数）. ,()()mnnmnnAA,（1.1）当线性变换 可逆时，也可以定义 的负整数幂为 （ 是正整数）1()nnA.说明 1）在有了负整数幂概念后， （1.1）中的 就可以取任意的整数了.,2）线性变换乘积的指数法则不成立，一般来说 .1212()nn设 110()mfxaxax是 上的一个多项式. 是线性空间 上的一个线性变换，定义PxAV.110()mf AE容易看出， 也是 上的一个线性变换，称它为线性变换 的多项式.fV4.2 线性变换的矩阵考虑线性方程组 ，其中 是 阶方阵， 是常数项向量组. 我们可Axn以这样认为：把矩阵 当作一种“对象” ，它通过乘法“作用”于

11、向量 ，产生x的新的向量为 . 例如，方程31520346Ax与 31020342Au通过矩阵 通过乘法“作用”将 变成了 . 而将 变成了 . 于是，解方程Ax0，就要求出 中所有经过 “作用”后变为 的向量 . 而线性变换也xnPx就是在线性空间内部“作用” ，将其中的一个向量变为其中的某个向量. 如此看来，线性变换与矩阵之间会有着千丝万缕的联系. 本节我们将要讨论线性变换与矩阵的关系，且利用矩阵来描述线性变换.1. 线性变换在基下的矩阵设 是数域 上线性空间 的一个线性变换， 是 的一组基. APV12,nV则 的任一向量 都可以用 来线性表示，即数域 中存在唯一的一V12,nP组数 使

12、得12,nx.12nxx由于线性变换 保持线性关系不变，则A. 12() )nx12()()()nxAA（2.1）也就是说， 的象 与基的象 之间有着相同的关系. ()12(),()n所以，只要知道基的象 ，那么线性空间 中任一向量12,nAV的象 也就知道了.()命题 4.2.1 设 ， 都是线性空间 的线性变换， 是 的一组基，12V12,n如果 与 在这组基上的作用相同，即1A2. 12()(),1,ii nA（2.2）则 .12（分析） 与 相等的意义是它们对 中的每个向量的作用相同，所以，我A2V们就只要证明对任一向量 ，都有 即可.12()A证明 中的任一向量 都可以由 线性表示，

13、即存在一组数V,n使得12,nx.12nxx则由假设有 11211()()()()nAA. 证毕.2 22(xx A说明 命题 4.2.1 表明了，一个线性变换在 上的作用，完全由它在任一组基上V的作用所决定.命题 4.2.2 设 是数域 上的线性空间 的一组基，又12,nPV是 的任意的 个向量，则存在唯一的线性变换 使得12,nVnA. (),1,2ii nA（2.3）（分析）只要找出这样的线性变换即可.证明 设 是 任一向量，且V.12nxx现在定义 的变换 . 我们先来说明 满足（2.3）.()AA因为 ， .11100i iiin 1,2i所以 ， .() 0i iii i ,n我们

14、还需要证明 是线性的.A设 是 中任意两个向量， 是 中任一数，并设VkP， .12nbb12ncc则 ； .1()()()ncc 12nkbkkb按照 的定义有A12()()()()nbc12)()n nb A；.1212() ()()n nkbkkbk A所以 是 上的线性变换. V唯一性可由命题 4.2.1 直接得到. 证毕.下面，我们就来讨论线性变换与矩阵的联系.设 是数域 上的线性空间 的一组向量， 是 上的一个线性12,rPVAV变换，我们约定 .1212(,)(,)r r AA定义 4.2.3 设 是数域 上的线性空间 的一组基， 是 上的一个,n线性变换，且 12112 212

15、,.nnnnaa A用矩阵形式表示，即，121212(,)(,)(,)nnn AA其中 .1212nnaa A矩阵 称为 在基 下的矩阵.12,n例 4.2.4 求 的线性变换 在基 下的矩阵. nPx()fxD1,nx解 因为 21210,(),nD所以 在基 下的矩阵为D1,nx.0102100n A例 4.2.5 设 是 维线性空间 的子空间， 是 的一组基，W()nmV12,mW把它扩充为 的一组基 . 定义线性变换 如下：V12,nA,1.iimn0 A如此定义的线性变换 称为对子空间 的投影. 投影 在基 下的W12,n矩阵为个 1.10m 说明 在取定一组基之后，我们就建立了由数域 上的 维线性空间 的线性变PnV换到数域 上的 矩阵的一个映射 . Pn定理 4.2.6 设 是数域 上的 维线性空间. 则映射Vn:A是数域 上的线性空间 到 的一个一一映射，其中 是线性变换在基P()MnP下的矩阵.12,n（分析）需要证明 是双射，即既是单射，又是满射.证明 显然是 到 的映射.()Vn设 ， .1()A2则