第一章 随机事件及其概率 -1.doc

1、1第一章 随机事件与概率1.1 随机事件及其运算111 随机现象在一定条件下必然出现的现象叫做确定性现象。在相同的条件下可能出现也可能不出现，但在进行了大量重复地观测之后，其结果往往会表现出某种规律性的现象叫做随机现象。(举例 )为了研究和揭示随机现象的统计规律性，我们需要在相同条件下对随机现象进行大量重复地观测、测量或试验，统称为随机试验。也有很多随机试验是不能重复的，比如某些经济现象、比赛等。概率论与数理统计主要研究能够大量重复的随机现象，但也十分注意不能重复的随机现象的研究。112 样本空间 用 表示随机现象的一切可能基本结果组成的集合，称为样本空间。样本空间的元素，即每个基本结果 ，称

2、为样本点。例 1 抛掷一枚硬币，观察正面和背面出现（这两个基本结果依次记为和 ）的情况，则该试验的样本空间为2 12,例 2 一枚骰子，观察出现的点数，则基本结果是“出现 点” ，分别记为i（ 1，2， 3，4，5，6） ，则该试验的样本空间为i,例 3 在一只罐子中装有大小和形状完全一样的 2 个白球和 3 个黑球，依次在 2 个白球上标以数字 1 和 2，在 3 个黑球上标以数字 3，4 和 5，从罐子中任取一个球，用 表示“取出的是标有 的球” （ 1，2，3，4，5） ，则试验i ii的样本空间为 12345,例 4 在一个箱子中装有 10 个同型号的某种零件，其中有 3 件次品和 7

3、件合格品，从此箱子中任取 3 个零件，其中的次品个数可能是 0，1，2，3，试验的样本空间为 0,例 5 某机场问讯电话在一天内收到的电话次数可能是 0，1，2，则试验的样本空间为 ,12例 6 考察某一大批同型电子元件的使用寿命（单位：h） ，则使用的样本空间为 0,)注意：1 样本空间中的元素可以是数也不是数；2 样本空间至少有两个样本点，仅含两个样本点的样本空间是最简单的样2本空间；3 从样本空间中所含的样本点个数来区分，样本空间可分为有限与无限两类，有限样本空间比如例 1、2、3、4，无限比如例 5、6，例 5 中样本点的个数是可列的，但例 6 中样本点的个数是不可列无限的。样本点的个

4、数有限和可列的归为一类称为离散样本空间；样本点的个数不可列归为一类称为连续样本空间。113 随机事件我们把随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件，用大写字母 等表示。,ABC注意：1 任一事件 A 均是样本空间的子集，样本空间与事件的关系常用维恩(Veen)图来表示。如图 1。2 设 ，如果 中的某个样本点出现了，即试验结果 ，则称在AA这次试验中事件 发生；如果 ，则称事件 不发生。事件 发生当且A仅当 中某个样本点出现了。3 事件可以用集合表示，也可以用语言描述。4 由单个样本点 组成的事件，称为基本事件；样本空间 本身是 的最大子集，它包含 的所有样本点，在每次试验中 必然

5、发生，称为必然事件；样本空间 的最小子集空集 也是 的子集，它不包含任何样本点，在每次试验中都不可能发生，称为不可能事件。例 7 在例 1.3 中，子集 表示事件“从罐子中任取一球是白球”12,A，子集 表示事件“从罐子中任取一球是黑球” 。事件“取出 2345,B号球”可表示为 ，事件“取出白球或黑球”是必然事件 ，事件2C“取出的是黄球”是不可能事件 。114 随机变量随机变量是用来表示随机现象结果的变量，常用在写的字母 X，Y，Z 等表示。2A 13例 8 掷一颗骰子，出现的点数是一个随机变量，记为 X，则事件“出现 3点” 、 “出现的点数不小于 3”和“出现的点数小于 3”可以分别表

6、示为“X=3”“X 3”和“X3 ”。例 9 掷两颗骰子，样本空间中有 36 个样本点，)3,6()2,(1,6,)1()( 分别用 X 和 Y 表示第一与第二个骰子出现的点数，则 X 和 Y 均可取值16，事件“点数之和等于 5”和“最大点数为 2”可以分别用随机变量表示为“X Y5” 和“ ”，可以分别用集合表示为),max(和 。1,4)23(,)4,(),(12事件的表示方法主要有三种：1 集合；2 语言；3 随机变量。115 事件间的关系1 包含关系如果属于事件 的样本点必然属于事件 ，即当事件 发生时事件 一ABAB定发生，则称事件 包含事件 ，记作 或 。如图 2。举例。BA对于

7、任意事件 ，有 。如果 ， 则 。,C2 相等关系如果事件 和事件 相互包含，即 且 ，则称事件 与事件相等，记作 。BA注意用不同的语言描述的事件也可能是同一事件，举例。3 互不相容(互斥)如果事件 和事件 没有相同的样本点，则称二者互不相容。即二者不B能同时发生。如图 3。举例。116 事件运算1 事件 与 的并A“由事件 和事件 中所有的样本点(相同的只记入一次) 组成的新事件”即“事件 和事件 至少有一个发生” ，则这样的一个事件称为事件 与事件BAB 的并或 和，记作 ，即 发生或 发生 或 AB对于任何事件 ， ，有A,B4如果 ，则有 。ABB事件的并可以推广到多个事件的情形：中

8、至少有一个发生称为有限并121,ni n中至少有一个发生称为可列并。,i 例如，某人做一个试验，直到成功为止，以 表示事件“该项试验成功” ，A以 表示事件“该项试验做到第 次才成功” （ ） ，则有iAi1,2i1iA2 事件 与 的交 B“由事件 和事件 中公共的样本点组成的新事件”即“事件 和事件A同时发生” ，则这样的一个事件称为事件 与事件 的交或积，记作B或 ，即A 发生且 发生 且 AB|事件 和事件 作为样本空集 的子集，事件 就是子集 与 的B交集。对于任何事件 ， ，有，,AAB如果 则有 。,事件的交可以推广到多个事件的情形：同时发生称为有限交，121,ni n都同时发生

9、称为可列交。,i A注意： 的充要条件是事件 和事件 是互不相容事件。ABB3 事件 对 的差“由事件 中而不在事件 中的样本点组成的新事件”即“事件 发生A而事件 不发生” ，则这样的一个事件称为 与 的差事件，记作 ，即AB发生但 不发生 且 。|如图。举例。对于任何事件 ，有,AB，,ABA5。,()AAB4 对立事件事件 的对立事件记为 ，表示“由在 中而不在 中的样本点组成的新事件”即“ 不发生” 。或者可以另外定义为“在每一次试验中事件 和事A件 都有一个且仅有一个发生，即 ， ”则称事件 与事B ,件 是互逆的或对立的，其中的一个事件是另一个事件的逆事件，记作 ，或 。显然 。必

10、然事件与不可能事件是互为对立ABA事件的，即 ， 。例 10 设 A、 B、 C 是某个随机现象的三个事件，则事件“A 与 B 发生，C 不发生”表示为 ；CB“A、 B、 C 中至少有一个发生”表示为 ；A“A、 B、 C 中至少有两个发生”表示为 ；“A、 B、 C 中恰好有两个发生”表示为 ；BC“A、 B、 C 同时发生” 表示为 ；“A、 B、 C 都不发生” 表示为 ；CB“A、 B、 C 不全发生” 表示为 A5 随机事件的运算性质事件的运算有如下的运算法则：交换律 。01,结合律 。2()(),()BCAB分配律 3ABAC对偶( 德 摩根)律 。04,对于多个随机事件(包括有

11、限个和可列个事件 )，以上的运算法则也是成立的。例 11 某工人加工了 3 个零件，以 表示事件“加工的第 个零件是合格i i品”( 1，2，3)，试用 和 这 3 个事件表示下列事件：i12,A(1) 只有第 1 个零件是合格品；(2) 只有 1 个零件是合格品；(3) 至少有 1 个零件是合格品；(4) 最多有 1 个零件是合格品；(5) 3 个零件全是合格品；(6) 至少有 1 个零件是不合格品。解 用 和 分别表示(1)(6)中的事件。,ABCDFG(1)事件 发生，意味着第 1 个零件是合格品，并且第 2 个和第 3 个零件都是不合格品，即事件 发生且事件 都不发生，因此23,A61

12、23A(2)事件 发生，就是在 3 个零件中有 1 个是合格品，并且另外 2 个是不合B格品，因此123123123A(3)事件 发生，即在 3 个零件中至少有 1 个是合格品，也就是在 3 个零件C中恰有 1 个是合格品，或者恰有 2 个是合格品，或者 3 个是合格品，因此12313131212AA2事件 也就是或者第 1 个零件是合格品，或者第 2 个零件是合格品，或者第 3个零件是合格品，因此 也可以表示成C123A事件 发生，意味着 3 个零件不能都是合格品，而 3 个零件都是不合格品可表示成 ，因此123A123根据对偶律可得123 23AA(4)事件 发生，就是 3 个零件都不是合

13、格品，或者其中有 2 个是不合格品D而另外一个是合格品，因此123123123123事件 发生，也就是在 3 个零件中任意 2 个都不是同时为合格品，因此事件也可以表示为1232AA(5)事件 发生，就是 3 个零件中每一个都是合格品，因此F1F(6)事件 发生，就是在 3 个零件中有 1 个是不合格品而另外 2 个是合格G品，或者有 2 个是不合格品而另外 1 个是合格品，或者 3 个都是不合格品，因此123123123123123AAA事件 就是“3 个零件都是合格品”这一事件的逆事件，因此 也可以表示为G123G事件 还可以表示为GA根据对偶律可知 。123123例 12 在物理系的学生

14、中任选一名学生.若事件 A 表示被选学生是男生,事7件 B 表示该生是三年级学生,事件 C 表示该生是运动员, 则(1) 叙述事件 的意义;AB(2) 在什么条件下 成立?(3) 什么时候关系式 是正确的?(4) 什么时候 成立?解：(1)该生是三年级男生，但不是运动员； (2)全系运动员都是三年级男生；(3)全系运动员都是三年级学生；(4)全系女生都在三年级，并且三年级学生都是女生。1.1.7 事件域定义：1.1.1 设 为一样本空间，F 为 的某些子集所组成的集合类。如果 F 满足：1) F ；2)若 ，则对立事件 F ；AA3)若 F ， ，则可列并 F。n,211n则称 F 为一个事件

15、域，又称为 代数。 F )称为可测空间，即 F 中都,(是有概率可言的事件。常见的事件域例子。1 样本空间只含两个样本点时： ，记 ，则21,1A，此时事件域 F 。2AA,2 若样本空间含有 n 个样本点，则事件域中共有 个事nnC20件。3 若样本空间含有可列个样本点，则事件域中共有可列个事件。4 或样本空间为全体实数， R ，此时事件域中的元素无法,一一列出，可以由一个基本集合类逐步扩展形成：首先，取基本集合类 P “全体半直线组成的类” ；x),(其次，利用事件域的要求，先把有限的左闭右开区间扩展进来：，其中 为任意实数；,(),(),abab,第三，再把闭区间、单点集、左开右闭区间、

16、开区间扩展进来：，n)1,，bab，,(8。aba),(最后用有限个或可列个并运算和交运算把实数集中一切有限集、可列集、开集、闭集都扩展进来。经过上述扩展得到的事件域称为波雷尔(Borel)事件域，其中的每个元素又称为波雷尔集，或可测集，它们都是有概率可言的事件。1.2 概率的定义及其确定方法1.2.1 概率的公理化定义定义 1.2.1 设 为一个样本空间，F 为 的某些子集组成的一个事件域。如果对任一事件 F，定义在 F 上的一个实值函数 满足：A)(AP1)非负性公理 若 F，则 ；()0PA2)正则性公理 ；()13)可列可加性公理 若事件 两两互不相容，有2,，11()()iii则称

17、为事件 的概率，称三元素 F, P 为概率空间。()PA,1.2.2 排列与组合公式计算“从 n 个元素中取 r 个元素” ，组合不讲究取出元素的次序，而排列讲究次序。(1)乘法原理 如果某件事需经 k 个步骤才能完成，做第一步有 m1 种方法，做第二步有 m2 种方法，做第 k 步有 mk 种方法，那么完成这件事共有m1m2mk 种方法。例如，甲城到乙城有 3 条旅游线路，由乙城到丙城有 2 条旅游线路，那么从甲城经乙城去丙城共有 326 条旅游线路。(2)加法原理 如果某件事可由 k 类不同途径之一去完成，在第一类办法中又有 m1 种完成方法，在第二类办法中又有 m2 种完成方法， ，第

18、k 类办法中又有 mk 种完成方法，那么完成这件事共有 m1+m2+mk 种方法。例如，由甲城到乙城去旅游有三类交通工具：汽车、火车和飞机。而汽车有 5 个班次，火车有 3 个班次，飞机有 2 个班次，那么从甲城到乙城共有 5 十3 十 210 个班次供旅游者选择。排列与组合的定义及其计算公式(1)排列 从 n 个不同元素中任取 r (r )个元素排成一列( 考虑元素的先后n出现次序)称为一个排列，按乘法原理，此种排列共有 n(n 1)(nr9十 1)个，记为 Pnr。若 rn,称为全排列，全排列数共有 n!个，记为 Pnn!。(2)重复排列 从 n 个不同元素中每次取出一个，放回后再取下一个

19、，如此连续取 r 次所得的排列称为重复排列，此种重复排列数共有 nr 个。注意，这里的 r 允许大于 n。(3)组合 从 n 个不同元素中任取 r (r )个元素并成一组(不考虑元素间n的先后顺序)称为一个组合，按乘法原理，此种组合总数为 。rnC即 )!(!1()rrrCn 这里规定 0!=1, 。10n(4)重复组合 从 n 个不同元素中每次取出一个，放回后再取下一个，如此连续取 r 次所得的组合称为重复组合。此种重复组合总数为 。注意，rn1这里的 r 也允许大于 n。上述四种排列组合及其总数计算公式将在古典概率计算中经常使用，这里不再举例说明，但应指出，在使用中要注意识别有序与无序、重

20、复与不重复。1.2.3 确定概率的频率方法这是最基本的获得概率的方法。频率方法的基本思想如下：(1)与考察事件 A 有关的随机现象是允许进行大量重复试验的。(2)在 n 次重复试验中，事件 A 发生的次数记为 n(A)，称为事件 A 发生的频数，则事件 A 发生的频率为fn)(3)实践表明，随着试验重复次数 n 增加，频率 会稳定在某一常数)(fn附近( 见例 1)，称之为频率的稳定值，这个频率的稳定值就是事件 A 发生的a概率 。)AP(4)缺点：在现实世界里，我们无法把一个试验无限次地重复下去，因此要获得事件 A 发生的频率的稳定值是件很难的事情。但在重复次数较大时，频率就很接近概率。在统

21、计学中把频率称为概率的估计值。注意：频率方法确定的概率满足公理化定义，非负性与正则性显然，可加性证明如下。当事件 A 与 B 互不相容时， ，从而有)()(BnAn)()()( BfAfnf nnn 10在实际中频率常当作概率近似值使用，譬如，在足球比赛中用点球是一个扣人心弦的场面，若记事件 A“罚点球射中球门” ，A 的概率，即判罚点球的命中率 P(A)是多少？这可以通过重复试验所得数据资料计算频率而得概率估计值。曾经有人对 1930 年至 1988 年世界各地 53274 场重大足球比赛作了统计，在判罚的 15382 个点球中，有 11172 个射中，频率为 11172153820.726

22、，这就是罚点球命中概率 P(A)的估计值。例 1 说明频牢稳定性的例子。(1)在掷一枚均匀硬币时，古典概率已给出，出现正面的概率为 0.5。为了验证这一点，很多人都可以作大量的重复试验，如下表记录了 24000 次掷硬币试验中正面出现的频率，在重复次数计较小时，波动剧烈，随着掷币次数的增大，波动的幅度在逐渐变小。正面出现的频率逐渐稳定在 0.5。这个 0.5 就是频率的稳定值，也是正面出现的概率。这与用古典方法计算的概率是相同的。表 1 历史上抛硬币试验的若干结果实验者 掷硬币次数 正面出现次数 频率德莫根(De Morgan) 2048 1061 0.5181蒲 丰(Buffon) 4040

23、 2048 0.5069费勒(Feller) 10000 4979 0.4979皮尔逊(Pearson) 12000 6019 0.5016皮尔逊 24000 12012 0.5005(2)在英语中某些字母出现的频率远高于另外一些字母。人们对各类典型的英语书刊中字母出现的频率进行了统计。发现各个字母的使用频率相当稳定。其使用频率见表 2。这项研究对计算机键盘设计(在方便的地方安排使用频率较高的字母傻)、印刷铅字的铸造 (使用频率高的宇母应多铸一些 )、信息的编码(使用频率高的字母用较短的码 )、密码的破译等等方面部是十分有用的。表 2 英文字母的使用频率字母 使用频率 字母 使用频率 字母 使用频率E 0.1268 L 0.0394 P 0.0186T 0.0978 D 0.0389 B 0.0156A 0.0788 U 0.0280 V 0.0102O 0.0776 C 0.0268 K 0.0060I 0.0707 F 0.0256 X 0.0016N 0.0706 M 0.0244 J 0.0010