1、 1 2016 年广州市普通高中毕业班综合测试（二） 数 学 （ 理科 ） 注意事项： 1. 本试卷分第 卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分 。 答卷前，考生务必将自己的姓名 和考生号 、 试室号、座位号 填写在答题卡上 ，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂 。 2. 回答第 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 ,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号 。 写在本试卷上无效 。 3. 回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 。 4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 。 第卷 一 . 选择 题 ：本大题共 12 小题， 每小题 5 分， 在每小题
2、给出的四个选项中，只有一项 是 符 合题目要求的 。 （ 1） 已知集合 11M x x ， 2 2,N x xx Z ， 则 (A) MN (B) NM (C) 0MN (D) M N N （ 2） 已知复数 z 23i1i， 其中 i 为虚数单位， 则 z (A) 12 (B) 1 (C) 2 (D) 2 （ 3） 已知 cos 112 3 ， 则 5sin12 的值是 (A) 13 (B) 223 (C)13(D) 223 （ 4） 已知随机变量 X 服从正态分布 23,N , 且 4 0.84PX , 则 24PX (A) 0.84 (B) 0.68 (C) 0.32 (D) 0.16
3、 （ 5） 不等式组0,2,22xyxyxy 的解集记为 D , 若 ,a b D , 则 23z a b的 最小值 是 (A) 4 (B) 1 (C) 1 (D) 4 （ 6） 使 231 (2nxnxN* ) 展开式中含有常数项的 n 的最小值是 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 2 （ 7） 已知 函数 sin 2 0f x x )2 的图象 的一个对称中 心为 3 ,08, 则函数 fx的 单调递减区间 是 (A) 32 , 2 (88k k k Z) (B) 52 , 2 (88k k k Z) (C) 3 ,(88k k k Z) (D) 5,(88k k k Z)
4、（ 8） 已知球 O 的半径为 R ， ,ABC 三点在球 O 的球面上，球心 O 到平面 ABC 的距离为 12R ， 2AB AC， 120BAC , 则球 O 的表面积为 (A) 169(B) 163(C) 649(D) 643（ 9） 已知命题 p ： xN* , 1123xx ，命题 q ： xN* , 12 2 2 2xx， 则下列命题中为真 命题 的 是 (A) pq (B) pq (C) pq (D) pq （ 10） 如图 , 网格纸上的小正方形的边长为 1, 粗实线画出 的是某几何体的三视图 , 则该几何体的体积是 (A) 46 (B) 86 (C) 4 12 (D) 8
5、12 （ 11） 已知点 O 为坐标原点，点 M 在双曲线 22:C x y （ 为正 常数） 上，过点 M 作 双曲线 C 的某一条渐近线的垂线，垂足为 N ，则 ON MN 的值 为 (A) 4 (B) 2 (C) (D) 无法 确定 （ 12） 设函数 fx的定义域为 R , ,2f x f x f x f x , 当 0,1x 时 , 3f x x , 则函数 c osg x x f x在区间 15,22上的 所有零 点的和 为 (A) 7 (B) 6 (C) 3 (D) 2 3 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分 。 第 13 题第 21 题为必考题，每个考生都必须做答 。第 22
6、题第 24 题为选考题，考生根据要求做答 。 二 . 填空题 ：本大题共 4 小题，每小 题 5 分 。 （ 13） 曲线 2 3f x xx在点 1, 1f 处的切线方程为 . （ 14） 已知 平面 向量 a 与 b 的夹角为 3 ， 13a,， 2 2 3ab ，则 b .（ 15） 已知中心在坐标原点的椭圆 C 的右焦点为 1,0F ，点 F 关于直线 12yx 的对称点 在椭圆 C 上，则椭圆 C 的方程为 . （ 16） 在 ABC 中， ,abc分别为内角 ,ABC 的对边， 4ac ， 2 c o s ta n s in2BAA，则 ABC 的面积的最大值为 . 三 . 解答题
7、 ：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 。 （ 17） （本小题满分 12 分） 设 nS 是数列 na 的前 n 项和 , 已知 1 3a , 1 23nnaS (n N*) . ( ) 求 数列 na 的 通项 公式 ； ( ) 令 21nnb n a， 求数列 nb 的前 n 项和 nT . （ 18） （本小题满分 12 分） 班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班 24 名女同学， 18 名男同学中 随 机抽取一个容量为 7 的样本进行分析 . ( )如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？ （写出算式即可，不必 计算出结果） ( )如果 随机抽取的 7
8、名同 学 的 数学，物理成绩 (单位：分 )对应如下表： ( )若规定 85 分以上 （包括 85 分） 为优秀， 从 这 7 名同学中 抽取 3 名同学 ，记 3 名同 学中 数学和 物理成绩均为优秀的 人数为 ， 求 的分布列和数学期望 ； ( )根据上表数据 ， 求 物理成绩 y 关于 数学成绩 x 的线性回归方程 (系数精确到 0.01 ); 若 班上 某位同学的数学成绩为 96 分 ,预测该同学的物理成绩为多少分 ? 学生序号 i 1 2 3 4 5 6 7 数学成绩 ix 60 65 70 75 85 87 90 物理成绩 iy 70 77 80 85 90 86 93 4 MDC
9、BA附 ：线性回归方程 y bx a，其中 121niiiniix x y ybxx， a y bx . （ 19） （本小题满分 12 分） 如图， 在多面体 ABCDM 中， BCD 是等边三角形， CMD 是等腰直角三角形， 90CMD ，平面 CMD 平面 BCD ， AB 平面 BCD . ( )求证： CD AM ； ( )若 2AM BC，求直线 AM 与平面 BDM 所成角的 正 弦值 . （ 20） （本小题满分 12 分） 已知 点 1,0F ，点 A 是直线 1:1lx 上的动 点 ，过 A 作直线 2l ， 12ll ，线段 AF 的 垂直平分线与 2l 交于点 P .
10、 ( )求点 P 的轨迹 C 的方程 ； ( )若点 ,MN是直线 1l 上 两个 不同的点 , 且 PMN 的内切圆方程为 221xy， 直 线 PF 的斜率为 k ， 求 kMN的 取 值 范围 . （ 21） （本小题满分 12 分） 已知函数 fx e x ax (x R) . ( ) 当 1a 时， 求函数 fx的最小值 ； ( ) 若 0x 时 , ln 1 1f x x ,求 实数 a 的取值范围 ； （）求证： 2e3e 2 . x y 7 21 ii xx 71 iii x x y y 76 83 812 526 5 OFEDCBA请考生在第 22、 23、 24 三题中任选
11、一题做答 ， 如果多做，则按所做的第一题 计分 。 做答时请写清题号。 （ 22）（本小题满分 10 分）选修 4 1: 几何证明选讲 如图 ,四边形 ABCD 是 圆 O 的 内接四边形 ,AB 是圆 O 的直径， BC CD ， AD 的延 长线 与 BC 的延长线交 于点 E ,过 C 作 CF AE ，垂足为点 F . ( )证 明 : CF 是圆 O 的切线 ； ( )若 4BC ， 9AE ， 求 CF 的长 . （ 23）（本小题满分 10 分）选修 4 4: 坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 3 cos ,(sinxy 为参数 ) .以点 O
12、为极 点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 sin( )4 2 . ( )将 曲线 C 和直线 l 化为 直角坐标方程； ( )设点 Q 是 曲线 C 上的一个动点，求它到直线 l 的 距离的最 大 值 . （ 24）（本小题满分 10 分）选修 4 5: 不等式选讲 已知函数 2( ) l og 1 2f x x x a . ( )当 7a 时，求函数 fx的定义域； ( )若关于 x 的不等式 fx 3 的解集是 R，求 实数 a 的最大值 本资源由免费免注册的资源站备课吧 搜集 ,若喜欢该资源请向作者购买 ! 6 2016 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
13、 理科数学 试题答案及评分参考 评分说明： 1. 本解答给出了一种 或几种解法供参考 , 如果考生的解法与本解答不同 , 可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。 2. 对计算题 , 当考生的解答在某一步出现错误时 , 如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度 , 可视影响的程度决定后续部分的给分 , 但不超过该部分正确解答应得分数的一半 ; 如果后续部分的解答有较严重的错误 , 就不给分。 3. 解答右端所注分数 , 表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4. 只给整数分数。选择题不给中间分。 一 . 选择题 （ 1） C （ 2） B （ 3） A （ 4） B （ 5）
14、 A （ 6） C （ 7） D （ 8） D （ 9） C （ 10） B （ 11） B （ 12） A 二 . 填空题 (13) 40xy (14) 2 (15) 2255194xy (16) 3 三 . 解答题 (17)( ) 解 : 当 2n 时 , 由 1 23nnaS , 得 123nnaS, 1 分 两式相减 , 得 112 2 2n n n n na a S S a , 2 分 1 3nnaa . 1 3nnaa . 3 分 当 1n 时 , 1 3a ， 2 1 12 3 2 3 9a S a , 则 21 3aa . 4 分 数列 na 是以 1 3a 为首项 , 公比为
15、 3 的等比数列 . 5 分 13 3 3nnna . 6 分 ( ) 解法 1: 由 ( )得 2 1 2 1 3 nnnb n a n . 231 3 3 3 5 3 2 1 3 nnTn , 7 分 2 3 4 13 1 3 3 3 5 3 2 1 3 nn , 8 分 - 得 2 3 12 1 3 2 3 2 3 2 3 2 1 3nnnTn 9 分 7 2 3 13 2 3 3 3 2 1 3nnn 21 13 1 33 2 2 1 313 n nn 10 分 16 2 2 3 nn . 11 分 11 3 3nnTn . 12 分 解法 2: 由 ( )得 2 1 2 1 3 nn
16、nb n a n . 12 1 3 1 3 2 3n n nn n n , 8 分 1 2 3nnT b b b b 3 4 3 10 3 3 0 2 3 3 1 3 2 3nnnn 10 分 11 3 3nn . 12 分 （ 18） ( )解：依据分层抽样的方法， 24 名女同学中应抽取的人数为 7 24 442名， 1 分 18名男同学中应抽取的人数为 7 18 342名， 2 分 故不同的样本的个数为 4324 18CC . 3 分 ( ) ( )解 : 7 名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为 3 名 , 的取值为 0,1,2,3 . 0P 3437C 4C 35, 1P 2143
17、37CC 18C 35, 2P 124337CC 12C 35, 3P 3337C 1C 35. 7 分 的分布列为 8 分 4 1 8 1 2 10 1 2 33 5 3 5 3 5 3 5 E 97 . 9 分 0 1 2 3 P 435 1835 1235 135 8 NzxyOMDCBA( )解 : 526 0.65812b , 8 3 0 . 6 5 7 5 3 3 . 6 0a y b x . 10 分 线性回归方程为 0. 65 33 .6 0yx. 11 分 当 96x 时 , 0 .6 5 9 6 3 3 .6 0 9 6y . 可预测该同学的物理成绩为 96 分 . 12
18、分 (19)( )证明：取 CD 的中点 O ,连接 OB ,OM . BCD 是等边三角形， OB CD . 1 分 CMD 是等腰直角三角形， 90CMD ， OM CD . 2 分 平面 CMD 平面 BCD ，平面 CMD 平面 BCD CD ， OM 平面 CMD ， OM 平面 BCD . 3 分 AB 平面 BCD , OM AB . O ,M ,A ,B 四点共面 . 4 分 OB OM O ,OB 平面 OMAB ,OM 平面 OMAB , CD 平面 OMAB . 5 分 AM 平面 OMAB , CD AM . 6 分 ( )解法 1: 作 MN AB ,垂足为 N ,则
19、 MN OB . BCD 是等边三角形， 2BC , 3OB , 2CD . 在 Rt ANM 中 , 2 2 2 2 1A N A M M N A M O B . 7 分 CMD 是等腰直角三角形， 90CMD ， 1 12OM CD. 2A B A N N B A N O M . 8 分 如图 ,以点 O 为坐标原点 ,OC 所在直线为 x 轴 ,BO 所在直线为 y 轴 , OM 所在直 线为 z 轴 ,建立空 间直角坐标系 O xyz , 则 0,0,1M , 0, 3,0B , 1,0,0D , 0, 3,2A . 0, 3, 1AM , 0, 3,1BM , 1, 3,0BD .
20、设平面 BDM 的法向量为 n ,xyz , 9 NKOMDCBA由 n 0BM , n 0BD ,得 3 0,3 0,yzxy 9 分 令 1y ,得 3x , 3z . n 3,1, 3 是平面 BDM 的一个法向量 . 10 分 设直线 AM 与平面 BDM 所成角为 , 则 sin cos , AM n AM nAM n2 3 21727 . 11 分 直线 AM 与平面 BDM 所成角的正弦值为 217 . 12 分 解法 2: 作 MN AB ,垂足为 N ,则 MN OB . BCD 是等边三角形， 2BC , 3OB , 2CD . 在 Rt ANM 中 , 2 2 2 2 1
21、A N A M M N A M O B . 7 分 CMD 是等腰直角三角形， 90CMD ， 1 12OM CD. 2A B A N N B A N O M . 8 分 由 ( )知 OM AB ， AB 平面 ABD ,OM 平面 ABD , OM 平面 ABD . 点 M 到平面 ABD 的距离等于点 O 到平面 ABD 的距离 . 作 OK BD ,垂足为 K , AB 平面 BCD ， OK 平面 BCD ， OK AB . AB 平面 ABD ,BD 平面 ABD , AB BD B , OK 平面 ABD ,且 sin 60O K O D 32 . 9 分 在 Rt MOB 中
22、, 22 2M B O M O B , 在 Rt MOD 中 , 22 2M D O M O D , BDM 的 面积为 12S MD 222MDMB 72. 设点 A 到平面 BDM 的距离为 h , 10 由 A BDM M ABDVV , 得 1133ABDh S O K S , 得31 222272ABDO K ShS 2217 . 10 分 设直线 AM 与平面 BDM 所成的角为 , 则 21si n 7hAM . 11 分 直线 AM 与平面 BDM 所成角的正弦值为 217 . 12 分 注 :求 2 217h 的另法 . 由 1 1 33 2 3A B D M M A B D
23、 O A B D A B D OV V V V O D O B A B , 得 1333hS ,得 3 3 2 2 1772h S . (20) ( )解 :依题意 ,点 P 到点 1,0F 的距离等于它到直线 1l 的距离 , 1 分 点 P 的轨迹是以点 F 为焦点，直线 1:l 1x 为准线的抛物线 . 2 分 曲线 C 的方程为 2 4yx . 3 分 ( )解法 1：设点 P 00,xy ，点 1,Mm ，点 1,Nn ， 直线 PM 方程为： 00 11ymy m xx ， 4 分 化简得， 0 0 0 01 1 0y m x x y y m m x . PMN 的内切圆方程为 221xy， 圆心 0,0 到直线 PM 的距离为 1 ，即 00221 11y m m xy m x . 5 分 故 2 2 2 220 0 0 0 0 01 2 1 1y m x y m m y m x m x .
