1、亿库教育网 http:/www.eku.cc 百万教学资源免费下载亿库教育网 http:/www.eku.cc 百万教学资源免费下载三角函数总结及统练一. 教学内容：三角函数总结及统练（一）基础知识1. 与角 终边相同的角的集合 ,2ZkS2. 三角函数的定义（六种）三角函数是 x、 y、 r三个量的比值3. 三角函数的符号口诀：一正二弦，三切四余弦。4. 三角函数线正弦线 MP= sin余弦线 OM= co正切线 AT= ta5. 同角三角函数的关系平方关系： 商数关系：倒数关系： 1cottan 1csin 1seco口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。6. 诱导公式口诀：奇变偶不变，符号
2、看象限。k222正弦 sinsiinsisincoss余弦 cocoiin亿库教育网 http:/www.eku.cc 百万教学资源免费下载亿库教育网 http:/www.eku.cc 百万教学资源免费下载正切 tantatntatancotct余切 cococan7. 两角和与差的三角函数 tan1t)tan(tsincos)cos( iini ss)s(8. 二倍角公式代换：令2 222tan1ta sincosin1cossii降幂公式 2coscsi2半角公式：1in； 2cos1cs； cos1tanosisic12ta9. 三角函数的图象和性质函数 xysinxycosxytan亿
3、库教育网 http:/www.eku.cc 百万教学资源免费下载亿库教育网 http:/www.eku.cc 百万教学资源免费下载图象定义域 R R ZkxR,2| 且值域最值1,2/kx时may/时1in1,kx2时 maxy时1inR无最大值无最小值周期性 周期为 2周期为 2周期为 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数单调性在2,k上都是增函数；在 3,2上都是减函数（ Zk）在 ,k上都是增函数，在 ,上都是减函数（ Zk）在2,k内都是增函数（ Z）10. 函数 )sin(xAy的图象变换 0,A函数 的图象可以通过下列两种方式得到：（1） 倍横 坐 标 缩 短 到 原 来 的图 象 左
4、移 1)sin(sinxyxy亿库教育网 http:/www.eku.cc 百万教学资源免费下载亿库教育网 http:/www.eku.cc 百万教学资源免费下载)sin(xy )sin( xAy倍纵 坐 标 伸 长 为 原 来 的（2） 图 象 左 移倍横 坐 标 缩 短 到 原 来 的 )i(i 1)sn(xy sn xyA倍纵 坐 标 伸 长 为 原 来 的（二）数学思想与基本解题方法1. 式子变形原则：凑一拆一；切割化弦；化异为同。2. 诱导公式原则：奇变偶不变，符号看象限。3. 估用公式原则：一看角度，二看名称，三看特点。4. 角的和与差的相对性如： )(角的倍角与半角的相对性如：
5、42,5. 升幂与降幂：升幂角减半，降幂角加倍。6. 数形结合：心中有图，观图解题。7. 等价转化的思想：将未知转化为已知，将复杂转化为简单，将高级转化为低级。8. 换元的手段：通过换元实现转化的目的。【典型例题】1. 如： abxbaxbay tn),si(cossin2（化成一个角的一个三角函数） )6sin(2cosin3 )3si(2co3si4xxy xxy；例 1 求下列函数的最大值和最小值及何时取到？（1） xf 22cos3sii)(（2） 1nxx解：亿库教育网 http:/www.eku.cc 百万教学资源免费下载亿库教育网 http:/www.eku.cc 百万教学资源免
6、费下载（1）)42sin(xy， 2maxy，)(8Zkx83,2min Zk（2）)42sin(3xy， 23maxy，)(83Zkxmin，)(8Zk2.“1”的妙用凑一拆一熟悉下列三角式子的化简 )4sin(2cosincosin2 )42sin(coi2i1i sinco；s2cs例 2 化简 8o28i12 。答案： 4sn3. 化异为同例 3 已知 2ta，求： （1） cosin（2 ） 22sinco3答案：（1）3；（2） 14例 4 已知2,tan，求： cosin1i2答案： 34. cosi与 cosi间的相互转化 亿库教育网 http:/www.eku.cc 百万教学
7、资源免费下载亿库教育网 http:/www.eku.cc 百万教学资源免费下载（1）若 tcosin，则 21cosint； 1sin2t； cosin=2t（2）若 tcsi，则 t1cosin； t2csi（3） 2ii1ottan例 5 化简： 8ctt。答案： 2例 6 若 在第二象限， 25cos2in，求 2cosin。答案： 235. 互为余角的三角函数相互转化若，则 cosin； sin例 7 已知 41)3si(，则)6(。答案：例 8 求值：10cos5in4。答案： 2亿库教育网 http:/www.eku.cc 百万教学资源免费下载亿库教育网 http:/www.eku
8、.cc 百万教学资源免费下载例 9 求值： 54sin18 。答案：6. 公式的变形及活用（1） tan1)tan(ttan（2）若2)tt4BABA例 10 计算 )45tan1(3ta)(2tn1)(ta( 。答案： 23例 11 10tan7310tan7t 。答案： 37. 角的和与差的相对性；角的倍角与半角的相对性例 12 若2)tan(,31t，则 tan 。答案：7例 13 若02cos7)cos(5，则2tant。答案： 6例 14 在 ABC中，A 为最小角，C 为最大角，且 8.0)2cos(CA， 8.0sinB，求)2cos(的值。答案： 6578. 角的范围的限定亿库
9、教育网 http:/www.eku.cc 百万教学资源免费下载亿库教育网 http:/www.eku.cc 百万教学资源免费下载由于条件中的三角式是有范围限制的，所以求值时可排除值的多样性。例 15 已知),0(,31cosin，求 2cos。答案： 97例 16 若 是第二象限角且 25cos2in，求 2cosin的值。解法一：利用公式i1)(si然后限定角的范围。解法二：设t2coin利用平方和求 t的值，然后限定角的范围。解法三：利用)2cos)(ins(i s，可回避限定角的范围。答案： 239. 在三角形中的有关问题 180CBA； CBA180； 2CBA结论： sin)si(；
10、 cos)co(2con； 2sin例 17 已知 A、B、C 是 的内角且 2lgcoslsinlgl CBA，试判断此三角形的形状。答案：等腰三角形，B=C例 18 在锐角三角形 ABC 中，求证： BABAcoscosinsin证明：由 2BA则 20亿库教育网 http:/www.eku.cc 百万教学资源免费下载亿库教育网 http:/www.eku.cc 百万教学资源免费下载故 BAcosin 同理 Ccosin Acosin三式相加，得证。10. 形如 n2842 的化简例 19 求值：（1） 7cos36 （2） 74cos27cs答案：（1） 4（2） 8111. 三角函数图
11、像和性质的应用会求定义域、值域、最值、周期、对称轴、单调区间（“一套” ） ；会解简单的三角不等式、三角方程、比较大小。例 20 求下列函数的定义域。（1） )sin(colgxy（2） tan5.0答案：（1）)(2,(Zkk（2）4,),0(例 21 求下列函数的值域。（1）,0sin2xy（2）若 是锐角，则 xycosi的值域。答案：（1）31,0（2） ,(12. 可化为形如： BxAy)sin的形式（一个角的一个三角函数）例 22 已知函数 x22sincoi3co，求“一套” 。亿库教育网 http:/www.eku.cc 百万教学资源免费下载亿库教育网 http:/www.ek
12、u.cc 百万教学资源免费下载答案：2)6sin(2xy，定义域：R；值域： 4,0， maxy， 0in；T对称轴)(2Zkx增区间：6,3k减区间：)(3,613. 函数 BxAy)sin(的图像的变换两个题型，两种途径题型一：已知解析式 xy)sin(确定其变换方法变换有两种途径：其一，先平移后横向伸缩；其二，先横向伸缩后平移。注：关注先横向伸缩后平移时平移的单位与 的关系题型二：由函数图像求其解析式 BxAy)si(例 23 已知函数 )sin(xAy， （ 0,， 2）在一个周期内，当 6x时，y有最大值为 2，当 3时， y有最小值为 ，求函数表达式，并画出函数)sin(xA在一个周期内的简图。 （用五点法列表描点）答案：)62si(y
