精选优质文档-倾情为你奉上1.3 度量空间的可分性与完备性在实数空间中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间的可分性同时，实数空间还具有完备性，即中任何基本列必收敛于某实数现在我们将这些概念推广到一般度量空间1.3.1 度量空间的可分性定义1.3.1 设是度量空间，如果中任意点的任何邻域内都含有的点，则称在中稠密若，通常称是的稠密子集注1：在中稠密并不意味着有例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数中稠密无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数定理1.3.1 设是度量空间，下列命题等价：(1) 在中稠密；(2) ，使得；(3) （其中，为的闭包，为的导集(聚点集)）；(4) 任取，有即由以中每一点为中心为半径的开球组成的集合覆盖证明 按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得定理1.3.2 稠密集的传递性 设是度量空间，若在中稠密，在中稠密，则在中稠密证明 由定理1.1知，而是包含的最小
