1、课程设计报告课程设计题目：野兔生长问题 数学建模一周论文- 2 -目 录摘要03问题重述05模型假设06建立模型07模型求解09模型误差分析13数学建模一周论文- 3 -摘要假设野兔生长的条件是在无外界干扰的完美条件下（即不考虑外界因素对野兔繁殖的影响） ，该种群的成长曲线应该为对数型增长。但依题意可知，野兔增长先是成对数增长后来趋于平缓，变化幅度不断降低，这说明野兔生长并不是处于理想的情况下的，考虑到自然的各种原因，诸如，环境条件因为兔群激增而变得恶劣，天气的变化，天敌的增多等等。对于这种种群生态学问题，我们可以用 Logistic（逻辑斯蒂方程）模型来模拟。Logistic 模型是种群生态
2、学的核心理论之一，它可以很好的表示生物种群的生长规律，动态的表示生物种群的增减情况，例如兔子。由于野兔生长问题相对简单，其涉及的内容和有求也相对较少，并且该问题概过了种群在生态中生长问题。根据逻辑斯蒂方程，以及建立一只双曲线右支可以预测出在 T=10 时，野兔数量为 10.8156十万只。在此，我们结合过去九年野兔数量的历史数据，建立了逻辑斯谛增长模型，得到野兔的生长规律如下：野兔初始于该地方生存时，野兔的生长繁殖有充分的保障，数量增多。随着野兔的不断繁殖，其有限生存空间日趋减小，其数量趋向于某一极值。而当野兔数量超过环境容纳量时,野兔种群的增长受到抑制，数量下降。当野兔种群数量降低到环境容纳
3、量以下时,野兔种群的出生率上升，死亡率下降，自然资源与食物资源较为充裕，种内与种间竞争有所缓解，从数学建模一周论文- 4 -而野兔种群增长加快。通过建立 Logistic 模型，我们小组得出当T=10 时，野兔数量为 10.8156（十万）只左右。该结果比较符合客观规律。利用 Logistic 模型可以表征种群的数量动态；如昆虫类种群的增长，收获与时间关系的确定。描述某一研究对象的增长过程如生态旅游区环境容量的确定，森林资源的管理以及耐用消费品社会拥有量的预测、国民生产总值的预测等；也可作为其它复杂模型的理论基础如 Lotka-Volterra 两种群竞争模型；以上的大多数的工作都是拿逻辑斯蒂
4、模型来用，但也由此可看出逻辑斯蒂方程不管在自然科学领域还是在社会科学中都具有非常广泛的用途。关键字:分析数据 异常现象 预测 数量 逻辑斯蒂方程模型数学建模一周论文- 5 -问题重述野兔生长问题：在某地区野兔的数量在连续十年的统计数量(单位十万)如下：T=0T=1 T=2 T=3 T=4 T=5 T=6 T=7 T=8 T=91 2.319694.508536.905686.005125.564955.328077.561018.93929.5817分析该数据，得出野兔的生长规律。 并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象，预测 T=10 时野兔的数量。首先，野兔是生长在自然环境中的。自然很复杂，
5、存在着许多影响种群发展的因素。我们知道，假如给野兔一个理想的环境，野兔数量是呈对数增长的。现实情况中，种群一般是呈 S 型增长的，从题中表格看出，野兔的数量并不是单一地增长，T=1,2.31969；T=3，6.90568；T=4，6.00512；T=5，5.56495，呈类J 型增长，说明兔子数量不多受内外因素的因数影响不明显。第四年到第七年，这三年野兔的数量不增反降呈类 S 型增长，说明其间有影响野兔生长的因素存在。我们探讨了其中的因素：（1） ，兔子的内部矛盾，兔子之间因为食物的减少而引发争斗等。（2） ，自然环境的恶化，比如说兔子的激增使粪便数量大大增加是环境变得恶劣，不在适合兔子的生存
6、；再如气候反常，使野兔的产数学建模一周论文- 6 -卵，交配受影响。（3） ，天敌的捕食，狼，狐狸等天敌大量地捕食使野兔生存受到威胁。（4） ，疾病的侵扰，野兔种群中，蔓延并流行疾病，必然使野兔存活率下降。 。（5） ，人类的影响，城市扩建，使其栖息地面积减少；捕杀。考虑到上述因素，野兔的生长就不能完全用一个 Logistic 模型来模拟模型假设因为所学知识有限，所以我们做出以下假设以方便猜想：（1）,假设它使处于自然的情况（没有人的作用）,人类活动对其生存不产生影响。（2） ，假设各个环境因素对野兔生长的影响是互不影响的。兔子种族内部生存空间足够多，不存在对生存空间需求问题。（3） ，假设兔
7、子的内部因素对其生存率的影响不大。（4） ，假设野兔在各年龄段中的分布率不变，即年龄结构不变，并采用各种措施维持这一结构；（5）假设野兔性别比接近 1：1，且采用措施维持这个比列。（6）假设母兔可以怀孕的年龄为 1 到 6 岁，最高年龄为 10 岁，10岁的死亡率为 100%，并且 6 到 10 岁的野兔个数成线性递减趋势。数学建模一周论文- 7 -在以上条件成立的前提下，用 Logistic 模型来模拟野兔的增长情况。建立模型对于生物模型，首先考虑的是 logistic 模型，考虑到 logistic模型的增长曲线是单调的，而题目所给的数据中有一段是下降的，这是反常的情况，而正常情况应当是单
8、调上升的。考虑到可能在这段时间内有使野兔减少的因素。不能在整个时间段进行拟合，我们应当在每个单调区间上进行拟合。第一单调增区间T=0 T=1 T=2 T=31 2.31969 4.50853 6.90568第一单调减区间T=3 T=4 T=5 T=66.90568 6.00512 5.56495 5.32807第二单调增区间T=6 T=7 T=8 T=95.32807 7.56101 8.9392 9.5817我们把野兔生长情况分成了上表三个区间，建立野兔生长的数学建模一周论文- 8 -logistic 模型。我们先假设在一个小的单位时间间隔内新出生的兔子百分比为 b，类似的兔子死亡率的百分比
9、为 c。换句话，新的兔子数 P(t+ t)是原有兔子数 P(t)加上在 t 时间内新增兔子数减去死亡兔子数，即 P(t+ t)=P(t)+bP(t) t-cP(t) t 这样我们把问题化归到如何确定 k。一旦 k 被确定，通过已知数据，我们解这个微分方程，就可以得到一个野兔数量随时间变化的函数了这个模型就成为 logistic 模型。P(t) p Me rM (tt )M p p erM (tt )数学建模一周论文- 9 -模型求解对于 logistic 连续模型，设微分方程为 ， , （1）)1(dbxat0(x)0,/1(xb其中参数 a，b 需要通过拟合得到。（1） 的解为. （2）)e
10、xp(1)(0atbtx设已知连续三年的数据 ，其中 ，则)(,)(321tt 0123Ttt由（2）得方程组(3) 310 21010)exp(1)exp(xaTtbtatb这三个方程中有三个未知量 可以解出 a,b 如下: 将（3）中第0,a一式代入第二、三式消去 x0， 得(4)bxaTbx31211)ep(消去 a 后得 b 满足的方程数学建模一周论文- 10 -(5)2311bxbx解得 . (6)2()31132xxb代入(4) 的第一式得 a 满足的方程(3)Txa)(ln2311求参数 a,b 的 MATLAB 程序function a,b, q=hare(p,T)% 输入单调
11、的连续三年数量 p 和时间间隔 T(本题 T=1), 输出参数 a, b 和下一年的数量 qa=log(p(3)*(p(2)-p(1)/(p(1)*(p(3)-p(2);b=(p(2)2-p(3)*p(1)/(p(3)*p(2)+p(1)*p(2)-2*p(1)*p(3)/p(2);q=1/(b+(1/p(3)-b)*exp(-a*T)）;在第一个上升阶段, 对于连续三年（0，1，2）和（1，2，3）分别计算得到二组 a，b 值0.99999629543280 0.09999899065418 1.00000189673056 0.10000006995945 在下降阶段，对于连续三年（3，4，5）和（4，5，6）分别计算得
