1、第十讲：行程问题分类例析主讲：何老师 行程问题有相遇问题，追及问题，顺流、逆流问题，上坡、下坡问题等.在运动形式上分直线运动及曲线运用(如环形跑道). 相遇问题是相向而行 .相遇距离为两运动物体的距离和.追及问题是同向而行,分慢的在快的前面或慢的先行若干时间,快的再追及,.顺逆流、顺风逆风、上下坡应注意运动方向，去时顺流，回时则为逆流.及及及S一、相遇问题例 1：两地间的路程为 360km，甲车从 A 地出发开往 B 地，每小时行 72km；甲车出发 25 分钟后，乙车从 B 地出发开往 A 地，每小时行使 48km，两车相遇后，各自按原来速度继续行使，那么相遇以后，两车相距 100km 时，
2、甲车从出发开始共行驶了多少小时？分析：利用相遇问题的关系式（相遇距离为两运动物体的距离和）建立方程. 解答：设甲车共行使了 xh，则乙车行使了 .（如图 1）hx)(6025依题意，有 72x+48 =360+100,)(6025x解得 x=4.因此，甲车共行使了 4h.说明：本题两车相向而行，相遇后继续行使 100km，仍属相遇问题中的距离，望读者仔细体会.例 2:一架战斗机的贮油量最多够它在空中飞行 4.6h,飞机出航时顺风飞行,在静风中的速度是 575km/h,风速 25 km/h,这架飞机最多能飞出多少千米就应返回?分析:列方程求解行程问题中的顺风逆风问题.顺风中的速度=静风中速度+风
3、速逆风中的速度=静风中速度-风速解答:解法一:设这架飞机最远飞出 xkm 就应返回.依题意，有 642575.x解得:x=1320.答:这架飞机最远飞出 1320km 就应返回.解法二: 设飞机顺风飞行时间为 th.依题意,有(575+25)t=(575-25)(4.6-t),解得:t=2.2.(575+25)t=6002.2=1320.答:这架飞机最远飞出 1320km 就应返回.说明:飞机顺风与逆风的平均速度是 575km/h,则有 ,解得 x=1322.5.错误原因在于64572.x图 1飞机平均速度不是 575km/h,而是 )/(hkmvxv 5740622及及及及及及例 3:甲、乙
4、两人在一环城公路上骑自行车，环形公路长为 42km，甲、乙两人的速度分别为21 km/h、14 km/h.(1)如果两人从公路的同一地点同时反向出发，那么经几小时后,两人首次相遇?(2)如果两人从公路的同一地点同时同向出发，那么出发后经几小时两人第二次相遇?分析:这是环形跑道的行程问题.解答:(1)设经过 xh 两人首次相遇.依题意,得(21+14)x=42,解得:x=1.2.因此,经过 1.2 小时两人首次相遇.(3)设经过 xh 两人第二次相遇.依题意,得 21x-14x=422,解得:x=12.因此,经过 12h 两人第二次相遇.说明:在封闭的环形跑道上同向运动属追及问题，反向运动属相遇
5、问题.从同一地点出发,相遇时,追及路程或相隔路程就是环形道的周长,第二次相遇,追及路程为两圈的周长.有趣的行程问题【探究新知】例 1、甲、乙二人分别从相距 30 千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走 6 千米，乙每小时走 4 千米，问：二人几小时后相遇？分析与解： 出发时甲、乙二人相距 30 千米，以后两人的距离每小时都缩短 6410（千米） ，即两人的速度的和（简称速度和） ，所以 30 千米里有几个 10 千米就是几小时相遇.30（64）30103（小时）答：3 小时后两人相遇.本题是一个典型的相遇问题.在相遇问题中有这样一个基本数量关系：路程速度和时间. 例 2、如右下图有一条长方形跑
6、道，甲从 A 点出发，乙从 C 点同时出发，都按顺时针方向奔跑，甲每秒跑 5 米，乙每秒跑 4.5 米。当甲第一次追上乙时，甲跑了多少圈？（第二届希望杯试题）分析与解：这是一道环形路上追及问题。在追及问题问题中有一个基本关系式：追击路程=速度差追及时间。追及路程：106=16（米）速度差：54.5=0.5 （米）追击时间：160.5=32 （秒）甲跑了 532（106）2=5 （圈）答：甲跑了 5 圈。例 3、一列货车早晨 6 时从甲地开往乙地，平均每小时行 45 千米，一列客车从乙地开往甲地，平均每小时比货车快 15 千米，已知客车比货车迟发 2 小时，中午 12 时两车同时经过途中某站，然
7、后仍继续前进，问：当客车到达甲地时，货车离乙地还有多少千米？分析与解：货车每小时行 45 千米，客车每小时比货车快 15 千米，所以，客车速度为每小时（4515）千米；中午 12 点两车相遇时，货车已行了（126）小时，而客车已行（1262）小时，这样就可求出甲、乙两地之间的路程.最后，再来求当客车行完全程到达甲地时，货车离乙地的距离.解：甲、乙两地之间的距离是：45（126）（4515）（1262）456604510（千米）.客车行完全程所需的时间是：510（4515）510608.5（小时）.客车到甲地时，货车离乙地的距离：51045（8.52）510472.537.5（千米）.答：客车到
8、甲地时，货车离乙地还有 37.5 千米.例 4、两列火车相向而行，甲车每小时行 36 千米，乙车每小时行 54 千米.两车错车时，甲车上一乘客发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了 14 秒，求乙车的车长？分析与解：首先应统一单位：甲车的速度是每秒钟 36000360010（米），乙车的速度是每秒钟 54000360015（米）.本题中，甲车的运动实际上可以看作是甲车乘客以每秒钟 10 米的速度在运动，乙车的运动则可以看作是乙车车头的运动，因此，我们只需研究下面这样一个运动过程即可：从乙车车头经过甲车乘客的车窗这一时刻起，乙车车头和甲车乘客开始作反向运动 14 秒，每一
9、秒钟，乙车车头与甲车乘客之间的距离都增大（1015）米，因此，14 秒结束时，车头与乘客之间的距离为（1015）14350（米）.又因为甲车乘客最后看到的是乙车车尾，所以，乙车车头与甲车乘客在这段时间内所走的路程之和应恰等于乙车车身的长度，即：乙车车长就等于甲、乙两车在 14 秒内所走的路程之和.解：（1015）14350（米）答：乙车的车长为 350 米.例 5、某列车通过 250 米长的隧道用 25 秒，通过 210 米长的隧道用 23 秒，若该列车与另一列长 150 米.时速为 72 千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟？分析与解： 解这类应用题，首先应明确几个概念：列车通过隧道指的是从车
10、头进入隧道算起到车尾离开隧道为止.因此，这个过程中列车所走的路程等于车长加隧道长；两车相遇，错车而过指的是从两个列车的车头相遇算起到他们的车尾分开为止，这个过程实际上是一个以车头的相遇点为起点的相背运动问题，这两个列车在这段时间里所走的路程之和就等于他们的车长之和.因此，错车时间就等于车长之和除以速度之和。列车通过 250 米的隧道用 25 秒，通过 210 米长的隧道用 23 秒，所以列车行驶的路程为（250210）米时，所用的时间为（2523）秒.由此可求得列车的车速为（250210）（2523）20（米/秒） .再根据前面的分析可知：列车在 25 秒内所走的路程等于隧道长加上车长，因此，
11、这个列车的车长为2025250250（米） ，从而可求出错车时间。解：根据另一个列车每小时走 72 千米，所以，它的速度为：72000360020（米/秒） ，某列车的速度为：（250210）（2523）40220（米/秒）某列车的车长为：2025-250500-250250（米）两列车的错车时间为：（250150）（2020）4004010（秒）.答：错车时间为 10 秒.例 6、甲、乙两人分别从相距 260 千米的 A、B 两地同时沿笔直的公路乘车相向而行，各自前往 B 地、A 地。甲每小时行 32 千米，乙每小时行 48 千米。甲、乙各有一个对讲机，当他们之间的距离小于 20 千米时，两
12、人可用对讲机联络。问：(1)两人出发后多久可以开始用对讲机联络?(2)他们用对讲机联络后，经过多长时间相遇?(3)他们可用对讲机联络多长时间?（第四届希望杯试题）分析与解：(1)(260-20)(32+48)=3(小时)。 (2)20(32+48)=0.25(小时) 。 (3)从甲、乙相遇到他们第二次相距 20 千米也用 0.25 小时所以他们一共可用对讲机联络0.25+0.25=0.5(小时) 。 例 7、甲、乙两车同时从 A、B 两地出发相向而行，两车在离 B 地 64 千米处第一次相遇.相遇后两车仍以原速继续行驶，并且在到达对方出发点后，立即沿原路返回，途中两车在距 A 地 48 千米处
13、第二次相遇，问两次相遇点相距多少千米？分析与解：甲、乙两车共同走完一个 AB 全程时，乙车走了 64 千米，从上图可以看出：它们到第二次相遇时共走了 3 个 AB 全程，因此，我们可以理解为乙车共走了 3 个 64 千米，再由上图可知：减去一个 48 千米后，正好等于一个 AB 全程.解：AB 间的距离是6434819248144（千米）.两次相遇点的距离为144486432（千米）.答：两次相遇点的距离为 32 千米.例 8 赵伯伯为锻炼身体，每天步行 3 小时，他先走平路，然后上山，最后又回沿原路返回，假设赵伯伯在平路上每小时行 4 千米，上山每小时行 3 千米，下山每小时行 6 千米，在
14、每天锻炼中，他共行走多少米？（第五届希望杯试题）分析与解：赵伯伯上山和下山走的路程相同，上山速度为 3 千米，下山速度为 6 千米，上山与下山的平均速度是多少？（这是一个易错题）可以通过“设数”的方法让四年级同学明白。设上山路程为 6 千米， （想一想为什么设 6 千米？还可以设几千米？）上山时间为：63=2（时）下山时间为：66=1（时）上下山的平均速度为：（66）（21）=4 千米又因为平路的速度也为 4 千米/小时，所以赵伯伯每天锻炼走的路程为：43=12 千米。【挑战自我】1、小明、小华和小新三人家在同一条街道上，小明家在小华家西 300 米处，小新家在小明家东 400 米处，则小华家
15、和小新家相距多少米？（第三届希望杯试题）答案：画图得 100 米。2、小明家离学校 2 千米，小光家离学校 3 千米，小明和小光的家相距多少千米？（第一届希望杯试题）答案：1 千米与 5 千米之间。分类讨论，一题多解。当小明家与小光家在同一侧时，距离最近为 1 千米。当小明家与小光家方向相反时，距离最远为 5 千米。但是小明和小光家可能不在一条直线上，所以小明与小光家的距离应在 1千米至 5 千米之间。3、甲乙两个港口相距 400 千米，一艘轮船从甲港顺流而下，20 小时可到达乙港。已知顺水船速是逆水船速的 2 倍。有一次，这艘船在由甲港驶向乙港途中遇到突发事件，反向航行一段距离后，再掉头驶向
16、乙港，结果晚到 9 个小时。轮船的这次航行比正常情况多行驶了多少千米？（第四届希望杯试题）答案：顺水速度是 40020=20（千米）逆水速度是 202=10（千米）反向航行一段距离顺水时用的时间是 9（21）=3（小时）比正常情况多行驶的路程是 2032=120（千米）4、两列相同而行的火车恰好在某站台相遇。如果甲列车长 225 米，每秒行驶 25 米，乙列车每秒行驶 20 米，甲、乙两列车错车时间是 9 秒。求：（1）乙列车长多少米？（2）甲列车通过这个站台用多少秒？（3）坐在甲列车上的小明看到乙列车通过用了多少秒？（第二届希望杯试题）答案：（1）乙列车长 180 米（2）甲列车通过这个站台
17、用多 9 秒（3）坐在甲列车上的小明看到乙列车通过用了 4 秒5、甲、乙两车同时从 A、B 两地沿相同的方向行驶，甲车如果每小时行60 千米，则 5 小时可追上前方的乙车；如果每小时行驶 70 千米，则 3 小时可追上前方的乙车。由上可知，乙车每小时行驶多少千米？（第三届希望杯试题）答案：乙车每小时行驶 45 千米。【综合练习】1、甲、乙两车分别从相距 240 千米的 A、B 两城同时出发，相向而行，已知甲车到达 B 城需 4 小时，乙车到达 A 城需 6 小时，问：两车出发后多长时间相遇？答案：240（24042406）2.4（小时）.2、小明家在学校东 400 米处，小红加在小明家的西 2
18、00 米处，那么小红家距离学校多少米？ （第三届希望杯试题）答案：画图解题，小红家距学校 200 米。3、甲、乙二人以均匀的速度分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离 A 地 4 千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距 B 地 3 千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离？答案：A、B 两地间的距离： 4339（千米） .两次相遇点的距离：9432（千米）.4、周老师和王老师沿着学校的环形林荫道散步，王老师每分钟走 55 米，周老师每分钟走 65 米。已知林荫道周长是 480 米，他们从同一地点同时背向而行。在他们第 10 次相遇后，王老师再走多少米就
19、回到出发点？（第四届希望杯试题）答案：几分钟相遇一次：480（5565）=4（分钟）10 次相遇共用：410=40（分钟）王老师 40 分钟行了：5540=2200（米）2200480=4（圈） 280（米）所以正好走了 4 圈还多 280 米，480280=200（米）答：再走 200 米回到出发点。5、 “希望号”和“奥运号”两列火车相向而行， “希望号”车的车身长280 米， “奥运号”车的车身长 385 米，坐在“希望号”车上的小明看见“奥运号”车驶过的时间是 11 秒，求：（1） “希望号”和“奥运号”车的速度和？（2）坐在“奥运号”车上的小强看见“希望号”车驶过的时间？（3）两列火
20、车的会车的时间？答案：（1）速度和 35 米/秒；（2）8 秒；（3）会车时间 19 秒。5小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回） ，他们在离甲村 3.5 千米处第一次相遇，在离乙村 2 千米处第二次相遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎面相遇）？解：画示意图如下.第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的 3 倍，因此张走了3.5310.5（千米）.从图上可看出，第二次相遇处离乙村 2 千米.因此，甲、乙两村距离是10.5-28.5（千米）.每次要再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离 2 倍的路程.第四次相遇时，两人已共同走了两村距离（
21、322）倍的行程.其中张走了3.5724.5（千米） ，24.5=8.58.57.5（千米）.就知道第四次相遇处，离乙村8.5-7.5=1（千米）.答：第四次相遇地点离乙村 1 千米.35 甲、乙、丙是一条路上的三个车站，乙站到甲、丙两站的距离相等，小强和小明同时分别从甲、丙两站出发相向而行，小强经过乙站 100 米时与小明相遇，然后两人又继续前进，小强走到丙站立即返回，经过乙站 300 米时又追上小明，问：甲、乙两站的距离是多少米？先画图如下：分析与解：结合上图，我们可以把上述运动分为两个阶段来考察：第一阶段从出发到二人相遇：小强走的路程=一个甲、乙距离+100 米，小明走的路程=一个甲、乙
22、距离-100 米。第二阶段从他们相遇到小强追上小明，小强走的路程=2 个甲、乙距离-100 米+300 米=2 个甲、乙距离+200 米， 小明走的路程=100+300=400（米） 。从小强在两个阶段所走的路程可以看出：小强在第二阶段所走的路是第一阶段的 2 倍，所以，小明第二阶段所走的路也是第一阶段的 2 倍，即第一阶段应走 4002200（米） ，从而可求出甲、乙之间的距离为 200100=300（米） 。47、现在是 3 点，什么时候时针与分针第一次重合？分析与解：3 点时分针指 12，时针指 3。分针在时针后 5315（个）格.48、有一座时钟现在显示 10 时整。那么，经过多少分钟
23、，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合？解：10 时整，分针与时针距离是 10 格，需要追击的距离是（60-10）格，分针走 60 格，时针走 5 格，即分针走 1 格，时针走 5/60=1/12 格。第一次重合经过 （60-10）/（1-1/12）=54（6/11） （分）第二次重合再经过 60/（1-1/12）=65（5/11） （分）答：经过 54（6/11）分钟，分针与时针第一次重合；再经过 65（5/11）分钟，分针与时针第二次重合。2 点钟以后，什么时刻分针与时针第一次成直角？分析与解：在 2 点整时，分针落后时针 52=10（个）格，当分针与时针第一次成直角
24、时，分针超过时针 60（90360）=15（个）格，因此在这段时间内分针要比时针多走10+15=25（个）格，所以到达这一时刻所用的时间为：49、在 9 点与 10 点之间的什么时刻，分针与时针在一条直线上？分析与解：分两种情况进行讨论。分针与时针的夹角为 180角：当分针与时针的夹角为 180角时，分针落后时针 60（180360）=30（个）格，而在 9 点整时，分针落后时针 59=45（个）格.因此，在这段时间内分针要比时针多走 45-30=15（个）格，而每分钟分针比时针多走（分钟） 。分针与时针的夹角为 0，即分针与时针重合：9 点整时，分针落后时针 59=45（个）格，而当分针与时
25、针重合时，分针要比时针多走45 个格，因此到达这一时刻所用的时间为：45(1-1/12)49 又 1/11（分钟）19、甲、乙二人分别从 A、B 两地同时出发，如果两人同向而行，甲 26 分钟赶上乙；如果两人相向而行，6 分钟可相遇，又已知乙每分钟行 50 米，求 A、B 两地的距离。解： 先画图如下：【方法一】 若设甲、乙二人相遇地点为 C，甲追及乙的地点为 D，则由题意可知甲从 A 到C 用 6 分钟.而从 A 到 D 则用 26 分钟，因此，甲走 C 到 D 之间的路程时，所用时间应为：（26-6）=20（分）。同时，由上图可知，C、D 间的路程等于 BC 加 BD.即等于乙在 6 分钟
26、内所走的路程与在26 分钟内所走的路程之和，为 50（266）=1600（米）.所以，甲的速度为16002080（米/分），由此可求出 A、B 间的距离。50（26+6）（26-6）=50322080（米/分）（80+50）61306=780（米）答：A、B 间的距离为 780 米。【方法二】设甲的速度是 x 米/分钟那么有(x-50)26=(x+50)6解得 x=80所以两地距离为(80+50)6=780 米5小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回） ，他们在离甲村 3.5 千米处第一次相遇，在离乙村 2 千米处第二次相遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎面相遇）？解：画示意图如下.第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的 3 倍，因此张走了3.5310.5（千米）.从图上可看出，第二次相遇处离乙村 2 千米.因此，甲、乙两村距离是
