1、二次函数计算题1、在平面直角坐标系 （如图）中，已知：点 （ ， ） 、xOyA30（ ， ） 、 （ ， ）.B25C03（1）求经过点 、 、 的抛物线的表达式及画出图形；AB（2）若点 是（1）中求出的抛物线的顶点，求 的值.DCDtan2、已知：抛物线 经过 A（-1，8） 、B（3，0） 、C（0，3）三点2yaxbc（1）求抛物线的表达式；（2）写出该抛物线的顶点坐标3、如图，直线 yx 3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、C，经过 A、C 两点的抛物线 yax 2bxc 与 x 轴的负半轴上另一交点为 B，且 tanCBO=3（1）求该抛物线的解析式及抛物线的顶点 D 的坐标；
2、（2）若点 P 是射线 BD 上一点，且以点 P、A、B 为顶点的三角形与ABC 相似，求 P 点坐标xyOyA xB OCD4、已知：如图，抛物线 与 轴交于点 C，245yxmy与 轴交于点 A、 B， （点 A 在点 B 的左侧）且满足 OC=4OAx设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M：（1）求抛物线的解析式及点 M 的坐标； （2）联接 CM，点 Q 是射线 CM 上的一个动点，当QMB 与COM 相似时，求直线 AQ 的解析式5、如图，在直角坐标平面上，点 A、 B 在 x 轴上（A 点在 B 点左侧） ，点 C 在 y 轴正半轴上，若 A（-1,0） ，OB =3OA，且 tan
3、CAO=2.（1）求点 B、 C 的坐标；（2）求经过点 A、 B、 C 三点的抛物线解析式；（3）P 是（2）中所求抛物线的顶点，设 Q 是此抛物线上一点，若ABQ 与ABP 的面积相等，求 Q 点的坐标.BACO xyyxOA6、如图，已知抛物线 经过点 B（-4，0）与点 C（8，0） ，且交 轴于214yxbc y点 .A（1）求该抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；（2）将该抛物线向上平移 4 个单位，再向右平移 m 个单位，得到新抛物线若新抛物线的顶点为 P，联结 BP，直线 BP 将ABC 分割成面积相等的两个三角形，求 m 的值7、在平面直角坐标系 （如图）中，已知 A（ ， ）
4、 、B （ ， ）两点在二次函xOy1-32n数 的图像上.4312by（1）求 与 的值；n（2）联结 、 、 ，求AOB 的面积；AB（3）若点 （不与点 重合）在题目中已经求出的二次函数P的图像上，且 ，求点 的坐标.45OPO CAB y xA BO 1xy8、如图，抛物线 经过点 C（0， ） ，2yaxb32且与 x 轴交于点 A、点 B，若 tanACO= （1）求此抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为 M，点 P 是线段 OB 上一动点（不与点 B 重合） ，MPQ=45，射线 PQ 与线段 BM交于点 Q，当MPQ 为等腰三角形时，求点 P 的坐标x（MACBOyPQ答案：
5、1解：（1）设经过点 、 、 的抛物线的表达式为 ，ABCcbxay2将点 （ ， ） 、 （ ， ） 、 （ ， ）分别代入，得302503解这个方程组，得 1+3 分.,5249cba.,21cb所以，经过点 、 、 的抛物线的表达式为 . 1 分ABC2xy（2）由 = ，32xy4)1(2得顶点 的坐标是 . 1 分D,方法 1： ，822AC，2)34()0(. 1 分01322D , ， .1 分8CA2AD22ADC . . 1+1 分90tan3C2.解：（1）由抛物线 经过 C（0，3）可知 . （2 分）2yxbcc由抛物线 经过 A（-1，8） 、B（3，0）得23yax
6、b（2 分）2()(1),30.解得 （2 分）,4.ab该抛物线的表达式为 . （1 分）243yxx图 5y（2）由 配方得 . （2 分）243yx2()1yx顶点坐标为（2，-1）. （1 分）3、解：（1）直线 yx 3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、C （1 分）(,0)(,AB在 Rt ADB 中， ，得 BO=1，B（ ，0）（2 分）3tanCO设二次函数解析式为 ，将点 B（0，3）代入，解得 a=1()1yx二次函数解析式为 （2 分）24顶点 D 坐标为 （1(,1)分）（2） ，ABD=45，（1 分）(,)(,0B直线 AC 的解析式为 y=x+3，CAO= 4
7、5即ABD =CAO （1分）若 ，即四边形 APBC 为平行四边形时，解得 P(4，3) ； APBC若 ，得 ，得 ，得 ，解得ABP3223BP( , ).532综上所述，点 P 的坐标为(4，3)或( , )（4532分）4解：（1）根据题意：C（0， 4）（1 分）OC=4OAA（ ，0）（1 分）把点 A 代入得 0= （1 分）5m解得 （1 分）16=抛物线的解析式 （1 分）2416yx24165yx2436)5x（ （1 分）(0)M，（2）根据题意得：BM=3，tanCMO= 2，直线 CM：y= x+42（i）当COM=MBQ=90 时，COMQBM tanBMQ= B
8、QBQ=6即 Q（5， ） （2 分）6AQ： （1 分）1yx（i i）当COM=BQM=90时，COMBQM 同理 Q（ ） （2 分）3， -AQ： （1 分）yx5、解：（1）据题意 OA=1，RtACO 中，tanCAO= =2 （1 分）OACOC=2 C（0,2） （1 分）OB=3OA=3 B（3,0 ） （1 分）（2）设 （1 分）0)(axay形C（0,2）代入得 2=-3a （1 分）32- （1 分）4)(13xx-y形（3）设 Q（ x,y） P（1， ） （1 分）242-38AB=OA+OB=4 3642pABySABQ 与ABP 的面积相等 y= （2 分）1
9、yABSQ38当 y= 时 解得 382342x- 21xQ（1， ） （1 分）图 9-1xy当 y= 时 - 解得382342x212形Q （2 分）)1形形6解：（1）由题意，得： 解这个方程组，得0,168bc 18bc抛物线的表达式为 24yx 顶点坐标是（2，-9）28()4yx（2）易求 A（0, -8） ，设线段 AC 的中点为 D，可求得点 D 的坐标是（4，-4）由题意知 BP 经过 D（4，-4 ）设 ，可得 ，解得:(0)BPlykxb4kb12k 1:2l又由题意知，新抛物线的解析式为 21()54yxm顶点 P 坐标为（2+m，-5）点 P 在直线 BP 上， 5(
10、)2 47解：（1）点 A（ ， ）在二次函数 的图像上，1-34312bxy .解得 . 2 分4)(2b经过 A（ ， ） 、B（ ， ）两点的二次函数的解析式是-n. ，即 . 4312xy 4321n2 分（2）如图 9-1，过点 作 轴，垂足为 ，过点 作ADBADBE，垂足为 .E由题意，易得 ， ， ，1O3E， .4D3梯形 的面积为：B.842)(2ESOE形,231ODASD.2EBE .538AEBDOAOS形评分标准：四个面积表达式，每个 1 分.方法 2：与方法 1 类似，23)4(ADMBS形，O，21BM .5BOMADBAOSS形评分标准：四个面积表达式，每个
11、1 分.方法 3：分别求 、 、 的长度，勾股逆定理证AOB 是直角三角形，使用三角形面积公式直接求AOB 的面积.其中，求出 、 ， ，1 分.10AOB20O勾股逆定理证AOB 是直角三角形 2 分1 分52SAOB方法 4：与方法 1 类似，证明AODBAE .方法 5：求直线 与 轴的交点 的坐标，然后求AON、BON 的面积.yN方法 6：利用锐角三角比求 到 的距离，然后AOB 的面积.AOB其他方法，请阅卷老师补充.（3）分别计算： 、 ， ，1020利用勾股逆定理证AOB 是直角三角形 .由 得到 . ABO45ABO图 92xy图 93xy ， 不与点 重合，45POBA .
12、90PBA过 作 轴，垂足为 .xH由 ，D90OD得 . 1 分 . O31tantanA ，设 ，则 ，得 . 1 分31PHkHk),3(kP将 代入 ，得 .),3(k42xy 42)整理，得 .042解这个关于 的方程，得 ， .得 、 1 分k1k32)1,(P)3,(2经验知 不合题意，舍去.故所求的点 的坐标为 . 1 分)1,3(2P 48. 解：(1)抛物线 经过点 C（0， ） ，2yaxb2b= ， OC= （1分）AOC=90，tanACO= ，23 OA= OC=1，点 A 坐标为（ ， 0） ，（1231分）代入解析式，解得 a= ，12所以解析式为： （13yx分）(2) 由 解得：M （1， ） ，B（3，0） 21yx2（2 分）过点 M 作 MDx 轴交于点 D，（1 分）DM=DB=2，OBM=45 （1 分）当 QP=QM 时，QPM= QMP=45，PQM=90x（第 24 题）MACBOyPQD
