1、 毕业论文题 目 随机微分方程均方有界解存在性判定的研究学 院专业班级学 号姓 名指导教师二一七年六月九日I中 文 摘 要随机微分方程被广泛的应用在许多领域，如在经济学中，自然科学中，工程技术中，人口生态学中等众多领域。事实上，使用随机微分方程来建模可以更真实，更准确的刻画系统的运行状态。其中，解的稳定性是指解在时间进程中具有什么极限状态，以及极限状态如何依赖于初始值。稳定性在系统分析及微分方程的定性理论研究中处于十分重要的地位，一直是人们研究方程的重点与热点。因此研究随机微分方程解稳定性是一项非常有意义的工作。本文第一章介绍了本文工作的背景以及本文的结构及主要工作；第二章作为准备知识给出了本
2、文要用到的相关内容，其中包括随机微分方程的基本概念和论文中要用到的基本定理；第三章展示了本文的主要结果，对在随机微分方程的系数满足全局 Lipschitz 条件，取值于欧氏空),(,()(,)( tdWXtgdtftdX间中某个紧集时，我们可以根据方程的一个在半实轴上呈现出均方有界性的解推出，方程 具有在全空间上均方有界性的解。进行了, tttft证明，从而证明了 是一个有界解；第四章给出了结论。关键词 随机微分方程 布朗运动 随机过程 鞅 解的唯一性 有界性IITitle A study on the existence of mean square bounded solution of
3、stochastic differential equations AbstractStochastic differential equations are widely used in many fields, such as in economics, in natural science, in engineering, and in many areas of population ecology. In fact, the use of stochastic differential equations to model can be more realistic and more
4、 accurate description of the systems operating state. The stability of the solution refers to the limit state of the solution in the time process, and how the limit state depends on the initial value. Stability plays an important role in system analysis and qualitative theory of differential equatio
5、ns. It has been the focus and hot spot for people to study equations. Therefore, it is a very meaningful job to study the stability of stochastic differential equations. The first chapter introduces the background of the work and structure of this article and the main work; the second chapter is the
6、 related content to give knowledge will be used in this paper, the basic concept and the basic theorem including stochastic differential equations will be used; The third chapter shows the main results of this paper, the coefficient on the stochastic differential equation to satisfy global ),(,()(,)
7、( tdWXtgdtftdXLipschitz conditions, valued in Euclidean space in a compact set, we can according to the equation in a real half axis shows the mean square boundedness of solution have launched, with equation in the whole space are boundedness ),(,()(,)( tWtgtftdXof solutions of the party. The proof
8、is proved to be a bounded solution, and the fourth chapter gives the conclusion. Key words Stochastic differential equation Brown motion stochastic process martingale solution uniqueness boundedness III目录1 绪论 .11.1 有界解的存在性 .11.2 布朗运动 .21.3 本文结构 .32 预备知识 .42.1 Lyapunov 函数 .42.2 解的存在唯一性 .62.3 布朗运动与随机微
9、分方程 .72.3.1 代数 .7-2.3.2 可测空间，有限测度，概率测度和概率空间 .72.3.3 可测映射与随机变量 .82.3.4 随机过程，停时 .102.3.5 随机连续 .112.3.6 布朗运动 .122.3.7 鞅 .122.3.8 随机等价 .142.3.9 随机过程的依分布收敛 .172.3.10 欧几里德空间 .172.3.11 利普希茨连续条件 .182.3.12 马尔科夫过程 .19IV3 本文的主要结果 .213.1 随机微分方程的均方有界解 .214 结论 .24参考文献 .25致 谢 .28附录 .2911 绪论1.1 有界解的存在性最早的常微分方程理论之中并
10、没有对微分方程解的定性的研究，因为古典微分方程都是可以用数学分析的方法求得通解的。但是 Liouville 于 1841 年证明了形如：(1.1.1)的 Riccati 方程，当时，(1.1.1)无法用初等方法求解（证明详见 24)。对于微分方程，方程的解无初等表示其对于应用科学而言几乎可视为不存在，因而从那个时代开始，微分方程定性研究以及对解的逼近和估计逐渐成为该领域的主要发展趋势。对于确定性微分方程(1.1.2)Picard 已经证明了著名的 Picard 存在与唯一性定理，这一定理不仅为使用数值方法研究微分方程提供了重要理论保证和技巧支撑，甚至最终 Poincare 及 Birkhoff
11、 以常微分方程解对初值的存在唯一性为根基，将解对时间以及初值的某种群性质进一步抽象化，形成了抽象动力系统理论体系。除了动力系统的基础理论之外，Birkhoff 的另一大成就是对于解的回复性的。研究发现解的回复性已成为动力系统领域最主要的研究方向之一。回复性是指，在经过充分长的时间后，解（或者动力系统的轨线）会回到初值或初值在某一拓扑意义下的“附近”。从物体运动的角度描述就是，所论移动物体经足够长的时间会回到包含出发点的某个有限区域中。注意到欧氏空间里有界性蕴含紧性，因而解或轨线的有界性是其具有回复性的一个必要条件。 于是研究如何得到微分方程的有界解开始变得有意义。但遗憾的是，至今仍没有有效的方
12、法在不确定微分方程解的一些其他2特别性质之前确定有界解的存在，因而在研究有关回复性或稳定性（通过 Lyapunov对稳定性的定义我们不难看出，稳定性是一种强回复性）的经典文献中（见Yoshizawa 25262829, Fink 8 以及 Levitan 31),人们都在需要有界解时直接假设其存在。本文中我们考虑了一些十分特殊的随机微分方程的均方有界解的存在性。1.2 布朗运动人类对布朗运动的研究始于 1827 年，英国植物学家 R. Brown 1发现散布在液体或气体中的微粒（确切说是花粉颗粒）的不规则运动。但 Brown 的 研究仅出于博物学的目的并基于直观观察：Brown 通过显微镜发现
13、花粉颗粒在热作用下的运动十分复杂，他无法描述其一般规律，同时他并未视之为一般现象，而是作为花粉的某种特性进行描述，Brown 对这种运动状态的总结是：花粉运动无规律，永不停歇，随花粉颗粒变小和温度变高而增强。这是与早期百科全书学派视科学研究为对客观事物分类，归纳和观察记录的态度相契合的。而这种最早以理性的，科学的视角理解布朗运动的人是 Albert Einstein。Einstein 在他的“奇迹年”（1905 年 6)对布朗运动做出了数学解释，并以布朗运动的形式提出了随机微分方程的概念（详见 7)。由于布朗运动显 然与热运动相关，而随后人们发现这种现象在微观粒子中更加普遍，因而人们描述做布朗
14、运动的粒子为布朗粒子（Brownian Particle)，于是布朗运动吸引了物理学家的目光，并由对此的研究发展出了统计物理学。在 Einstein 的年代，数学界还不存在现代概率论或随机过程理论，因而他对布朗运动的看法是基于统计物理学的，因而 Einstein 的随机微分方程从数学角度看来仍显得不够严格 17。 Einstein 对布朗运动的描述是，时间的存在是依靠事件的发生的，因而时间开始的标志则是物理事件，即热运动或称热扩散；而宇宙在时间开始 (这被 Einstein 称为“以前”）前是“热寂”的，因而布朗运动的密度（分布) (其中 代表空间, 为时间）可理解),ptxt为热扩散方程：（
15、1.2.1)02ut在 0 时刻以零为初值的解。而（1.2.1)中系数 被称为扩散系数，而其解为，txetxp402),(3m这揭示了布朗运动与正态分布间的关系。1906 年，Smoluchowski 21独立于 Einstein 描述了布朗运动，并奠定了随机过程理论的重要基础。1908 年，Perrin 利用实验验证了描述布朗运动的方程。Langevin 13于1908 年继续 Einstein 的研究思路，针对做布朗运动的微观粒子，用一个描述确定性动力系统的二阶微分方程逼近布朗运动： ， （1.2.2)(2tdxtm描述了布朗运动，此即物理学中著名的 Langevin 方程，物理学界一度称
16、随机微分方程为 Langevin 方程。上式 中，代表粒子质量； 仍为 Einstein 定义的扩散项，A与热运动的扩散性相关；而最后的 则是一个随机过程代表来自其它粒子的扰动。但这些方程并未建立有关布朗运动的一般理论。后来 Wiener 23于 1923 年对布朗运动做出了准确的数学定义，因而布朗运动又称 Wiener 过程。事实上，由于粒子无规则运动具有随机性，只要研究的出发点不同，布朗运动就像随机微分方程一样，有着众多彼此不同的定义，但这些定义的本质并无二致。1.3 本文结构本文主体部分由四章组成.第一章为绪论，系统地介绍了本文的研究背景；第二章介绍了本文中各种符号的定义和我们主要应用的
17、预备知识；第三章中，我们简单地讨论了如何利用一些具有特殊性质的 Lyapunov 函数来判断随机微分方程是否具有均方有界的解。第四章，给出了结论。限于水平，文中出现不当处敬请各位专家批评指正，万分感谢！42 预备知识本章中我们会介绍一下本文涉及的一些预备知识。2.1 Lyapunov 函数李亚普诺夫函数（李雅普诺夫函数,Lyapunov function）是用来证明一动力系统或自治微分方程稳定性的函数。 其名称来自俄国数学家 亚历山大李亚普诺夫（Aleksandr Mikhailovich Lyapunov）。李亚普诺夫函数在稳定性理论及控制理论中相当重要。若一函数可能可以证明系统在某平衡点的
18、稳定性，此函数称为李亚普诺夫候选函数（Lyapunov-candidate-function）。不过目前还找不到一般性的方式可建构（或找到）一个系统的李亚普诺夫候选函数，而找不到李亚普诺夫函数也不代表此系统不稳定。在动态系统中，有时会利用守恒律来建构李亚普诺夫候选函数。针对自治系统的李亚普诺夫定理，直接使用李亚普诺夫候选函数的特性。在寻找一个系统平衡点附近的稳定性时，此定理是很有效的工具。不过此定理只是一个证明平衡点稳定性的充份条件，不是必要条件。而寻找李亚普诺夫函数也需要碰运气，通常会用试误法（trial and error）来寻找李亚普诺夫函数。Lyapunov 指数是衡量系统动力学特性的
19、一个重要定量指标,它表示了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率。对于系统是否存在动力学混沌, 可以从最大Lyapunov 指数是否大于零非常直观的判断出来：一个正的 Lyapunov 指数,意味着在系统相空间中,无论初始两条轨线的间距多么小,其差别都会随着时间的演化而成指数率的增加以致达到无法预测,这就是混沌现象。Lyapunov 指数的和表征了椭球体积的增长率或减小率,对 Hamilton 系统,Lyapunov 指数的和为零; 对耗散系统,Lyapunov 指数的和为负。如果耗散系统的吸引子是一个不动点,那么所有的 Lyapunov 指数通常是负的。Lyapunov 最早对确定性微分方程做出的稳定解定义（详见 1516)时考虑到了解与初值的依存关系。Lyapunov 对这种与初值有关的稳定性给出了一个充分条件，或者说提供了一种判别方法。这种方法的技术内核是，定义一种对高维自变量 正定的函数:x
