1、第四章 线性系统的根轨迹法闭环系统的性能由闭环零极点分布决定。当开环传递函数中某个参数变化时，闭环系统特征方程的系数也相应变化，闭环极点也要改变（解根难） 。研究闭环极点随开环某参数变化而变化的规律，进而讨论闭环系统性能的变化趋势，是具有理论和实际工程意义的课题。 （调参、设计等） 。根轨迹的特点： 图解法，简单； 特别适用于研究当系统的开环参数变化时，系统性能的变化趋势问题； 近似方法，不十分精确。4.1 根轨迹的基本概念1、 根轨迹的概念：当开环系统某一参数从 0 到变化时，闭环极点在 S 平面上变化所描绘出的轨迹。例 1：系统如右：)2()15.0()*sKssG根轨迹增益 。闭环传递函
2、数为：K2*)()( KssRC闭环特征方程为： 2D特征根为： , *11 *21K当系统参数 （或 ）从零变化到无穷时，闭环极点的变化情况如表*K4-1 所示。表 4-1 、 =0 时系统的特征根*K*K120 0 0 -20.5 0.25 -0.3 -1.71 0.5 -1 -12 1 -1+j -1-j5 2.5 -1+j2 -1-j2 -1+j -1-j3、 闭环零极点与开环零极点之间的关系：例 2：系统如右： *00*21.2KAeKAtrs tt ss 件件件 158)5(342)( 21*1vKsKsGH 件件 )4(2)5(3)()5(3421)()(1)( *11 sKss
3、KssGHs闭环零点=前向通道的零点+反馈通道的极点（不随 变化，易得 *到，不必专门研究。 ） 闭环极点与开环零点，开环极点和根轨迹增益 都有关系（需专门研*K究） 。4、 根轨迹方程：例 3、如右系统令 1+G(s)=0,*()1()1(21)KGspGsHsk模 值 条 件 ：即 相 角 条 件 ： )(1)()(*sspKG如右系统、设开环传递函数可写为*1()()mnKszGHp 开环增益于根轨迹间的关系：( 者除外) *11miinjjzKp0ijp()()GsH（根轨迹方程）*1()() 1mnKzsps 件件 2,10)12()( 1)(111* kpszssGHpzszsKn
4、jjmiim例4、系统开环极点分布如右图所示，分别讨论 是否在根轨迹上。i 任一点 S,总可以有一个 与之对应，满足*K 模值条件，但它不一定在根轨迹上（不一定 满足相角条件） 。 )12(:1* kpsps相 角 条 件模 值 条 件 满足相角条件的 S，也一定有对应的 使之满足模值条件，所以相角条*K件是判定 S 在不在根轨迹上的充要条件。 当 S 满足相角条件时，它一定在根轨迹上，所对应的 值，由模值条件*K确定。 10.4*0.42.160.4K4 2j j4.2 绘制根轨迹的基本法则1、 起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数 少于开环极点个数 ，则有 条
5、根轨迹终止于无穷远处。mn)(m1*nmspKz起点： *01,2is终点： izj01*lilnmnmns smpK 2、根轨迹的分支数及对称性： 各 分 支有特 征 根 的 个 数的 阶 数分 支 数 一 般 地 n),()(nmMaxsD3、 实轴上的根 轨迹：从实轴最右端的开环零 极21、例 、 见 上 例 根 轨 迹 必 对 称 于 实 轴必 成 共 轭 对 出 现为 复 根 在 实 轴 上为 实 根根 轨 迹 对 称 于 实 轴 点算起，奇数开环零极点到偶数开环零极点间一定是根轨迹，否则一定不是证明：见右图为例说明S 是根轨迹上的点。 定理：当开环极点有 2 个，开环零点有 1 个
6、，并且在复平面上有根轨迹时，则复平面上的根轨迹一定是以零点为圆心的圆弧。证明:（见下面两页）要求：对于二阶系统的根轨迹，一定要能画的熟练准确。例：例：单位反馈系统，其开环传递函数为 ,画出当 时系统闭环根轨迹，证明根轨迹是圆，)1(2)*sKG0*K求出圆心和半径。1231234500 068618解： *2()1KsGv（*2*1,2(1)8()Ks 实轴上的根轨迹：根位于复平面时，有 ）*2*(1)8K*2*1,2()8sj j*1K*2228(1)()8()4244220()2圆 心 ： (-,)半 径 ： 分离点 处，有12,d*(1)80K解出： 21*2.76.5876345434
7、2ddK，性能分析：快： 12*000?sssddtttK振 荡 不 振 荡单 调稳：全过程稳定准： *2rAtse240*2()()Dss2:(2,0)()圆 心半 径4、根之和 ，nm闭环根之和保持一个常数123d） 、 判 断 根 轨 迹 的 正 确 性） 、 判 断 分 离 点 大 致 位 置） 、 确 定 极 点 的 相 对 位 置证明： * *11 21()()()() mmmnnnKszKsbGsHpaa 1()iip212*()mnnnnmDasb122()()nnnsKsaK 12()()nss11)niiiiap即： 111nniia ，在 s 平面上有一部分极点随 变化向
8、左移,则另一部分必时2m*K然向右移，移动的总增量为 0，保证根之和为常数。如右根轨迹： 2niip15、渐近线：n-m 个极点趋于无穷远点的 规律。“广义重心”11(2)nmijijaapzknm如右根轨迹： 0021()9aak将闭环极点、闭环零点（不一定是开环零点）标在s平面上，便可以计算闭环性能。 注：1） 、根轨迹法研究的是当系统参数变化时，闭环极点的变化规律。2） 、根轨迹法的目的：在于通过研究参数变化、根变化的规律，来研究闭环系统性能的变化规律。例 1、系统结构图如右：、作 时的根轨迹。*0K解： )42(1)(*sGH1、起点、终点2、分支数、对称性3、实轴上的根轨迹4、根之和
9、5、渐近线：11(2)nmijiapzkn0014.53(2)9ak用根之和解释为什么根轨迹是这样6、分离点坐标 d * 211()1)(4(2)()0 ()(0sd sdNssKsdd 时 是 重 根 重 根 特 点*(1)42()dsKsdln()lnssdl(1)l(4)l(2)dss s1142sds分离点 d 的一般公式： 11nmi ji jdpdz即有： 24试根：（1） 、现在根轨迹上判断一下 d 的大致范围：-0.5-1 之间。（2） 、先取 =-0.5;上面方程不平衡。1d再取 =-0.6;上面方程反相不平衡（选择方向对，但过头了）2选 =-0.55;方程基本平衡（ ）3 589.0*3dK（3） 、d 的精度到 以内即可。2.%5.0II、分析当 变化过程中，闭环系统动态性能的变化规律。0*K系统始终稳定。III、确定两复数闭环极点实部为-1 时，标出闭环极点、零点，定性分析其性能。* %()s sdt t单 调 振 荡 时
