1、1第一章 一般多元线性回归模型金融理论从资本资产定价模型(CAPM)发展到套利定价理论(APT)，在数理统计方面就是从应用一元线性回归发展到应用多元线性回归。本章先介绍推导套利定价理论，以实例说明套利过程，引入多元线性回归模型，随之介绍一般多元线性回归模型的参数估计、假设检验等基本原理。然后本章深入讨论多元线性回归模型一些特别情况及解决办法，如自变量选择准则与逐步回归，自变量变换与多项式回归等。本章的凸集间交互投影的迭代算法求线性模型的最小二乘通解，在数学上有一定特色。本书软件与各节算例配套，键入资料即可自动完成回归，使用者不看各节的数学推导也没有关系。资料变换回归特意设了差分变换，软件还能自
2、动显示多元线性回归二维拟合效果图及多元多项式回归的三维立体直观图，给实际工作尽量带来方便。第一节 多因素定价模型(MPM)与套利定价理论(APT)在引言里我们介绍了资本资产定价模型 CAPM，从统计学角度它是属于一元线性回归。它的基本方程有两个。回归方程 0),(,0)( , MiiIMiii rCovErr （0.1.22）假定证券 i 的收益率 ri 与市场组合收益率 rM 之间存在线性关系，据此可以测定系数 i。资本市场线方程(参看图 0.1.2.3)：（0.1.20）)()(FiFi r告诉我们合理的证券投资组合应选在该线上，使得风险相同的情况下能获得较高的收益。CAPM 有两个局限性
3、，一是经济假设条件较多，二是它只考虑了一个自变量。Ross (1976)发展了 CAPM，考虑证券 i 的收益率与几个因素之间的线性关系，建立了多因素定价模型 MPM(Multifactor Pricing Model)，形成了套利定价理论 APT(Arbitrage Pricing Theory)。从统计学角度看，也就是从应用一元线性回归发展到应用多元线性回归。APT 假定证券 i 的收益率 ri 与 k 个因素 Fj, j=1，k 存在线性关系（1.1.1）ikiiii bE1)(这里因素 Fj, j=1,k 的均值为 0，共同作用于各个证券， i 是均值为 0 的白噪声随机扰动项。显见上
4、式是(0.1.20)的推广。APT 的经济假定要求存在公平竞争且无摩擦的资本市场；个人投资倾向的共同偏好在(1.1.1)前提下与 CAPM 相同：相同风险时偏好收益大的，收益大时2偏好风险小的；证券个数 n(i=1,n)比因素个数 k 要大得多；非系统风险项 i 与其它因素及误差都是独立的；在给定时刻被考虑的资产总和是不变的(有人赚，有人赔，赚赔相等) ；如果有价证券的风险为 0，则其收益为 0。套利定价理论 APT 将教给我们如何在上述假定条件下获得超额收益。假定在 i=1,，n个证券间进行买进卖出。某投资者拥有的第 i 个证券的价值数量(单位元)改变量为 i( i=0表示不进不出， i0
5、表示买进证券 i, im。于是回归关系可写为 nmnnn mXXY 210 222 1121（1.2.4）其中 1, 2, n 独立同分布，都满足(1.2.2)。我们要采用矩阵形式来表示(1.2.4)。令 nnmnm n X XY 210102211221 , ,则多元线性回归模型为 Y（1.2.5）其中 n(m+1)矩阵 X 称为回归设计矩阵，一般情况下我们假定 X 列满秩，即 rk (X)=m+1。关于误差的假定与(1.2.2)对应为(1.2.6)nIE2)Var( ,0)(8其中 In 为单位阵。与(1.2.3) 对应为 N(0, 2In) (1.2.7)(1.2.5)与(1.2.6)(
6、或与(1.2.7)合在一起称为多元线性模型。下面求模型参数的最小二乘估计(Least Square Estimate,LSE)。残差平方和 S( )为2101 )( )( imiini XYXS2（1.2.8）最小二乘法则即要求 使),(10m(inS（1.2.9）或记为（1.2.10）i XY因为 S()是 的二次可微函数，极值点处的各偏导数为 0。采用矩阵微商记法 )2( ()( XYS（1.2.11）0X即（1.2.12）Y)(它称为正规方程。若 X 列满秩，则 为非奇异阵，其逆矩阵存在，左乘(1.2.12)两边得 的最小二乘解（1.2.13）X1)(可以验证(1.2.13)确能使 S(
7、 )达最小值。分解 S( )得： )()()()( ) XXY9（1.2.14）)()() XS这是因为中间两个交叉项为 0： 0)()( )()( 1 YXYY（1.2.15）X观察(1.2.14)第二项 为非负定二次型，当且仅当 时它取得最小)()( 值 0，即 S( )当且仅当 对取得最小值 。)(S下面研究 的基本统计性质，我们以定理形式叙述并证明。定理 1.2.1 (Gauss Markov)线性回归模型（1.2.16）nIXY2)Var(0,)E( , 中回归系数 的最小二乘解（1.2.17）Y1)(是 的唯一最小方差线性无偏估计。证明 从 的表达式知 是子样 Y 的线性函数。又
8、)()()() 11YEXXE（1.2.18）故 是 的无偏估计。的协方差阵是 121 )()( ,),( XIXYCovCovnL（1.2.19）2若 T=CY 是 的另一线性无偏估计，由无偏性要求，应有E(T)=E(C Y)=C E(Y)=C X =对一切 成立，即有CX =Im+110而 T 的协方差阵为 T=Cov(T,T)=CCov (Y,Y)C= 2(C C) (1.2.20)因为 11111 )()()( )( XXCXC(1.2.21)0 这里矩阵0 表示非负定矩阵。于是CC(XX) -1 (1.2.22)即有(1.2.23)TX)()(212 由于 T 是任选的一个线性无偏估
9、计，所以最小二乘估计 是 的最小方差线性无偏估计。下证唯一性。设 T = CY 是 的某一个最小方差线性无偏估计，则必有 即T,由(1.1.21)知，C=(XX )-1X，即 T=CY=(XX) -1XY= 。 证毕1)(XC 需要指出的是， 的 LSE 的最小方差性是局限在线性无偏估计类中的，如果考虑 的一切无偏估计类，LSE 就不一定是方差最小者。进一步，如果在 的有偏估计中考虑，LSE就更不见得是方差最小了。下面我们考虑 2 的估计。与一元情况类似，我们应该用残差平方和去构造它。记 YXYXY1)(（1.2.24）In称为剩余向量，或残差向量。记Y（1.2.25）XIPnX1)(则 =PXY。P X 称为投影阵。容易验证投影阵有如下简单性质：（1.2.26）0 , , XXX )(tr)(tr )-tt)(rk111mnnIIIP（1.2.27）m
