1、复变函数习题总汇与参考答案第 1 章 复数与复变函数一、单项选择题1、若 Z1=（a, b）,Z2=(c, d),则 Z1Z2=（C）A （ac+bd, a） B (ac-bd, b)C （ac-bd, ac+bd） D (ac+bd, bc-ad)2、若 R0，则 N（，R）= z：（D）A |z|R3、若 z=x+iy, 则 y=(D)A B C D4、若 A= ，则 |A|=（C）A 3 B 0 C 1 D 2二、填空题1、若 z=x+iy, w=z2=u+iv, 则 v=（ 2xy ）2、复平面上满足 Rez=4 的点集为（ z=x+iy|x=4 ）3、（ 设 E 为 点集，若它是开集
2、，且是连通的，则 E ）称为区域。4、设 z0=x0+iy0, zn=xn+iyn(n=1,2,)，则z n以 zo为极限的充分2z2ziz2iz)(inlimli必要条件是 xn=x0，且 yn=y0。三、计算题1、求复数-1-i 的实部、虚部、模与主 辐角。解：Re(-1-i)=-1 Im(-1-i)=-1|-1-i|=2、写出复数-i 的三角式。解：3、写出复数 的代数式。解：4、求根式 的值。解：45|1arctn),1(2)(iary在 第 三 象 限23sincoiiiii213)1()(1i1327)35sin(co3)si(c27)arg()4(2)2(1303 eWeziii
3、 的 三 次 根 的 值 为四、证明题1、证明若 ，则 a2+b2=1。证明：而 biayixiyix|yixbi2|bai122bayxyi3、证明：证明：)Re(2212121 zzz)Re(2)( )()()(21121212121 212zbyax iaybxaiyizxizibazz则 则设 )e(211 zz第 2 章 解析函数一、单项选择题1若 f(z)= x2-y2+2xyi,则2、若 f(z)=u(x, y)+iv(x,y), 则柯西黎曼条件 为（D）A BC D3、若 f(z)=z+1, 则 f(z)在复平面上（C）A 仅在点 z=0 解析 B 无处解析C 处处解析 D 在
4、 z=0 不解析且在 z0 解析4、若 f（z）在复平面解析，g(z)在复平面上连续，则 f(z)+g(z)在复平面上（C）A 解析 B 可导C 连续 D 不连续二、填空题1、若 f(z)在点 a 不解析，则称 a 为 f(z)的奇点。2、若 f(z)在点 z=1 的邻域可导，则 f(z)在点 z=1 解析。3、若 f(z)=z2+2z+1，则 4、若 ，则 不存在。)(zfyvxu且 xvy且 yvxu且 且2)(zf)(17)(zzf 1f三、计算题：1、设 f(z)=zRe(z), 求解： =2、设 f(z)=excosy+iexsiny,求解：f(z)=e xcosy+iexsiny=
5、ez,z=x+iyu=excosy v=exsinyf(z)=u+ivf(z)在复平面解析，且 =excosy+iexsiny3、设 f(z)=u+iv 在区域 G 内为解析函数，且满足 u=x3-3xy2，f(i)=0,试求 f(z)。解：依 C-R 条件有 Vy=ux=3x2-3y2则 V（x1y）=3x2y-y3+c(c 为常数)故 f(z)=x3-3xy2+i(3x2y-y3+c)=x3-3xy2+i(cx2y-y3)+ic=z3+ic，为使 f(i)=0, 当 x=0,y=1 时，f(i)=0, 有 f(0)=-i+ic=0)0(lim0ffz)(0(limffz )Re(li0z)
6、Re(lim0z)Re(li0z )(fyevxuxcosyiniezfxcos)( )(zfcxQxyuyvQd)(6)(6)(3322c=1 f(z)=Z3+i4、设 f(z)=u+iv 在区域 G 内为解析函数，且满足 u=2(x-1)y,f(2)=-i,试求 f(z)。解：依 C-R 条件有 Vy=ux=2yV= =y2+(x) Vx=(x)=V=y2-x2+2x+c(c 为常数)f(z)=2(x-1)y+i(y2-x2+2x+c)为使 f(z)=-i,当 x=2 y=0 时,f(2)=ci=-i c=-1f(z)=2(x-1)y+i(y2-x2+2x-1)=-(z-1)2i四、证明题
7、1、试在复平面讨论 f(z)=iz 的解析性。解：令 f(z)=u+iv z=x+iy则 iz=i(x+iy)=-y+ixu=-y v=x于是 ux=0 uy=-1Vx=1 Vy=0ux、uy、vx 在复平面内 处处连接又 Ux=Vy Uy=-Vx。yd zxuyx2)(cx(2f(z)=iz 在复平面解析。2、试证：若函数 f(z)在区域 G 内为解析函数，且满足条件 f（z）=0，zG，则 f(z)在 G 内为常数。证：设 f(z)=u+iv,z=x+iy,zGf(z)在 G 内解析，Ux=Vy, Uy=-Vx又 f（z）=0, f（z）=Ux+iVxUx=0 Vx=0Uy=-Vx=0 U
8、x=Vy=0U 为实常数 C1，V 也为实常数 C2，f(z)=C1+iC2=Z0f(z)在 G 内为常数。复变函数课程作业参考解答 2第 3 章 初等函数一、单项选择题1. z = ( A ) 是根式函数 nzw的支点.(A) 0 (B) 1(C) (D) i2. z = ( D ) 是函数 zwln的支点.(A) i (B) 2i(C) -1 (D) 03. ei =( B ).(A) e-1+e (B) cos1+isin1(C) sin1 (D) cos14. sin1= ( A )(A) ieii2(B) ieii2(C) 1(D) 1二、填空题1. cosi = 21e2. ie1
9、= e(cos1+isin1)3. lni = i24. ln(1+i) = )24(1kiLnk 为整数.三、计算题1. 设 z=x+iy，计算2ze.解: xyiiyxz)(2 iez22)sin()co(xp(xyy 2ze= 2x)(= 2y2. 设 z = x+iy, 计算 )Re(1z.解: z = x+iy 221yxiiyxz )sin(cos1 222 yxyxyxze 221s)R(2yx3. 求方程 izln的解.解: lnz = 2/ 由对数函数的定义有:Z= iiei 2snco2/ 所给方程的解为 z = i4. 求方程 iez31的解.解: )3sin(co2iz = )i3(s2eLn根据指数函数的定义有:z=n2+i / 或 z=n(1+ i3)四、证明题1. 试证: zzcosin2si.证明：根据正弦函数及余弦正数定义有：ieziziz2sincoi2iziiz
