1、线性代数考试题型及范围：一、填空1、已知矩阵 A 或 B，求 A 与 B 之间的运算，如 AB，A 逆 B 逆，kA2、已知方阵 A，求 A 的行列式，A 的伴随矩阵，A 的伴随矩阵的行列式3、求向量组的秩4、求矩阵 A 的相似矩阵 B 的行列式5、其次线性方程组有非零解的充要条件二、选择1、同阶方阵 A、B 的运算性质2、两个相似矩阵 A B 的性质3、关于向量线性相关性的选择题4、非齐次方程组的特解与其齐次方程组的基础解系之间的关系5、二次型正定性的判定三、计算题1、行列式的计算2、求 A 的逆矩阵四、解答题1、求向量组的极大线性无关组2、用基础解析求方程组的通解五、给定实对称矩阵 A，求
2、可逆阵 P，使 P-1AP 为对角阵六、证明题：（关于矩阵，具体内容未知）记住这些话：第一句话：题设条件与代数余子式 Aij 或 A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及 AA*=A*A=|A|E 。第二句话：若涉及到 A、B 是否可交换，即 AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。第三句话：若题设 n 阶方阵 A 满足 f(A)=0，要证 aA+bE 可逆，则先分解出因子 aA+bE再说。第四句话：若要证明一组向量 1,2,s 线性无关，先考虑用定义再说。 第五句话：若已知 AB=0，则将 B 的每列作为 Ax=0 的解来处理再说。 第六句话：若由题设条件要求确定参数的取值
3、，联想到是否有某行列式为零再说。 第七句话：若已知 A 的特征向量 p，则先用定义 Ap=p 处理一下再说。 第八句话：若要证明抽象 n 阶实对称矩阵 A 为正定矩阵，则用定义处理一下再说。线性代数复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N 阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表
4、示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。第二部分：基本知识一、行列式1行列式的定义用 n2 个元素 aij 组成的记号称为 n 阶行列式。（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的 n 个元素乘积的代数和；（2）展开式共有 n!项，其中符号正负各半；2行列式的计算一阶|= 行列式，二、三阶行列式有对角线法则；N 阶（ n=3）行列式的计算：降阶法定理：n 阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其
5、对应的代数余子式乘积的和。方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为 0，利用定理展开降阶。特殊情况（1）上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为 0 的几种情况： 行列式某行（列）元素全为 0； 行列式某行（列）的对应元素相同； 行列式某行（列）的元素对应成比例； 奇数阶的反对称行列式。二矩阵1矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：矩阵乘法一般不满足交换律（若 ABBA ，称 A、B 是可交换矩阵）；矩阵乘法一般不满足消去律
6、、零因式不存在；若 A、 B 为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；|kA|=kn|A|3矩阵的秩（1）定义 非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法 一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为 0 的矩阵称为行阶梯阵）。求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。4逆矩阵（1）定义：A、B 为 n 阶方阵，若 ABBA I ，称 A 可逆，B 是 A 的逆矩阵（满足半边也成立）；（2）性质： (AB)-1=(B-1)*(A-1)，(A)-1=(A-1) ；(A B 的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）
7、（3）可逆的条件： |A|0； r(A)=n; A-I;（4）逆的求解伴随矩阵法 A-1=(1/|A|)A*；(A* A 的伴随矩阵)初等变换法（A:I）-(施行初等变换 )（I:A-1） 5用逆矩阵求解矩阵方程：AX=B，则 X=（ A-1）B；XB=A，则 X=B(A-1)；AXB=C，则 X=(A-1)C(B-1)三、线性方程组1线性方程组解的判定定理：(1) r(A,b)r(A) 无解；(2) r(A,b)=r(A)=n 有唯一解；(3)r(A,b)=r(A)=3）行列式的计算：降阶法定理：n 阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为 0，利用定理展开降阶。特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为 0 的几种情况： 行列式某行（列）元素全为 0； 行列式某行（列）的对应元素相同； 行列式某行（列）的元素对应成比例；
