1、小升初数学衔接班列方程解应用题（一）一、学习目标通过学习用一元一次方程解决浓度问题、工程问题和行程问题等几种常见问题，掌握列方程解应用题的方法和步骤。二、学习重点分析题目中的数量关系，列代数式，寻找等量关系。三、课程精讲1、知识回顾我们在小学阶段学习过许多数量关系：（1）溶液中浓度、溶液、溶质的关系；（2）工程问题中工程量、工作效率、工作时间之间的关系；（3）行程问题中路程、速度、时间之间的关系：相遇问题、追及问题、水流问题、过桥问题等。（4）增长率问题（5）年龄问题（6）数字问题2、新知探秘知识点一 列方程解应用题的步骤例 1、有两种不同浓度的盐水，甲种盐水的浓度是 30%，乙种盐水的浓度是
2、 6%，现在要配成浓度为 10%的盐水 60 千克，问应取这两种浓度的盐水各多少千克？思路导航：此题是溶液的混合配制问题，这类问题中有三个等量关系：混合前后溶液的重量和不变、溶质重量和不变及溶剂重量和不变。解答：设应取甲种盐水 千克，那么乙种盐水应取 千克，甲种盐水中含盐x(60)x千克，乙种盐水中含盐 千克，根据题意，得30%x6%(0)x31%解方程，得 1065答：甲种浓度盐水取 10 千克，乙种浓度盐水取 50 千克。点津：浓度问题是列方程解应用题的常见类型之一，关键是要找出配制前后溶液中哪些量不发生变化，从而寻找出等量关系，进而列出方程求解。从上述例题我们知道，列方程解应用题的步骤是
3、（1）审题：弄清题意，确定已知量、未知量及它们的关系；（2）设元：选择适当未知数，用字母表示；（3）列代数式：根据条件，用含所设未知数的代数式表示其他未知量；（4）列方程：利用列代数式时未用过的等量关系，列出方程；（5）解方程：正确运用等式的性质，求出方程的解；（6）检验并答题。仿练、现有两种酒精溶液，已知甲种酒精溶液中含酒精 18 千克，含水 12千克；乙种酒精溶液中含酒精 3 千克，含水 9 千克。现在要得到含酒精 7 千克，含水 7 千克的酒精溶液，问应取甲、乙两种酒精溶液各多少千克？思路导航：与上题一样属于溶液混合配制问题。需要先算出甲种、乙种酒精溶液的浓度，再根据等量关系列出方程。解
4、答：设应取甲种酒精溶液 千克，那么乙种酒精溶液应取 千克，所取x(7)x的甲种酒精溶液含酒精 千克，所取的乙种酒精溶液含酒精180%2千克，根据题意，得3(7)109x31(7)10%789xx 解方程，得 7140答：甲种酒精溶液应取 10 千克，乙种酒精溶液应取 4 千克。点津：在列方程解应用题的步骤中，最重要的是对题目的分析，对列方程不要急于求成。在一道应用题中，往往含有几个未知数，应恰当的选择其中的一个，用字母 表示出来，然后根据数量之间的关系，将其他几个未知量用含 的代x x数式表示出来，再用列代数式时没有用到的等量关系列出方程。知识点二 如何找等量关系熟悉实际问题中各种量之间的相等
5、关系是列方程解应用题的基础。找寻相等关系的基本方法有：（1）运用基本公式找寻相等关系；（2）从关键词中找寻相等关系；（3）运用不变量找寻相等关系；（4）对一种“量” ，从不同的角度进行表述（即计算两次） ，得到相等关系。例 2、一件工作，甲单独做需 20 小时完成，乙单独做需 12 小时完成，现在先由甲单独做 4 小时，剩下的部分由甲、乙合作，剩下的部分需几小时完成？思路导航：此题属于工程问题，可把总工作量看作 1，甲单独做 4 小时的工作量和甲、乙合作的工作量之和就等于总工作量“1” 。解答：设剩下的部分甲、乙合作需 小时完成，则甲单独做 4 小时的工作量为x，甲、乙合作 小时的工作量为 ，
6、根据题意，得420x()201x11()20解方程，得 6答：剩下的部分甲、乙合作需 6 小时完成。点津：列方程时，关键在于发掘题目中的等量关系。题中所给条件在列方程时不能重复使用，也不能漏掉不用。重复利用某一个条件，会得到一个恒等式，却无法求得应用题的解。比如，此题中这样求解：设剩下的部分甲、乙合作需 小时完成，则甲、乙合作 小时的工作量为xx。因为由两部分时间共同完成了全部工作量，所以前一段时间里甲单1()20x独做的工作量为 ，根据题意，得1()201()()120xx显然，化简后得到 1=1，这个“方程”不能求解。发生错误的原因就是， “前一段时间里甲单独做的工作量 ”是1()20x根
7、据“两部分时间的工作量之和等于总工作量” ，而又根据这个条件列出了“方程” ，这个条件被重复利用了。仿练、一个水池，有甲、乙、丙三个水管，甲、乙是入水管，丙是排水管。单开甲管 16 分钟可将水池注满，单开乙管 10 分钟可将水池注满，单开丙管 20分钟可将全池水放完。现在先开甲、乙两管，4 分钟后关上甲管开丙管，问：又经过几分钟后才能将水池注满?思路导航：由题意知甲、乙、丙管的工作效率分别为 ，相等关系是：甲工作1,602量+ 乙工作量+ 丙工作量=全部工作量，只不过丙管是来 “捣乱”的。解答：设又经过 分钟才能将水池注满，则甲管在前 4 分钟的工作量为 ，乙x 146管在前 4 分钟的工作量
8、为 ，乙管在后 分钟中的工作量为 ，丙管在后140x0x分钟中的工作量为 ，依题意得方程：x2x11602x解得 7答：又经过 7 分钟后才能将水池注满。知识点三 直接设元与间接设元例 3、甲乙两站之间的路程为 ，一列慢车从甲站开往乙站，慢车走了 1.5354km小时后，另有一列快车从乙站开往甲站，已知慢车每小时走 ，快车每小时46km走 ，问两车各走多少小时后相遇?68km思路导航 1：本题属于行程问题中相向而行的相遇问题。为了弄清题目中各数量之间的关系，经常需要画图或列表。如图可知，慢车和快车行走的路程之和等于甲乙两站之间的总路程。解答 1：设快车走了 小时后与慢车相遇，那么快车走的路程为
9、 千米，慢车走x 68x的路程是 1.5 小时走的路程加上 小时走的路程，即 千米，相遇x(41.5)时两车所走的路程之和为 354 千米，由此可得方程： 461.583x解得：x=2.5 所以慢车走的时间是 （小时）.x答：慢车走了 4 小时，快车走了 小时后两车相遇。2.思路导航 2：也可以设慢车走的时间为 小时。解答 2：设慢车走了 小时后与快车相遇.那么快车在相遇时所用的时间为 小x 1.5x时，它们各自走的路程为：快车 千米，慢车 千米，依题意可列方681.5x46x程为： 4.3解得： 4x所以快车走的时间为 （小时）1.52x答：慢车走了 4 小时，快车走了 2.5 小时后两车相
10、遇。思路导航 3：以上两种解法是采用了直接设未知数的方法，下面我们可以采用间接设未知数的方法，将快车走的路程设为未知数，然后通过慢车和快车同时走的时间相等，即图中同色部分，列方程求解。解法 3：设两车相遇时快车走的路程为 千米，那么快车所用的时间为 小时，慢x68x车从 1.5 小时后到相遇时所用的时间为 小时，由这两段路程相35461.x遇时所用的时间相等，可以依题意列出方程为： .8解得： 170x相遇时快车用的时间为： （小时）1702.568慢车所用的时间： （小时）4.5答：慢车走了 4 小时，快车走了 2.5 小时后两车相遇。思路导航 4：采用间接设未知数的方法，也可以将慢车走的路
11、程设为未知数，然后通过慢车和快车同时走的时间相等，即图中同色部分，列方程求解。解法 4：设慢车从开出到相遇所走的路程为 千米，那么慢车从 1.5 小时后到相遇时x所用的时间为 小时，而快车自开出到相遇时所用的时间为 小61.5x 35468x时，依题意，以上 2 个时间相等，可列出方程： 461.538xx解得： 184x慢车走的时间是 小时6快车走的时间为： 小时351842.答：慢车走了 4 小时，快车走了 2.5 小时后两车相遇。点津：一般题目问什么，就设什么为 ，这称为直接设元。但这不是绝对的，有x时直接设元后不利于列代数式和列方程，我们也可以设其他未知数为 ，这称x为间接设元。到底如
12、何设元，要根据题目中的数量关系决定，怎样设元方便就怎样设。但是如果选择间接设元，那么解出方程后还要换算出题目所求的量。仿练、甲、乙、丙三人，甲每小时走 公里，乙每小时走 公里，丙每13235小时走 公里，若甲、乙两人在 A 地，丙在 B 地，三人同时出发，甲、乙与142丙相向而行，丙在遇到乙后 3 分钟才遇到甲。求 A、B 两地的距离？思路导航 1：此题属于行程问题中的相遇问题，而且此题中有两个相遇问题，它们的相遇时间差 3 分钟。解答 1：设 A、B 两地的距离为 公里，则丙与乙的相遇时间为 小时，丙与x 31452x甲的相遇时间为 小时，根据题意，得13423116034252x解这个方程
13、，得 .x答：A、B 两地相距 32.4 公里。思路导航 2：也可以间接设元，设丙与乙的相遇时间为 小时，则可以表示出丙与甲的x相遇时间，及各自的相遇路程，再根据相遇路程相等来列方程。解答 2：设丙、乙的相遇时间为 小时，则丙、甲的相遇时间为 小时，相遇x 3()60x路程分别是 公里、 公里，根据题意，得31(4)513(34)(260x1)(52解这个方程，得 x3131(4)(4)2.52答：A、B 两地相距 32.4 公里。点津：此题要注意单位的统一。四、知识提炼导图五、目标期望通过本讲的学习，希望同学们掌握列方程解应用题的步骤，重点要学会分析题目中的数量关系，会选择直接设元还是间接设
14、元，会用设出的未知数 来x表示其他的未知量，再抓住题目中的等量关系列出方程。六、下讲预告在下一讲的学习中，我们除了继续复习巩固列方程解应用题的方法步骤外，还要学习用方程解其他类型的应用题，比如流水问题、年龄问题、数字问题等。通过对这些题型的分析讲解，要教会大家分析比较复杂的题目中的数量关系，要教会大家如何检查自己列出的方程是否正确。【同步练习】 （答题时间：45 分钟）1、火眼金睛：（1）甲、乙两人环湖竞走，环湖一周 400 米，乙的速度是 80 米/分，甲的速度是乙的速度的 倍，且甲在乙前 100 米，多少分钟后，两人第一次相遇。14设经过 分钟两人第一次相遇，所列方程为（ ）xA. B.5
15、80x58034xxC. D. 14（2）一列火车匀速前进，从它进入 300 米长的隧道到完全通过一共用 20秒钟，又知隧道顶部一盏固定的灯光垂直照射火车 10 秒钟，求这列火车的长度和速度。在这个问题中路程和时间的关系是（ ）A. 火车走 300 米路程用 20 秒B. 火车走的路程等于隧道长与车身长的差，用了 10 秒C. 火车走的路程等于隧道长与车身长的和，用了 20 秒D. 以上都不对（3）有含盐 30%的盐水 240 千克，要将盐水稀释成 1.5%，需加水（ ）千克A. 4800 B. 4560 C. 5040 D. 4680（4）某件工程，甲单独做要用 15 小时完成，乙单独做要用
16、 12 小时完成。若甲先做 1 小时，乙又单独做 4 小时，剩下的工作两人合作，再用几小时可全部完成任务？设两人合作再用 小时可完成任务，则下列方程中正确的个数是（ ）x ； ；152125x ； 。14()4()12xA. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个（5）一队学生从学校步行前往工厂参观，速度为每小时 5 千米，当走了 1小时后，一名学生回学校取东西，他以每小时 7.5 千米的速度回学校，取了东西后立即以同样的速度追赶队伍，结果在离工厂 2.5 千米处追上队伍，求学校到工厂的路程（取东西的时间忽略不计） 。若设学校到工厂的距离为 千米，列出的方程是（ ）xA. B. 12
17、.557.x2.52.517xC. D. 2. .2、对号入座：（1）一件工程甲队独做需 8 天完成，乙队独做需 9 天。甲做三天后，乙来支援，甲，乙合作做 天，一共完成了任务的 ，由此条件列出的方程是x34_；（2）若取浓度为 15%的酒精溶液_克与浓度为 35%的酒精溶液_克混合，则可配成浓度为 20%的酒精溶液 100 克；（3）某人从家里去上班，每小时行 5 千米，下班按原路返回时，每小时行4 千米，结果下班返回比上班多花 10 分钟，设上班所用时间为 小时，可列方t程为_；（4）一架飞机飞行在两个城市之间，顺风要 2 小时 45 分钟，逆风要 3 小时，已知风速是 20 千米/时，则
18、两城市间距离为_ 千米。3、牛刀小试：（1）从家里骑摩托车去火车站，如果每小时走 30 千米，那么比开车时间早到 15 分钟，如果每小时走 18 千米，那么比开车时间迟到 15 分钟，现在打算比开车时间早 10 分钟到达火车站，那么摩托车的速度应该是多少？（2）一项工作由 A 单独做要 40 天完成，由 B 单独做要 50 天完成。现在由 A 先做，工作了若干天后，因 A 有事离去，由 B 继续做，共用了 46 天完成。问 A、B 各做了多少天？（3）甲种盐水浓度为乙种盐水浓度的 2 倍，若甲种盐水取 120 克，乙种盐水取 240 克，混合后加水 40 克，测得浓度是 12%，问甲、乙两种盐
19、水的浓度各是多少？【试题答案】1、火眼金睛：（1）B 甲在乙的前面，好像是乙追甲，实际上甲的速度比乙的速度快，因此是甲追乙，追及距离是 米。当两人第一次相遇时，甲的路程比(401)乙的路程多 300 米。（2）C “从它进入 300 米长的隧道到完全通过”是指车头刚进入隧道开始，到车尾离开隧道截止，一共前进的路程是隧道长与车身长的和；在“隧道顶部一盏固定的灯光垂直照射列车”的时间内列车前进的路程就是车身长。（3）B 设需加水 千克，则 ，解得 。x2403%1.5(240)x4560（4）D 方程表示甲 1 小时的工作量、乙 4 小时的工作量、甲 小时的x工作量以及乙 小时的工作量的和等于总工
20、作量“1” ；方程表示乙 小()时的工作量与甲 小时的工作量的和等于总工作量“1” ；方程表示总工()作量“1”与甲 小时工作量的差等于乙 小时的工作量；方程表示x()x甲 1 小时的工作量、乙 4 小时的工作量及甲乙合作 小时的工作量的和等于总工作量“1” 。（5）C 一方面，用队伍的速度计算，从出发到这名学生追上队伍所用时间为 小时；另一方面，用这名学生的速度计算，这段时间还等于刚开始2.x的 1 小时+ 返回用的 小时+ 去追队伍的 小时。517.2.57x2、对号入座：（1） 甲做三天的工作量为 ，甲乙合作 天的工33()894x138x作量为 ，两部分工作量的和等于 。() 34（2
21、）75，25 设需取浓度为 15%的酒精溶液 克，则需取浓度为 35%的酒x精溶液 克，根据混合前后纯酒精重量不变，得10x。解得 ， 。5%3()102%751025（3） 上班的距离为 千米，下班的距离为 千米，46t t 104()6t根据题意，得 。5()t（4）1320 设飞机在无风时的速度为 千米/ 时，则顺风路程为x千米，逆风路程为 千米，因此 。2(0)6x3(20)x452(0)3(2)6x解得 ， 。3(2)13、牛刀小试：（1）设从出发到开车时间一共 小时，根据题目，得50()8()60xx解得， （千米/时）1530()627x答：摩托车的速度应该是 27 千米/时。（2）设 A 做了 天，则 A 做的工作量为 ，B 做的工作量为x140x，根据题意，得1(46)50x1(6)405解得 3答：A、B 分别做了 16 天和 30 天。（3）设乙种盐水的浓度为 ，则甲种盐水的浓度为 ，甲种盐水中含盐x2x克，乙种盐水中含盐 克，根据题意，得120x2404(1)1%解得 .答：甲、乙两种盐水的浓度分别是 20%和 10%。
