1、Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMaPhys.FDU1Chapter 3 复变函数级数Abstract：简介解析函数的性质，尤其是解析函数最重要的表达形式之一的幂级数(power series) 的重要性质。重点讲述解析函数在常点附近展开为 Taylor级数和在孤立奇点附近展开为 Laurent 级数。最后讨论单值函数孤立奇点的分类。Motivation：引论中讲过，一方面，物理学家力求 （将此 sum()kkazb表达为一个简单的函数） ；但另
2、一方面，有些物理上的表示（例如求解方程和方程的解等）相当复杂，人们不得不反过来做级数展开。有趣的是，大部分情况下级数的前一、二项就解决问题了（物理误差范围以内） 。这不但对收敛快的级数是如此，况且对发散级数尤要 cut off！-多项式展开。更有趣的是，这样便构成了本征函数系早已存在的数学理论，物理理论和实验的核心目标，see part II） 。级数复习: 常数项级数： 1.nS函数项级数：几何级数；0 z,nz指数级数；0 ,!zne三角函数级数。21020si z,!co ,nnnnz一般级数：解析项级数：1.一般级数，2.幂级数。问题：设有序列 ，问 ，Key：divergence 发
3、散.1,2341?nS且这是 log 发散。lim,n1dl,nxS limlin1,nSMethods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMaPhys.FDU2而 收敛， convergence，且 绝对收敛。 称1np11pnp为 Riemann zeta function. ： ，而 发散（调和级数，和谐级数？pp1n） 。发散 . 但是 为何收敛呢？1pn(1)1231111011347852pppppn nppppn 此几何级数收敛 ， 收敛 。1pn再
4、问一致收敛呢？要有 学说，而非 See (Sub. 1.3) below.,NN在 C 平面 有无穷多个奇点。 是ReIm,pipe2(1,)pn的零点，其它零点落在 Riemann 假设：上述零点全部在01.Re1/2.一、 级数的基本概念与性质 (Basic concepts and properties of series)1. 复数序列（1） 定义：按照一定顺序排列的复数 ， ，称为nnibaz,21复数序列，记为 。nz一个复数序列完全等价于两个实数序列。（2） 聚点：给定复数序列 ，若存在复数 ，对于 ，恒有无nzz0穷多个 满足 ，则称 为 的一个聚点（或极限点） 。nzn一个序
5、列可以有不止一个聚点，例如序列 就有,765,43,21两个聚点， 。1Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMaPhys.FDU3（3） 有界序列和无界序列：给定复数序列 ，若存在一个正数 ，nzM对所有的 都有 ，称为序列有界；否则称为序列无界。nMzn（4） 极限：给定复数序列 ，如果对 ， 自然数 ，使得只0N要 ，就有 ，则称 收敛于 ，记为 。NAznnzAAznlim一个序列的极限必然是这个序列的聚点，而且是唯一的聚点。显然，如果写成 ，
6、 ，则 nnibazibaAbaAznnlilim例如，对于点列 ，有 n1 1 0lim且不 存 在n（5）序列极限存在（序列收敛）的 Cauchy 充要条件：任给 ，存在0正整数 ，使对于任意正整数 ，有 .NpNpz一个无界序列不可能是收敛的。2 复数项级数复数项级数的收敛：一个复数级数， ，如果它的121kkzz 部分和 所构成的序列 收敛，即有极限 ，则nkzS1nSSnlim称级数 收敛，而序列 的极限 称为级数 的和；如果1k n1kz级数 不存在（无穷或不定） ，则称 发散。nSlim1k注： ，因此，一个复数级数完全等价于两个实111IRekkkk zizz数级数。若 ， 都
7、收敛，则 收敛；若 ，1kk1Imk1kz1RekkzMethods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMaPhys.FDU4至少有一个发散，则 发散。1Imkkz1kz收敛的充要条件（Cauchy 收敛判据）：任给 ，存在正整数 ，1k 0N使对于任意正整数 有 .1,ppNkz1特别是，令 ，则得到级数收敛的必要条件： . 0limkz绝对收敛：如果 收敛，则称 绝对收敛。1kz1kz绝对收敛的性质： 绝对收敛的级数一定收敛 （ 因为 ： ） ， 反之不定 。
8、pnkpnkz11 绝对收敛的级数可以改换求和次序。特别是，可以把一个收敛级数拆成几个子级数，每个子级数仍绝对收敛。 两个绝对收敛级数的积仍然绝对收敛。例如， ， 是绝对收敛的，01naS02lbS则注意最后一步的 及 的取值范围kn因为 和12000.knllnnlSabab |(0)l|na构成的实数级数收敛，所以 构成的实数级数也收|lb|nk敛。由于 是一个实数级数，而且是一个正项级数，因此高等数学中任何一1kz种正项级数的收敛判别法都可用来判别一个复数项级数是否绝对收敛。下面列出了一些常用的收敛判别法（自证或者查资料证明之）比较判别法：若 ，而 收敛，则 收敛；kvu1k1kuMet
9、hods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMaPhys.FDU5若 ，而 发散，则 发散；kvu1k1ku比值判别法（DAlembert 判别法）：若 ，则 收敛；limlk1ku若 ，则 发散；1limluk1ku若 ， 可能收敛，也可能发散；li1lk1k根值判别法（Cauchy 判别法）：若 ，则 收敛；liku1ku若 ，则 发散；1limkku1k若 ， 可能收敛，也可能发散；li1kk1kuGauss 判别法：如果（至少 n 充分大） ，则当211n
10、On时， 收敛（相当于 ） ；而当 时，11nunu发散。1n3 复变函数级数（设 为域 D 中的连续函数， ）)(zuk 1,2k函数级数的收敛：如果对于 D 中的一点 ，级数 收敛，则称级0z10kzu数 在 点收敛；反之 发散，则称 在 点发1kzu010ku1k0z散。如果级数 在 D 中的每一点都收敛，则称级数在 D 内收1kzu敛。其和函数 是 D 内的单值函数。)(SMethods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMaPhys.FDU6一致收敛：如
11、果对于任意给定的 ，存在一个与 无关的 ，使当0z)(N时，对于任意正整数 对 D 中每一点 均)(Nn1,ppnku)(z成立，则称级数 在 D 内一致收敛。1kzu（X）一致收敛级数的性质： 一致收敛的概念总是和一定区域联系在一起的，级数的一致收敛性质是它在一定区域内的性质。 （*） 若在区域 D 内满足 ， 与 无关 且 收敛，则kkazu)(z(1,2)k 1ka绝对且一致收敛。 （ Weierstrass 的 M 判别法）1kzu 连续性： 如果 在 D 内连续，级数 在 D 内一致收敛，则其()1,2k（ ） 1kzu和函数 也在 D 内连续。1)(kzuzS 这个性质告诉我们，如
12、果级数的每一项都是连续函数，则一致连续级数可以逐项求极限，或者说“求极限”与“求级数和”可以交换次序。即，.11)(lim)(li00kkzkz uu 逐项求积分： 设 C 是区域 D 内一条分段光滑曲线，如果 在 C 上连()1,2kuz（ ）续， 则对于 C 上一致收敛级数 可以逐项积分，1k11()d()d.kkCCuzuz 逐项求导数（ Weierstrass 定理）： 设 在 中单值解析，()1,2kuz（ ） D在 中一致收敛，则此级数之和 是 D 内的解析函数，1kzuD1kzufMethods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter
13、3 Series of complex variable functions YLMaPhys.FDU7可逐项求导，求导后的级数在 D 中的任意闭区域中一致收敛。)(zf()()1.mmkfuz上面这些性质的证明见 数学物理方法 ，北大 吴崇试，高等教育出版社。函数 在 处连续即 可表述为：对任意给定的 ，总存在()fx000li()xfx0，当 时，使得 成立。02121一致连续： 不依赖于 . 例如： ， ， ，x()fx(0,1)21x.f对任意小的正数 ， ， ，所以连续，但并非一致连212xfx12(,)x续。因为当 时， .若 ，则连续; 若 ，则12,x()f=. 康托尔(Cou
14、ter) 定理：在有界闭区域上有意义的连续函数在此闭区间上一致f=连续。二、 幂级数( Power series)1定义：以幂函数 为一般项的级数 称为以 为kbz0)(kkbzazf中心的幂级数。反之，函数 在 附近的 Taylor 级数展开，其系数()fzb为 .0,12ka（ ）2幂级数的收敛性：Abel 定理：如果级数 在某点 收敛，0kkbza0z则该级数在圆域 内绝对收敛，而且在z内一致收敛。)( 0brbzMethods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions
15、 YLMaPhys.FDU8证明：因为 在 点收敛，故一定满足必要条件， 0kkbza0.limkz因此存在正数 M，使得， ，于是，Mbzakk0 ),210(.kkkbzabz000当 ，即 时，几何级数 收敛，故0|1Zzbz00kkbz在圆 内绝对收敛。0kkbaz0而当 时， ，而常数项级数 收rz0kkkbzrMbza0 0kkbzr敛，故根据 Weierstrass 的 M 判别法， 在圆 内0kka)( 0rbz一致收敛。推论一：如果级数 在某点 发散，则该级数在圆域0kkbza0z外处处发散。zb当 时， 外处处发散）; 当 时，1z0n(1z1z内处处发散） 。100nnz
16、zz(推论二：对于幂级数 ，必存在一个实数 ，使得在圆0kkbza0R内级数处处收敛，同时在圆 外级数处处发散。Rbzbz* 这个圆 称为 的收敛圆，而半径 称为收敛半径。0kkzaMethods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMaPhys.FDU9* 收敛半径的求法，虽然有紧接着下面的常规方法，但是见 p.11 的第二个菱形的非常规方法更有效。3幂级数的收敛圆和收敛半径：在讨论幂级数的性质时，首先应当求出收敛圆及其收敛半径：（1） ，这是因为，根据 DAle
17、mbert 判别法，有1limnaR时级数收敛。因此得1lili nnn abzz.1linaRb（2） ，这是因为，根据 Cauchy 判别法，有nlim时级数收敛。因此得1lili nn abza.nRbz1li4幂级数 在收敛区域内的性质：0kkza 在收敛圆内绝对收敛，在收敛圆内的任何闭圆域上一致收敛。 Abel theorem. 和函数在收敛圆内解析。 因幂级数的每一项都是解析函数，由 Abel 定理知幂级数在其收敛域的任一闭区域中一致收敛，再由 Weierstrass 定理知其解析 和函数在收敛圆内可逐项积分、逐项求导任意次。 同上证明 0 10100 ddk kkkzzk bzz
18、abazba00111 .kkkkkzzabab 积分和求导后级数的收敛半径不变。 直接求出收敛半径即可例：设幂级数 的收敛半径为 ，求下列幂级数的收敛半径。0nzcRMethods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMaPhys.FDU10（1） （ 为实数） ； （2） .0nnkzc01nnzc解： （1） ，nka.11 111limlilimlikknnnnnccR R （2） ,aclilili .22121nnnnn ncc注：幂级数在收敛圆内的任何
19、闭区域内是绝对且一致收敛的，因此， 逐次求积分和导数任意次； 收敛圆内是解析函数，因而可求收敛半径。 （即，p.11 的第二个菱形）三、解析函数的 Taylor 级数展开(Expand to the Taylor series)前面我们看到，一个幂级数在它的收敛圆内代表一个解析函数（虽然我们的课程目标是关注函数的非解析性） 。现在，我们要提一个相反的问题（inversion problem）：如何把一个解析函数表示成幂级数？1. 解析函数的 Taylor 级数: （有限远常点附近的级数展开）Cauchy-Taylor 定理： 设函数 在圆域 D： 内是解析的，则)(zf Rbz可以在 D 内展开为绝对收敛且一致收敛的幂级数 )(zf，其中0kkbzaf()11()d0,122!kkkCffbi =（ ），并且这样的展开是唯一的。证明：我们要证明对任何 （D 内任R1意一闭区域） ，所展开的幂级数在闭圆域
