1、返回返回后页后页前页前页隐函数是函数关系的另一种表现形式 .讨论隐函数的存在性、连续性与可微性 ,不仅是 出于深刻了解这类函数本身的需要 ,同时又为后面研究隐函数组的存在性问题打好了基础 .1 隐 函 数返回返回四、隐函数求导数举例 一、隐函数概念二、隐函数存在性条件分析 三、隐函数定理返回返回后页后页前页前页方程式所确定的函数 ,通常 称为隐函数 例如： 一、隐函数概念显函数： 因变量可由自变量的某一分析式来表示的函数称为显函数例如： 隐函数： 自变量与因变量之间的关系是由某一个隐函数一般定义： 返回返回后页后页前页前页则成立恒等式有惟一确定的与之对应 , 能使 且满足方程 (1) , 则称
2、由方程 (1) 确定了一个定义在 , 值域含于的隐函数 . 如果把此隐函数记为 返回返回后页后页前页前页取值范围例如由方程 可确定如下两 个函数： 注 2 不是任一方程 都能确定隐函数 , 例如 显然不能确定任何隐函数 注 1 隐函数一般不易化为显函数，也不一定需要 化为显函数上面把隐函数仍记为 ，这 与它能否用显函数表示无关 注 3 隐函数一般需要同时指出自变量与因变量的 返回返回后页后页前页前页在 2 还要讨论由多个方程确定隐函数组的问题 . 注 4 类似地可定义多元隐函数例如 : 由方程 确定的隐函数 由方程 确定的隐函数 等等 . 返回返回后页后页前页前页二、隐函数存在性条件分析 条件
3、时，由方程 (1) 能确定隐函数 , 并使 要讨论的问题是：当函数 满足怎样一些 该隐函数具有连续、可微等良好性质 ? (a) 把上述 看作曲面 与坐标 平面 的交线，故至少要求该交集非空，即 ，满足 连续是合理的(b) 为使 在 连续，故要求 在点 返回返回后页后页前页前页由此可见， 是一个重要条件点 存在切线，而此切线是曲面 在点 的切平面与 的交线，故应要求 在 (c) 为使 在 可导，即曲线 在 点 可微，且 (d) 在以上条件下，通过复合求导数 , 由 (1) 得到 返回返回后页后页前页前页三、隐函数定理定理 18.1 ( 隐函数存在惟一性定理 ) 设方程 (1) 中 的函数 满足以
4、下四个条件： (i) 在以 为内点的某区域 上连续； (ii) ( 初始条件 )；(iii) 在 内存在连续的偏导数 ； (iv) 则有如下结论成立：返回返回后页后页前页前页在 上连续惟一地确定了一个隐函数 它满足： , 且当 时 , 使得 证 首先证明隐函数的存在与惟一性 证明过程归结起来有以下四个步骤 ( 见图 18 1 )： 存在某邻域 ，在 内由方程 (1) 返回返回后页后页前页前页(c) 同号两边伸 (d) 利用介值性 (b) 正、负上下分 _+_0(a) 一点正 ,一片正 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 图 18 1
