1、1绝密启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
2、要求的。1. （ ）31iA B C D212i2i2i2.设集合 ， 若 ，则 （ ）,440xm1AA B C D1,3, ,31,53.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（ ）A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏4.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）A B C D906423625.设 ， 满足约束条件 ，则 的
3、最小值是（ ）xy230xy2zxyA B C D159196.安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（ ）A12 种 B18 种 C24 种 D36种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有 2位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（ ）A乙可以知道四人的成绩 B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩 D乙、丁可以知道自己的成绩8.执行右面的程序框图，如果输入的 ，则输出的 （ ）1aSA2 B3
4、 C4 D59.若双曲线 （ ， ）的一条渐近线被圆 所截得C:21xyab0ab24xy的弦长为 2，则 的离心率为（ ）A2 B C 323D 2310.已知直三棱柱 中， ， ， ，则异面直1CAC120A 1C线 与 所成角的余弦值为（ ）1A B C D3250511.若 是函数 的极值点，则 的极小值为（ ）2x21()xfxae()fxA. B. C. 1 32 35eD.112.已知 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则 的最ABC ()PABC小值是（ ）A. B. C. D.23431二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.
5、一批产品的二等品率为 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 次，0.2 10表示抽到的二等品件数，则 D14.函数 （ ）的最大值是 23sincos4fxx0,215.等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 nanS3a41S1nkS16.已知 是抛物线 的焦点， 是 上一点， 的延长线交 轴于点 若FC:28yxCFy为 的中点，则 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第 1721 题为必做题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17.（12 分）4的内角 的对边分别为 ,已知 ABC,abc2
6、sin()8sinBAC(1)求 cos(2)若 , 面积为 2,求 6a.18.（12 分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：（1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于 50kg, 新养殖法的箱产量不低于 50kg,估计 A 的概率；（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量50kg 箱产量50kg旧养殖法新养殖法（3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）P
7、（ ）2 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.82822()(nadbcK19.（12 分）如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等比三角形且垂直于底面 ABCD，E 是 PD 的中点.o1,90,2ABCDBAC（1）证明：直线 平面 PAB/E（2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成锐角为 ，求二面角 M-AB-D 的o455余弦值20. （12 分）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： 上，过 M 做 x 轴的垂线，垂足为 N，点21xyP 满足 .2N(1) 求点 P 的轨迹方程；(2) 设点 Q 在直线 x=-
8、3 上，且 .证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左1OPQ焦点 F. 21.（12 分）已知函数 且 .3()ln,fxax()0f（1）求 a；（2）证明： 存在唯一的极大值点 ，且 .()f 0230()efx（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 1Ccos4（1）M 为曲线 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 ,求点 P 的轨迹1 |16OM的直角坐标方
9、程；2（2）设点 A 的极坐标为 ，点 B 在曲线 上，求 面积的最大值(2,)32CAB23.选修 4-5：不等式选讲 （10 分）已知 ，证明：30,ab（1） ；()46（2） ab7绝密启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题答案一、选择题1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B二、填空题13. 1.96 14. 1 15. 16. 62n1三、解答题17.解：（1）由题设及 ，故2sin8iABC得sin4-co（ 1）上式两边平方，整理得 27s-3B+15=0解得 cosB=c（ 舍 去 ） ，（2）由
10、，故158sin7得 4asin217ABCScc又 2ABCSac， 则由余弦定理及 得622bosa(1c)75364（ +c）所以 b=218.解：（1）记 B 表示事件“ 旧养殖法的箱产量低于 ” ， 表示事件“ 新养殖法的箱产量不低50kgC于 ” 50kg由题意知 PACPB8旧养殖法的箱产量低于 的频率为50kg0.4.3.24.1.25=0.6（ ）故 的估计值为 0.62PB新养殖法的箱产量不低于 的频率为50kg.68.4.1.085=.6（ ）故 的估计值为 0.66PC因此，事件 A 的概率估计值为 .62.492（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量 50kg
11、箱产量 50kg旧养殖法 62 38新养殖法 34 66220634815.7019K由于 5.7.故有 的把握认为箱产量与养殖方法有关9%（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于 的直方图面积50kg为，0.4.20.45.30.箱产量低于 的直方图面积为kg0.4.20.4+.6850.故新养殖法箱产量的中位数的估计值为.5-3.kg（ ）19.解：（1）取 中点 ，连结 ， PAFEBF因为 为 的中点，所以 , ,由 得 ，EDAD12E=90BADCBAD又 2BC所以 四边形 为平行四边形， F BCFCF又 ， ，故PA平 面 EPA平 面 EPAB 平 面（2）9
12、由已知得 ,以 A 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向， 为单位长，建立如BDABAB图所示的空间直角坐标系 A-xyz,则则 ， ， ， ，(0)， ， (10)， ， (10)C， ， (13)P， ，, 则13PC， ， AB， ，(x),(x13)BMyzPyz， ， ， ，因为 BM 与底面 ABCD 所成的角为 45，而 是底面 ABCD 的法向量，(0)n， ， 1所以，0cos,sin45B22z(x1)y即（x-1） +y-z=0又 M 在棱 PC 上，设 ,PC则x,13yz由，得xxyy22=+=1-1(舍 去 )，66zz22所以 M ，从而261-,， 61-,，A
13、M设 是平面 ABM 的法向量，则0,xyzm=100002-26即 xyzAMBm所以可取 m=（ 0，- ，2）.于是6cos105Amn,因此二面角 M-AB-D 的余弦值为 10520.解（1）设 P（x,y）,M （x 0,y0）,设 N（x 0,0）, 00,PxyNMy由 得2NM02=,y因为 M（x 0,y0）在 C 上，所以 1xy因此点 P 的轨迹方程为 2（2）由题意知 F（-1,0）.设 Q（-3 ，t ）,P(m,n),则，3,1,3tOQmnOPFmtnA,3,Pmn,t由 得 ，又由（1）知 ，故1A22-tn2+=n3+3m-tn=0所以 ，即 .又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于0OQPFAFOQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.21.解：（1） 的定义域为fx0， +设 ，则 等价于g=a-lnxf=xg,f00gx因为 110， ,故 ,而 1,得aax若 a=1，则 .当 0x1 时， 单调递减；当 x1 时，gx 0,g 0， 单调递增.所以 x=1 是 的极小值点，故x x=0g综上，a=1
