1、 2010 年考研数学三真题与解析一.选择题1.若 则 =1)(1limxoxeaA0 B1 C2 D32.设 是一阶线性非齐次微分方程 的两个特解，若常数 使21,y )(xqyp ,是该方程的解， 是该方程对应的齐次方程的解，则21yA B 2,C D3133.设函数 f(x),g(x)具有二阶导数，且 若 是 g(x)的极值，则 f(g(x)在.0)(xga)(0取极大值的一个充分条件是0xA B C D)(af0)(af)(af)(f4 设 则当 x 充分大时有1010,lnexhgxf Ag(x)ssC 若向量组 II 线性无关，则 D 若向量组 II 线性相关，则 rs6.设 A
2、为 4 阶实对称矩阵，且 ，若 A 的秩为 3，则 A 相似于02A B 0101C D01017.设随机变量 X 的分布函数 ，则 P（X=1)=1,2,)(xexFA0 B C D211e18.设 为标准正态分布概率密度， 为-1,3上均匀分布的概率密度，若)(1xf )(2xf为概率密度，则 a,b 满足：0,(),(2babffA2a+3b=4 B3a+2b=4 Ca+b=1 Da+b=2二.填空题9.设可导函数 y=y(x),由方程 确定，则xyxt dtde020sin2 _0xy10.设位于曲线 下方，x 轴上方的无界区域为 G，则 G 绕 x)()ln1(2xy轴旋转一周所得空
3、间区域的体积为_11.设某商品的收益函数 R(p),收益弹性为 ，其中 p 为价格，且 R(1)=1,则 R(p)31=_12.若曲线 有拐点(-1,0),则 b=_23bxay13.设 A，B 为 3 阶矩阵，且 ，则2,31BA_1A14.设 _ET ,1T)0(,N, 22321 则 计 量的 简 单 随 机 样 本 。 记 统是 来 自 总 体 niiXX三.解答题15.求极限 xxln1)(lim16.计算二重积分 ，其中 D 由曲线 与直线Ddy3 21yx。围 成及 0202y17.求函数 u=xy+2yz 在约束条件 下的最大值和最小值。1022zyx18.（1）比较 的大小，
4、说明理由。 1010 ),(ln)ln(dttt与（2）记 ,求极限)2(un .limnu19.设 f(x)在0,3上连续，在(0,3)内存在二阶导数，且)3(2)()0(22ffdxff （1）证明：存在 ;0,0ff使（2）证明：存在 )(3(使20. 的 通 解 。求 方 程 组、） 求（个 不 同 的 解 。存 在已 知 线 性 方 程 组设 bAxa bAxa)2(.1 2.1,021.设 ，正交矩阵 Q 使得 为对角矩阵，若 Q 的第一列为043aAT，求 a、Q.T)1,2(622.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为求常数 A 及条件概率密度yxAeyxfyx,),(22 )
5、.(xyfXY23.箱中装有 6 个球，其中红、白、黑球的个数分别为 1，2，3 个。现从箱中随机地取出 2个球，记 X 为取出的红球个数， Y 为取出的白球个数。（1）求随机变量（X,Y）的概率分布；（2）求 Cov（X,Y）.2010 年考研数学三之答案与解析答案：CABC ADCA9.-1 10. 11 12.3 13.3 14.42)1(3pe 2三解答题15.解： 1ln1ln2lln)(lim1lnimil)(li ,0ln,l1imln)1(illnex xxee xxxxxxxxxx故 而 当16.解:154 )(3)21()3(210 01042423332 yDDdydyd
6、xd xy原 式17.解： 5-5 0,5-,;, ).2,(),2()2,1()21(),()21( ,02)10(),(minmax222 u uFEuCBDADBzyxFzyxzxyzzx，所 以 。两 点 处； 在两 点 处在两 处因 为 在 最 可 能 的 最 值 点令设 18.0lim,0lnlim)1(1.ln)ln()1(2.)l(n ,l)1l(,1,0)(10 21100nn nn nudtdttt tutdtt tt从 而知由因 此 ， 当解 ：19. 0)(),30(,0)(,)(3)0( ).(),(23.23,)(2)3()( ).0(),0(2)( ),(2).(
7、)(),()(21212 12020 200 ffff fffffxf fffdxfdx fFftfFx 使 得（从 而 存 在） ， 使，（ ） ，（根 据 罗 尔 定 理 ， 存 在且由 于 故由 题 设 知 使存 在 值 定 理 ，间 ， 根 据 连 续 函 数 的 介上 的 最 小 值 与 最 大 值 之在介 于 故由 题 设 知即 ） ， 使，（， 存 在根 据 拉 格 朗 日 中 值 定 理 则设证 ：20.解： 为 任 意 常 数 。其 中的 通 解 为所 以时 ，当 有 解 ，（ 变 换的 增 广 矩 阵 施 以 初 等 行时 ， 对当 舍 去 。所 以时 ， 因 为当 。或于
8、 是 的 一 个 非 零 解 ， 故是个 不 同 的 解 ， 则的为设 kxbAxBabAx BaabAxbAxrxx ,1032,02132,)2(. 2130102),1- ,),()1-,0(),(2 21 21 为 所 求 矩 阵 。故则 有令 ），（的 一 个 单 位 特 征 向 量 为属 于 特 征 值 ），（的 一 个 单 位 特 征 向 量 为属 于 特 征 值的 特 征 值 为所 以 的 特 征 多 项 式由 于 解 得的 一 个 特 征 向 量 ， 于 是为），解 ： 由 题 设 ， （ QAQQAAEaaTT,452,2136102 104;-35.,2),4(5)2(.
9、2,1,1043122T 22. .,1 11)(,)(),( .,)(1,),()(2 222222222222)( )( ye eexfyfx AdeAdxf xyeA dyeyffyx yxxyXXYXxxx xyX 时 ，当 从 而所 以解 ： 因23.解：（1）随机变量（X，Y）的概率分布为：X Y 0 1 20 1/5 2/5 1/151 1/5 2/15 0(2).453215)(),( .)(.21580,51, 320,31,320EYXYXCovEPPEXX所 以 又所 以 ，因 为 。所 以因 为2011 年考研数学三试题及解析一、选择题(18 小题，每小题 4 分，共
10、32 分下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上)(1) 已知当 时， 与 是等价无穷小，则( )0x()3sinfxxkc(A) . (B) .1,4kc 1,4(C) . (D) .3 3kc(2) 已知函数 在 处可导，且 ，则 =( )()fx0(0)f230limxffx(A) 2 . (B) .0f f(C) . (D) .(3) 设 是数列，则下列命题正确的是( )nu(A) 若 收敛，则 收敛. (B) 若 收敛，则1n21()nu21()nu收敛 .1nu(C) 若 收敛，则 收敛. (D) 若 收敛，则1n21()nu 21
11、()nu收敛 .1nu(4) 设 ， ， ，则 的大40lnsiIxd40lncotJxd40lncosKxd,IJK小关系是( ) (A) (B) IJKIJ(C) (D) (5) 设 为 3 阶矩阵，将 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 ，再交换 的第 2 行与第AAB3 行得单位矩阵，记 ， ，则 ( ) 10P20PA(A) (B) (C) (D) 121221P12P(6) 设 为 矩阵， 是非齐次线性方程组 的 个线性无关的解，A43123,Ax3为任意常数，则 的通解为( ) 12,kx(A) (B) 312k2312()k(C) (D) 2231()()k2312231()k(
12、7) 设 ， 为两个分布函数，其相应的概率密度 ， 是连续函数，Fx( 1()fx2f则必为概率密度的是( ) (A) (B) 12()f 21()fF(C) (D) x 21()xfx(8) 设总体 服从参数为 的泊松分布， 为来自总体X(0)1,nX的简单随机样本，则对应的统计量 ( ) X1,niiT21iniTX(A) ， (B) ， 12()ET12()D2()E12DT(C) ， (D) ， 1()二、填空题(914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上)(9) 设 ，则 .0lim13xttfxf(10) 设函数 ，则 .yz1,dz(11) 曲线 在
13、点 处的切线方程为 .tan4yxe0,(12) 曲线 ，直线 及 轴所围成的平面图形绕 轴旋转所成的旋转21y2xx体的体积为 .(13) 设二次型 的秩为 1， 的各行元素之和为 3，则 在正交123,TfxA f变换 下的标准形为 xQy(14) 设二维随机变量 服从正态分布 ，则 = ,XY2,;0N2EXY三、解答题(1523 小题，共 94 分请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15) (本题满分 10 分)求极限 012sin1limlxx(16) (本题满分 10 分)已知函数 具有连续的二阶偏导数， 是 的极值，,fuv1,2f,fuv，求
14、 .,zfxyf21,zxy(17) (本题满分 10 分)求 .arcsinldx(18) (本题满分 10 分)证明 恰有 2 实根.44arct30(19) (本题满分 10 分)设函数 在 有连续导数， ，且 , fx0,1()1f()()t tDDfxydfdxy，求 的表达式.(,),0tDytxtf(20) (本题满分 11 分)设向量组 ，不能由向量组 ，123,0(,1)(,5)TTT1(,)T， 线性表示 2(,3)T(4)a(I) 求 的值；a(II) 将 由 线性表示123,123,(21) (本题满分 11 分)为三阶实对称矩阵， 的秩为 2，即 ，且 AA2rA1100(I) 求 的特征值与特征向量；(II) 求矩阵 (22) (本题满分 11 分)设随机变量 与 的概率分布分别为XY
