1、1第五章 不定积分 教学安排说明章节题目：5.1 不定积分的概念 5.2 不定积分的性质5.3 换元积分法 5.4 分部积分法学时分配：共 6 学时。5.1 不定积分的概念 1 学时5.2 不定积分的性质 1 学时5.3 换元积分法 2 学时 5.4 分部积分法 2 学时本章教学目的与要求：理解并掌握原函数与不定积分的概念；熟练掌握不定积分的基本公式和基本积分方法，熟练地利用换元积分法与分部积分法求不定积分。课 堂 教 学 方 案（一）课程名称：5.1 不定积分的概念；5.2 不定积分的性质授课时数：2 学时授课类型:理论课教学方法与手段：讲授法教学目的与要求：理解并掌握原函数与不定积分的概念
2、；熟练掌握不定积分的基本公式，了解不定积分的基本运算法则，能够用不定积分的基本公式和性质求不定积分教学重点、难点：教学重点：原函数和不定积分的概念,不定积分的性质及几何意义，不定积分的基本公式；教学难点：不定积分的概念及几何意义和用不定积分的性质求不定积分。教学内容5.1 不定积分的概念1.原函数与不定积分在微分学中，我们讨论了求已知函数的导数与微分的问题。但是，在科学、2技术和经济的许多问题中，常常还需要解决相反的问题，也就是要由一个函数的已知导数（或微分） ，求出这个函数。这种由函数的已知导数（或微分）去求原来的函数的运算，称为不定积分，这是积分学的基本问题之一。定义 1 如果函数 与 为
3、定义在某同一区间内的函数,并且处处都有)(xfF或 , )(fd()dxf则称 是 的一个原函数.)(xFf根据导数公式或微分公式,我们很容易得出一些简单函数的原函数.如 ， 故 是 的一个原函数；xcos)(sin xsinco， 故 也是 的一个原函数；11xs， 故 是 的一个原函数；x2)( 2x， 故 也是 的一个原函数. 由此可见,一个函数的原函数并不是唯一的.对此有以下两点需要说明：第一，若在某区间内 为 的一个原函数，即 ,则对任意)(xFf )(xfF常数 , 由于 ,所以函数 都是 的原函数.这说明如C)(CCx)(f果函数 有原函数,那么它就有无限多个原函数.xf第二，若
4、在某区间内 为 的一个原函数，那么， 的其它原函数)(xFf )(xf和 有什么关系？)(xF设 是 在同一区间上的另一个原函数，即 ，于是有)(xf ()xf()()0,FxF由于导数恒为零的函数必为常数，因此31()()xFC为 某 个 常 数 ，即 这说明 的任意两个原函数之间只差一个常数.1().xFCf因此,如果 是 的一个原函数,则 的全体原函数可以表示为)(x)(xf(其中 为任意常数).)(C为了更方便地表述一个函数的全体原函数,我们引入下面不定积分的概念.2.不定积分的概念定义 2 函数 在某区间内的全体原函数称为 在该区间内的不定积分,记)(xf )(xf为，()dfx其中
5、记号 称为积分号, 称为被积函数, 称为被积表达式, 称为积分 ()dfxx变量.即 .()fFC这说明,要计算函数的不定积分,只需求出它的一个原函数,再加上任意常数就可以了.C例 1 求 的不定积分.xf2)(解：因为 ,所以 2()d.fxxC例 2 求 的不定积分.xef)(解：因为 ,所以 ().xfe3.不定积分学的几何意义不定积分的几何意义:若 是 的一个原函数，则称 的图象为)(xFf )(xFy的一条积分曲线.于是, 的不定积分在几何上表示 的某一条积分曲)(xf f )(f线沿纵轴方向任意平移所得一组积分曲线组成的曲线族.若在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线,则这些切线
6、互相平行(如图-1),任意两条曲线的纵坐4标之间相差一个常数.给定一个初始条件,就可以确定一个常数 的值，因而就确C定了一个原函数，于是就确定了一条积分曲线例 3 设曲线通过点 ,且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,)21(求此曲线的方程解：设所求的曲线方程为 ,按题设，曲线上任一点 处的切线斜)(xfy),(yx率为 ,2dx说明 是 的一个原函数.因为 的全体原函数为)(xfy2，C2所以曲线方程为 ,又由于曲线过点 ,故 , 解xfy2)( )1(2(f,1C得 ,于是所求曲线为 .1C2()f例 4 一物体作直线运动，速度为 路时 ， 物 体 所 经 过 的当 stmtv,/
7、程为 3m，求物体的运动方程。解：设物体的运动方程为 依题意有 所以 ).(ts ,12)(tvtsCdxtts32)1()将 方 程 为因 此 ， 所 求 物 体 的 运 动代 入 上 式 ， 得 ,43,13)(tts一般，若 是函数 的原函数，那么 所表示的曲线称为xF)(xf )(xFy的一条积分曲线。不定积分 在几何上表示由积分曲线 沿)(xf dxf)( )(xFy轴方向上下平移而得到的一族曲线，称为积分曲线族。这就是不定积分的几何y意义。课堂练习：填空 5（ 4x） （ x2cs） （ xe2）小结：本节讲述了原函数的概念，不定积分的概念，性质及几何意义。4.基本积分表及常用的积
8、分公式第一节我们知道积分与微分互为逆运算，因此由第二章的导数的基本公式可以相应地写出不定积分的基本公式。列表如下：（1） ( 是常数)；Ckxdk（2） ；u1)1（3） ；xln（4） ；Caxld),0(a（5） ；ex（6） ；cossin（7） ；Cxid（8） ；xtandseccos122（9） ；xoin（10） ；Cxarcsind12（11） ；xt2（12） ；secdtansec（13） ；Cxxo以上 13 个基本积分公式是求不定积分的基础,若能熟记,则对不定积分的运算会起到关键性的作用.以上 11 个公式是求不定积分的基础，必须熟记。6例 5 求下列不定积分：（1）
9、（2） （3） dxdx21dxe2解：(1) Cxd1212(2) xx122(3) eedexx 2lnln)()(5.2 不定积分的性质根据不定积分的定义，可以得到其如下性质：性质 1 两个函数之和(差)的不定积分等于这两个函数的不定积分之和(差),即.xgxfgxf d)()(d)(证明：根据导数的运算法则， ),()()()()( gffdf 因此 是 的原函数,而且上式含有不定积分记号,因此xgxf xgf已经含有任意常数,故上式即为 的不定积分.证毕.)(类似可证明如下性质.性质 2 不为零的常数因子可以移到积分号前xfaxfd)()( )0(a例 1 求不定积分 .sin2ex
10、解： .(2sin)di2cosx xeeC例 2 求 x4co3解： = =x)s(dx4cs32 Cxx4sin32l17例 3 求不定积分 .21dx解： .515 32 221dxCxCx例 4 求不定积分 .2()dx解： .2231()lnxxx C注意：在分项积分后，每个不定积分的结果都应有一个积分常数，但任意常数的和仍是常数，因此最后结果只要写一个任意常数即可。例 5 求 dx2)1(解： Cxxdxd ln21)2(1)22（例 6 求 解：dx2tan tasectan2上面例题都是属于基本积分法的应用，就是利用基本积分公式和积分运算法则直接求不定积分.但有时并不是被积函数
11、直接就符合基本积分公式，需要对被积函数作适当的恒等变换. 如用代数运算或三角关系等对被积函数进行变形，是变形后的被积函数能直接使用基本公式和运算法则求出不定积分.例 7 求 dx2cos解： Cdxdxdx )sin(21)cos1(2cos1例 8 求不定积分 .in解： .si2scdsincscooxxx例 9 求不定积分 .3xe8解： .33d()1lnxxxeeC例 10 求不定积分 .42dx解：由于 ，所以4222114222d()dxx3arctnxC小结：本节讲述了不定积分的基本公式和基本运算法则，以及利用直接积分法求函数的积分方法。 作业：P151 1；3（1） （4）
12、（6） （7） （10） （11）课 堂 教 学 方 案（二）课程名称：5.3 换元积分法授课时数：2 学时授课类型:理论课教学方法与手段：讲授法教学目的与要求：掌握第一类换元积分法和第二类换元积分法求不定积分的基本方法和步骤；强调第二类换元积分法与第一类换元积分法之间的区别；了解第二类换元积分法适用的函数类型教学重点、难点：教学重点：第一类换元积分法和第二类换元积分法；教学难点：第一类换元积分法中中间变量 的选取，灵活地运用微分公式凑微分)(xu第二类换元积分法中适当选取单调连续函数 ，将积;)(dxdu )(tx分 化为积分 ，求出结果。xf)(dttf)(教学内容5.3 换元积分法有时仅
13、仅依靠不定积分的性质和基本积分表来计算不定积分是非常有限的,因9此有必要讨论求不定积分的一种重要方法,其实质是把复合函数的求导法则反过来用于求不定积分,也就是利用变量代换来求不定积分,这种方法称为换元积分法.按照换元方式的不同,通常把换元法分为两类.1不定积分的第一类换元法(凑微分法)例 1 求不定积分 1d.2x分析 基本积分公式表中没有与该积分一致的公式,因此该积分不能直接由积分公式与不定积分的性质求得.但注意到 是复合函数 ,且 ,于12xd(21)x是可做如下的变换和计算:解 11ddd(),22x(令 ),12u12x,|lnC(将 回代),x|1| xu由 ,验证上述积分结果正确.
14、12)|12|ln(xCx一般地，对于积分 ，总可以作变换 ，把它化为()dfabx axb()dfab.1uaxb一般地,有:定理 1 若 且 可导,则()d()fxFC)(xudfF定理 1 表明,在基本积分公式中,将 换成任一可导函数 后公式仍然x)(xu成立,从而扩充了基本积分公式的使用范围.定理中的结论可表示为 ()d(),fFC10即 ()d()fxFxC由此得到如下求不定积分的步骤,即（凑微分）()()ff（令 ）du)(xu（积分公式）CF)(（将 回代）.x)(x上述方法称为第一类换元法或凑微分法.注意：如果中间换了元，积分完了后，一定要回代，即将积分后的函数中的变量 换成 ；如果熟练过后，可以不要换元这步，就将 当作一u)(x )(x个变量来积分即可，最后也不需要回代了。例 2 求不定积分 .10(2)d解：利用凑微分方法 ,此时()xab,12ba（凑微分）1010 01()()()d()2xdxx(换元,令 )uu12C(将 回代). x1)( 12xu例 3 求 d8)(解： dxx3)1(1881(3)(1)3xd（89927uCC
