1、- 1 -第四章 流体动力学基本定理及其应用4-1 欧拉运动微分方程和伯努利方程的前提条件是什么，其中每一项代表什么意义？答：（1）欧拉运动微分方程是牛顿第二定律在理想流体中的具体应用，其矢量表达式为： pfvt1其物理意义为：从左至右，方程每一项分别表示单位质量理想流体的局部惯性力、迁移惯性力、质量力和压力表面力。（2）伯努利方程的应用前提条件是：理想流体的定常运动，质量力有势，正压流体，沿流线积分。单位质量理想流体的伯努利方程的表达式为： ，从左至右方程Cgzp2V每项分别表示单位质量理想流体的动能、压力能和位能，方程右端常数称流线常数，因此方程表示沿流线流体质点的机械能守恒。4-2 设进
2、入汽化器的空气体积流量为 ，进气管最狭窄断面直径 D=40mm，sm/15.0Q3喷油嘴直径 d=10mm。试确定汽化器的真空度。又若喷油嘴内径 d=6mm，汽油液面距喷油嘴高度为 50cm，试计算喷油量。汽油的重度 。3/7N答：（1）求 A 点处空气的速度：设进气管最狭窄处的空气速度为 ，压力为 ，则根据流管的连续方程可以得到：1v1p，QvdD124因此： 。21（2）求真空度 vp选一条流线，流线上一点在无穷远处 F，一点为 A 点；并且：在 F 点： ， ；0F在 A 点： ， 。?1p1Av将以上述条件代入到伯努利方程中，可以得到： gvp201- 2 -因此真空度为： 22221
3、10 184dDQdDvpv 若取空气的密度为 ，那么计算得到：3/6.mkg。Papv 3222 1095.0.4.114.3508 （3）求喷油量：设喷油嘴处汽油的速度为 ，并设空气的密度为 ，重度为 ，汽油的重度为 。2v112选一条流线，流线上一点为上述的 A 点，另一点为汽油液面上的 B 点；并且：在 A 点： ， ， ；2101p?2vmchz5.0A在 B 点： ， ， ；Bvz代入到伯努利方程中，可以得到：；021202 phgvp整理得到：；hv212因此汽油喷出速度为：；ghv212其中空气重度 ； ，并注意到喷油嘴的31/128.96.mN214dDQv直径是 6mm，而
4、不是原来的 10mm，则计算得到：smv/817.3 81.936.245.0819206.4.1.355926. 22 因此汽油流量为：。scmsvdQ /9.107/079.18.306.1434 334222 - 3 -4-3 如图所示，水流流入 形弯管的体积流量 Q=0.01m3/s，弯管截面由 =50cm2 减小到U1S=10cm2，流速 和 均匀，若 截面上的压力为一个工程大气压，求水流对弯管的作S1v22S用力及作用点的位置。 。3/kg0m答：（1）求截面 和 上的流速 和 ：1S21v2由连续方程可知：，sm/105/.SQv2431；/.2432（2）求 上的压力 ：1S1
5、p已知 上的压力 1 个工程大气压 ；22 Pa510.98由伯努利方程： gvp221得到：。Pavp 552121 1046.1021098. （3）求水流对弯管的作用力 ：P由动量定理可以得到：。2121P-Sv其中 和 分别为在 和 上，外界对水流的作用力；在此需要注意到，对于整个弯管，2大气压力对其的作用力合力为 0。因此：截面上作用力为：1S，NSp 24015098.164.P5101 截面上作用力为：2。202- 4 -因此： NSv360124 101052104P 42432 （4）求作用力 的作用点：设作用点距 截面中心线的距离为 ，两管中心线之间的距离为 。1eL由动量
6、矩定理可以得到：；LSveP2即：。0.2783613601PL-422 4-4 如图所示，弯管的直径由 d1=20cm 减小到 d2=15cm，偏转角为 60，设粗端表压力p1=7840N/m2，流过弯管流体的体积流量 Q=0.08m3/s，求水作用于弯管的作用力及作用点的位置。答：首先应注意到，表压力读数指相对压力。也就是说， 截面处压力 和利用伯努利方1S1p程得到的 截面的压力 的值，均为相对压力。又由于大气压力对弯管的作用力合力为2S2p0，因此在 和 截面上，均应以相对压力值计算。1（1）利用连续方程求截面 和 上的流速 和 ：1S21v2， ；2114QSvd24vd（2）利用伯
7、努利方程求 截面的相对压力 ：22p 根据伯努利方程： gvp221可以得到：；2112vp（3）求管壁对流体的作用力 和 ：xFy- 5 -求 方向作用力分量 ：xxF由动量定理： 0sinsin222 SvPFx 其中 为 截面上外界对管内流体的作用力；整理得到： SpNSdQpSvpvpvx326 15.042.315.02.14.8078sini162sin21sisi4423241 242421 21222 求 方向作用力分量 ：yyF由动量定理：，22121 coscos SvSvPy 其中 为 截面上外界对管内流体的作用力，整理得到： SpNSvvFy2618450 326.01
8、4.3.04.387cos421212（4）求力的作用点：如图所示，设流体对弯管的作用力 和 与 轴和 轴的距离分别为 和 ，由于xFy yex和 上所有外力和流体动量均通过坐标原点，由动量矩定理可知 ，即合力1S2 0x作用点通过坐标原点。- 6 -4-5 如图所示，平板垂直于水柱方向，设水柱流来的速度为 v0=30m/s，水柱的体积流量Q=294m3/s，分流量 Q1=118 m3/s。试求水柱作用在平板上的作用力和水流偏转角 。设液体的重量和粘性可略去不计，水柱四周的压力处处为大气压。答：（1）由伯努利方程可知 ；021v（2）设流束宽度分别为 ， 和 ，则有 ， ；又由连续0b0/Qv
9、b011/Q/v方程可知： 12Q-因此：；01212 /-/-vvb（3）应用动量定理求平板对流体的作用力和偏转角：求偏转角度 ：在 方向，平板对流体的作用力 ，即：y0yF；221sin0bvbv整理得到： 0si212将 代入，可以得到：02v，67.018294/sin10121 Qvb即： 。8.4求 方向作用力分量 ：xxF由动量定理得到： 220cosbvbvx 整理得到： )(108.4.cos18294301 coscscs610202 NQvvQvFx - 7 -4-6 图示水箱 1 中的水经光滑无阻力的圆孔口水平射出，冲到一平板上。平板封盖着另一水箱 2 的孔口，水箱 1
10、 中的水位高度为 h1，水箱 2 中的水位高度为 h2，两孔口中心重合，而且直径 d1=d2/2。若射流的形状是对称的，冲击到平板后转向平行于平板的方向，并向四周均匀流出。假定流动是无粘性不可压定常的，平板和水质量力不计。当已知 h1 和水的密度 时，求保持平板封盖住水箱 2 的孔口是 h2 最大值。答 ：（1）求水箱 1 出口处速度 ：1V在水箱 1 的自由液面上选取 A 点，在出口截面上选取 B 点；A 点： ， ， ， 其中 为大气压力；0p1h0pB 点： ， ， 。?1VBB由过 A、B 两点的伯努利方程： BBAghpghpV221得到：；021021 gpVghp因此：， ；12
11、V1（2）求水流对封板的作用力 ：P由动量定理，沿垂直于封板的方向：；2112212144)(0 dghdvdvPBB （3）求水箱 2 的最大高度 ：maxh在封板右侧，水箱 2 形心处的静压力为 ，因此封板受到水箱 2 的静水压力：maxghp。2max241dghdpP当封板左右两侧压力相同时，即 时：P2ax21gh- 8 -注意到 ，整理可得：21d。即水箱 2 液面最大高度为 。maxh12h4-7 工程中常用文丘里（Venturi）管测量管路中水的流量。管路和收缩管段截面积分别为S1、S 2，水的密度和 U 形测压计中液体的密度分别为 ，且 。若不计水的粘m、 m性，试导出图示倾
12、斜管路中水的流量 Q 与测压计中液体的高度差读数 h 之间的关系式。答：设正常管路截面 1-1 和收缩段截面 2-2 的流速分别为 和 ，则由连续方程可知：1v2；21Sv又设管路的流量为 ，则：， ；11/Qv22/v选取沿管路轴线的流线，由伯努利方程可得到：，22121 1vpzvp整理得到：； （1）212121 zgvp取 形测压计内液体的左侧 A 点处水平面为等压面，则有：U，)(11hzgA；gpmB22由于 ，则可得到：A；hzhzgm)(12211整理可得：； （2）mghzp2121将（2）代入到（1）中，可得：；212121 zgSQzgm- 9 -再经整理得到：， 。21
13、2SghQm2121SghQm4-8 圆管内不可压缩定常流动如图所示。入口处流速 U 均匀，在某截面 处为抛物形速度x分布： ，其中 为离管轴的径向距离， 为一未知常数。入口处和 处Urcru20rc管截面压力均匀分布，分别为 和 ，流体密度为 ，不计重力。（1）试确定常数 ； 0pxc（2）证明作用在 至 间，管壁上总的摩擦阻力 。ox 20231UprDx答：（1）入口处流量为： ；由连续方程可知， 处截面的流量也是 。UrQ20 rQ20又由于通过 截面半径 处环形微元面积 上的流量为：xrrdsduQ2对其积分可得到：；UcrdrcUdrcrr rr 40020202 即：；Urc20
14、4因此得到：；20rc则速度分布为：。20201rUrru（2）入口处流体的动量为： ； 截面上，通过半径为 处的环形面积20xr流体的动量为：；drururdM)(2将上式积分得到：- 10 -；20200202 3414)( UrdrUrdruMr 由动量定理可知，动量的变化量等于外力的合力，因此：；DrprUx2020202034其中 为圆管对流体的摩擦阻力，整理得到：D。 202202020 3131UrUrpxx 4-9 一马蹄形旋涡如图所示，两端向右延伸至无穷远处。试分别计算 R、P、Q 三点的诱导速度。答：由毕奥-沙伐尔定律可知，涡线对空间一点的诱导速度为：；12cos4RV（1）求涡线对 R 点的诱导速度：诱导速度由 3 部分涡线产生，即涡线 1、2 和 3：涡线 1：方向垂直纸面向外：；12cos4lVR其中 ， ； ；02221dl因此：。214dllVR涡线 2：方向垂直纸面向内：， ；2cosdl2221coscosdl则：；22224 dldldlVR 涡线 3：方向垂直纸面向外： 1R
