1、高二数学期末调研参考答案（理科） 第 1 页 共 10 页南京市 20172018 学年度第一学期期末调研测试卷高二数学（理科） 2018.01注意事项：1本试卷共 3 页，包括填空题（第 1 题第 14 题） 、解答题（第 15 题第 20 题）两部分本试卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟2答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题卡参考公式：圆锥的体积公式：V r2h，侧面积公式： Srl ，其中 r，h 和 l 分别为圆锥的底面13半径，高和母线长一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5
2、分，共 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1命题“若 ab0，则 b0”的逆否命题是 2已知复数 z 满足 z(1i) i，其中 i 是虚数单位，则 |z| 为 3在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y24x 的焦点坐标是 4 “x23x20”是“1x 2”成立的 条件（在“充分不必要” ， “必要不充分” ， “充要” ， “既不充分又不必要”中选一个填写） 5已知实数 x，y 满足条件 则 z3xy 的最大值是 x 0，y 1，2x y 5 0， )6函数 f(x)xe x 的单调减区间是 7如图，直线 l 经过点(0，1)，且与曲线 yf(x) 相切于点(a，3) 若 f (a)
3、，则实数 a 的值是 238在平面直角坐标系 xOy 中，若圆 (xa) 2( ya) 22 与圆 x2( y 6)28 相外切，则实数 a 的值为 9如图，在三棱锥 PABC 中， M 是侧棱 PC 的中点，且 x y z ，BM AB AC AP xyO a31 yf (x)l（第 7 题图）（第 9 题图）ABCPM高二数学期末调研参考答案（理科） 第 2 页 共 10 页则 xyz 的值为 10在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 y21 的渐近线与x23抛物线 x24 y 的准线相交于 A，B 两点，则三角形 OAB 3的面积为 11在平面直角坐标系 xOy 中，若点 A 到原点的
4、距离为 2，到直线 xy20 的距离 3为 1，则满足条件的点 A 的个数为 12若函数 f(x)x 33x 2mx 在区间 (0，3) 内有极值，则实数 m 的取值范围是 13在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 1( ab0) 的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1，F 2，过 F1 且与 x 轴垂直的直线交椭圆于 A，B 两点，直线 AF2 与椭圆的另一个交点为 C若 2 ，则该椭圆的离心率为 AF2 F2C 14已知函数 f(x)x|x 23| 若存在实数 m，m(0， ，使得当 x0，m 时，f(x) 的 5取值范围是0，am，则实数 a 的取值范围是 二、解答题：本大题共 6
5、小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本题满分 14 分）已知复数 z ，（mR ，i 是虚数单位）2 4mi1 i（1）若 z 是纯虚数，求 m 的值；（2）设 是 z 的共轭复数，复数 2z 在复平面上对应的点在第一象限，求 m 的取值 z z范围16 （本题满分 14 分）高二数学期末调研参考答案（理科） 第 3 页 共 10 页如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 E，F，G 分别是棱 BC，A 1B1，B 1C1 的中点 （1）求异面直线 EF 与 DG 所成角的余弦值；（2）设二面角 ABDG 的大小为 ，求 |c
6、os| 的值17 （本题满分 14 分）如图，圆锥 OO1 的体积为 设它的底面半径为 x，侧面积为 S 6（1）试写出 S 关于 x 的函数关系式；（2）当圆锥底面半径 x 为多少时，圆锥的侧面积最小？ 18 （本题满分 16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C 经过点 A(1，3) ，B(4，2) ，且圆心在直线 l：xy10 上（1）求圆 C 的方程； （2）设 P 是圆 M：x 2y 28x2y 160 上任意一点，过点 P 作圆 C 的两条切线PM，PN，M ， N 为切点，试求四边形 PMCN 面积 S 的最小值及对应的点 P 坐标 19 （本题满分 16 分）在平面直角
7、坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： 1( ab0)的一条准线方程为 xx2a2 y2b2，离心率为 BB1（第 16 题图）AD CA1C1D1EFGOO1（第 17 题图）高二数学期末调研参考答案（理科） 第 4 页 共 10 页（1）求椭圆 C 的方程；（2）如图，设 A 为椭圆的上顶点，过点 A 作两条直线 AM，AN，分别与椭圆 C 相交于M，N 两点，且直线 MN 垂直于 x 轴 设直线 AM，AN 的斜率分别是 k1， k2，求 k1k2 的值； 过 M 作直线 l1AM，过 N 作直线 l2AN，l 1 与 l2 相交于点 Q试问：点 Q 是否在一条定直线上？若在，求出该直线的方
8、程；若不在，请说明理由 20 （本题满分 16 分） 设函数 f(x) ax21lnx，其中 aR 12（1）若 a0，求过点(0， 1)且与曲线 yf (x)相切的直线方程；（2）若函数 f(x)有两个零点 x1，x 2， 求 a 的取值范围； 求证：f (x 1)f ( x2)0ONMAl1xl2yQ（第 19 题图）高二数学期末调研参考答案（理科） 第 5 页 共 10 页南京市 20172018 学年度第一学期期末检测卷高二数学（理科）参考答案 201801说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生
9、的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）1 “若 b0，则 ab0” 2 3(1，0) 4充分不必要 57 6(，1)或(，1 73 83 90 103 113 12( 9，3) 313 141，3)二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分）15 （本题满分 14 分）解（1）z 2 4mi1 i (2
10、4mi)(1 i)(1 i)(1 i)12m(2m1)i 3 分因为 z 是纯虚数，所以 12m0 且 2m10， 解得 m 6 分12（2）因为 是 z 的共轭复数，所以 12m(2m1)i 8 分 z z所以 2z12m(2m1)i21 2m (2 m1)i z36m(2m1)i 10 分因为复数 2z 在复平面上对应的点在第一象限， z所以 12 分 3 6m 0，2m 1 0， )解得 m ，即实数 m 的取值范围为( ， ) 14 分12 12 12 12高二数学期末调研参考答案（理科） 第 6 页 共 10 页16 （本题满分 14 分）解 如图，以 ， ， 为正交基底建立坐标系
11、DxyzDA DC DD1 设正方体的边长为 2，则 D(0，0，0)，A(2 ，0，0)，B(2，2，0) ，E(1，2，0)，F(2，1，2)，G(1，2，2)（1）因为 (2 ，1，2)(1，2，0)(1 ，1，2)， EF (1，2， 2)， 2 分DG 所以 11( 1)2223，EF DG | | ，| |3EF 1 ( 1)2 22 6 DG 4 分从而 cos ， ，EF DG 即向量 与 的夹角的余弦为 ，EF DG 从而异面直线 EF 与 DG 所成角的余弦值为 7 分（2） (2 ，2，0) ， (1，2，2) DB DG 设平面 DBG 的一个法向量为 n1(x，y ，
12、z )由题意，得 取 x2，可得 y2，z1所以 n1(2 ， 2，1) 11 分又平面 ABD 的一个法向量 n2 (0，0，2) ，DD1 所以 cosn 1， n2 n1n2|n1|n2| 232 13因此 |cos | 14 分1317 （本题满分 14 分）解（1）设圆锥 OO1 的高为 h，母线长为 l因为圆锥的体积为 ，即 x2h ，所以 h 2 分 613 6因此 l ， x2 h2 BB1（第 16 题图）AD CA1C1D1EFGyxz高二数学期末调研参考答案（理科） 第 7 页 共 10 页从而 Sxlx ，(x 0) 6 分 （2）令 f(x)x 4 ，则 f (x)4
13、x 3 ，( x0) 8 分54x2 108x3由 f (x)0，解得 x 10 分 3当 0x 时， f (x)0，即函数 f(x)在区间(0， )上单调递减； 3 3当 x 时，f (x )0，即函数 f(x)在区间( ，)上单调递增 3 3 12 分所以当 x 时， f(x)取得极小值也是最小值 3答：当圆锥底面半径为 时，圆锥的侧面积最小 14 分 318 （本题满分 16 分）解（1）设圆 C 的方程为 x2y 2DxEyF0，其圆心为 ( ， )D2 E2因为圆 C 经过点 A(1，3) ， B(4，2)，且圆心在直线 l：xy10 上，所以 4 分 解得D 4，E 2，F 0 )
14、所求圆 C 的方程为 x2y 24x2y0 7 分（2）由（1）知，圆 C 的方程为 (x2) 2( y1) 25依题意，S2S PMCPM MC PC2 5 5所以当 PC 最小时，S 最小 10 分因为圆 M：x 2y 28x 2y 160，所以 M(4，1) ，半径为 1因为 C(2，1)，所以两个圆的圆心距 MC6因为点 PM ，且圆 M 的半径为 1，所以 PCmin615 所以 Smin 10 14 分 52 5 5此时直线 MC：y1，从而 P(3，1) 16 分19 （本题满分 16 分）解（1）设椭圆 C： 1 的半焦距为 cx2a2 y2b2由题意，得 解得 从而 b1 高
15、二数学期末调研参考答案（理科） 第 8 页 共 10 页所以椭圆 C 的方程为 y 21 4 分x24（2）根据椭圆的性质，M，N 两点关于 x 轴对称，故可设 M(x0，y 0)，N (x0，y 0)( x00，y 00)，从而 k1k2 7 分y0 1x0 y0 1x0 1 y02x02因为点 M 在椭圆 C 上，所以 y 021，所以 1y 02 ，x024 x024所以 k1k2 10 分1 y02x02 14设 Q(x1，y 1)，依题意 A(0，1)因为 l1AM，所以 1，即(y 01)(y 1 y0)x 0 (x1x 0)；y0 1x0 y1 y0x1 x0因为 l2AN，所以
16、 1，即(y 01)(y 1y 0)x 0 (x1x 0)， y0 1x0 y1 y0x1 x0故 (y0 1)(y1y 0)( y 01)(y 1y 0)0，化得(y 11) y 0 0 14 分从而必有 y110，即 y11即点 Q 在一条定直线 y1 上 16 分20 （本题满分 16 分）解（1）当 a0 时，f(x )1lnx ，f (x) 1x设切点为 T(x0，1lnx 0)，则切线方程为：y1lnx 0 ( xx 0) 2 分1x0因为切线过点(0，1)，所以 11ln x0 (0x 0)，解得 x0e 1x0所以所求切线方程为 y x1 4 分1e（2） f (x) ax ，
17、x01x ax2 1x(i) 若 a0，则 f (x)0 ，所以函数 f(x)在(0，)上单调递减，从而函数 f(x)在(0，)上至多有 1 个零点，不合题意 5 分(ii)若 a0，由 f (x)0，解得 x 高二数学期末调研参考答案（理科） 第 9 页 共 10 页当 0x 时， f (x)0，函数 f(x)单调递减；当 x 时， f (x)0，f(x)单调递增，所以 f(x)minf( ) ln 1 ln 12 12要使函数 f(x)有两个零点，首先 ln 0，解得 0ae 7 分12当 0ae 时， 1e因为 f( ) 0，故 f( )f( )01e a2e2 1e又函数 f(x)在(
18、0， )上单调递减，且其图像在(0， )上不间断，所以函数 f(x)在区间(0， )内恰有 1 个零点 9 分考察函数 g(x)x 1lnx ，则 g(x)1 1x x 1x当 x(0 ，1)时，g(x)0，函数 g(x)在(0，1) 上单调递减；当 x(1 ，)时，g(x)0，函数 g(x)在(1，) 上单调递增，所以 g(x)g(1)0，故 f( ) 1ln 02a 2a 2a因为 0，故 2a 2a因为 f( )f( )0，且 f(x)在( ，)上单调递增，其图像在( ，) 上不间2a断，所以函数 f(x)在区间( ， 上恰有 1 个零点，即在( ，)上恰有 1 个零点2a综上所述，a
19、的取值范围是(0，e) 11 分由 x1，x 2 是函数 f(x)的两个零点 (不妨设 x1x 2)，得 两式相减，得 a(x12x 22)ln 0，即 a(x1x 2) (x1x 2)ln 0，12 x1x2 12 x1x2所以 a(x1x 2) 13 分f (x1)f (x 2)0 等价于 ax1 ax 2 0，即 a(x1x 2) 0，1x1 1x2 1x1 1x2即 0，即 2ln 01x1 1x2 x1x2 x2x1 x1x2设 h(x)2lnx x ，x (0 ，1)则 h(x) 1 0，1x 2x 1x2 2x 1 x2x2 (x 1)2x2所以函数 h(x)在(0，1)单调递减，所以 h(x)h(1)0高二数学期末调研参考答案（理科） 第 10 页 共 10 页因为 (0 ，1)，所以 2ln 0，x1x2 x1x2 x2x1 x1x2即 f (x1)f (x 2)0 成立 16 分
