1、8实验一 一元函数微分学实验 2 极限与连续（基础实验）实验目的 通过计算与作图, 从直观上揭示极限的本质,加深对极限概念的理解. 掌握用Mathematica 画散点图, 以及计算极限的方法. 深入理解函数连续的概念,熟悉几种间断点的图形特征,理解闭区间上连续函数的几个重要性质.基本命令1.画散点图的命令 ListPlot:ListPlotx1,y1,x2,y2,xn,yn,选项或者ListPloty1,y2,yn,选项前一形式的命令,在坐标平面上绘制点列 的散点图;后一形式的命令, )(,),(,21nyxyx默认自变量 依次取正整数 作出点列为 的散点图.ix,2,1n 命令 ListP
2、lot 的选项主要有两个:(1) PlotJoined-True, 要求用折线将散点连接起来;(2) PlotStyle-PointSize0.02, 表示散点的大小.2.产生集合或者数表的命令 Table:命令 Table 产生一个数表或者一个集合. 例如, 输入Tablej2,j,1,6则产生前 6 个正整数的平方组成的数表1,4,9,16,25,36.3.连加求和的命令 Sum:命令 Sum 大致相当于求和的数学符号. 例如, 输入Sum1/i,i,100/N执行后得到 的近似值.10321与 Sum 类似的还有连乘求积的命令 Product.4. 求函数多次自复合的命令 Nest:例如
3、, 输入NestSin,x,3则输出将正弦函数自己复合 3 次的函数SinSinSinx5.求极限的命令 Limit:其基本格式为Limitfx,x-a其中 f(x)是数列或者函数的表达式, x-a 是自变量的变化趋势. 如果自变量趋向于无穷 , 用x-Infinity.对于单侧极限, 通过命令 Limit 的选项 Direction 表示自变量的变化方向.求右极限, 时, 用 Limitfx,x-a,Direction-1;0ax求左极限, 时, 用 Limitfx,x-a,Direction-+1;求 时的极限, 用 Limitfx,x-Infinity,Direction-+1;求 时的
4、极限, 用 Limitfx,x-Infinity,Direction-1。注:右极限用减号, 表示自变量减少并趋于 a,同理,左极限用加号, 表示自变量增加并趋于 a .9实验举例作散点图例 2.1 (教材 例 2.1) 分别画出坐标为 的散点图, 并画出折)10,2(),4,(),32iii线图.分别输入命令t1=Tablei2,i,10; g1=ListPlott1,PlotStyle-PointSize0.02;g2=ListPlott1,PlotJoined-True;Showg1,g2;t2=Tablei2,4i2+i3,i,10;g1=ListPlott2,PlotStyle-Po
5、intSize0.02;g2=ListPlott2,PlotJoined-True;Showg1,g2;则分别输出所求图形.20 40 60 80 100200400600800100012001400例 2.2 画出前 25 个素数的散点图.输入命令TablePrimen,n,25;ListPlotTablePrimen,n,25,PlotStyle-PointSize0.015;则分别输出所求图形.5 10 15 20 2520406080数列极限的概念例 2.3 观察数列 的前 100 项变化趋势.n10输入命令t=NTablen(1/n),n,1,100;ListPlott,PlotS
6、tyle-PointSize0.015;则分别输出所求图形. 从图中可看出, 这个数列似乎收敛于 1. 20 40 60 80 1001.11.21.31.4下面我们以数值的方式来说明这一变化趋势. 输入以下语句, 并观察其数值结果.m=2;xn=0;Fori=1,i10(-m),xn=Nn(1/n),20;Printi, “ “,xn;设该数列收敛于 不妨取 下面考察 与 A 的接近程度. 输入以下),0(1uA,102unMathematica 语句 .u = 109(-2); A = 1 + u; m = 5; n = 3; an = Sqrt3;WhileAbsA-an = 10(-m
7、), n+; an = Nn(1/n);Print“ n=“, n, “ an=“, an, “|A-an|=“, AbsA - an;结果表明: 当 时, 与 的距离小于0.,65nana210.105例 2.4 观察 Fibonacci 数列的变化趋势 .Fibonacci 数列具有递推关系 令 .,2110nnFF1nR输入命令fn1=1;fn2=1;rn=1;Fori=3,iPointSize0.02;Infab20=Logfab20;ListPlotInfab20,PlotStyle- PointSize0.02;则输出所求散点图.115 10 15 202468为了更好地观察数列的
8、变化趋势, 我们可以利用 Mathematica 的动画功能来进一步观察数列随着 n 的增大的变化趋势.例 2.5 (教材 例 2.2) 通过动画观察当 时数列 的变化趋势 .n21na输入Cleartt;tt=1,1/22,1/32;Dott=Appendtt,N1/i2;ListPlottt,PlotRange-0,1,PlotStyle-PointSize0.02,i,4,20则输出所求图形动画. 从图中可以看出所画出的点逐渐接近于 x 轴.例 2.6 (教材 例 2.3) 研究极限 .152lim3n输入Printn, “ “, Ai, “ “,0.4-Ai;Fori=1, iPoin
9、tSize0.02则输出散点图. 观察所得散点图, 可见表示数列的点逐渐接近于直线 .40y2 4 6 8 10 12 140.4020.4040.4060.4080.41注:命令 For 的格式见项目二中实验 1 的基本命令.递归数列例 2.7 (教材 例 2.4) 设 从初值 出发, 可以将数列一项一项地.2,11nnxx21计算出来. 这样定义的数列称为递归数列. 输入f1=NSqrt2,20;fn_:=NSqrt2+fn-1,20;f9则已经定义了该数列, 并且求出它的第 9 项的近似值为1.9999905876191523430.输入fn=Tablefn,n,20得到这个数列的前 2
10、0 项的近似值(输出结果略). 再输入ListPlotfn,PlotStyle-PointSize0.02输出为图 2.2. 观察该散点图, 表示数列的点越来越接近于直线 .2y5 10 15 201.981.9851.991.99513例 2.8 设数列 与 由下式确定:nxy, , ( )2,1nnyx121nyx,1观察 与 的极限是否存在.nxy输入命令Clearf, g; fx_, y_ := Sqrtx*y; gx_, y_ := (x + y)/2; xn = 1; yn = 2;Forn = 2, n 10,100,-0.008,0.004;i+则输出 17 幅图, 点黑右边的
11、线框, 并选择从前向后的播放方式播放这些图形, 可得函数当 时变化趋势的动画, 从而可以更好地理解此时函数的变化趋势.xfsin1)(2例 2.11 考虑函数 输入.arctnxyPlotArcTanx,x,-50,50则输出该函数的图形. 观察当 时, 函数值的变化趋势. -40 -20 20 40-1.5-1-0.50.511.5分别输入LimitArcTanx,x-Infinity,Direction-+1LimitArcTanx,x-Infinity,Direction-1输出分别为 与2.考虑函数 分别输入sgnxyLimitSignx,x-0,Direction-+1LimitSi
12、gnx,x-0,Direction-1输出分别为-1 与 1.两个重要极限15例 2.12 考虑第一个重要极限 输入.sinlm0xPlotSinx/x,x,-Pi,Pi则输出函数 的图形. 观察图中当 时, 函数值的变化趋势. 输入xsinLimitSinx/x,x-0输出为 1, 结论与图形一致.-3 -2 -1 1 2 30.20.40.60.81例 2.13 (教材 例 2.7) 研究第二个重要极限 .limxx输入Limit(1+1/n)n,n-Infinity输出为 e. 再输入Plot(1+1/x)x,x,1,100则输出函数 的图形. 观察图中函数的单调性. 理解第二个重要极限
13、x1.1limexx20 40 60 80 1002.12.22.32.42.52.62.7无穷大例 2.14 (教材 例 2.8) 考虑无穷大. 分别输入Plot(1+2 x)/(1-x),x,-3,4Plotx3-x,x,-20,2016则分别输出两个给定函数的图形. 在第一个函数的图形中, 时函数的绝对值无限增大,在第1x二个函数的图形中, 时函数的绝对值在无限增大. 输入xLimit(1+2x)/(1-x),x-1Mathematica 输出的是 . 这个结果应该是右极限.-1 1 2 3 4-75-50-25255075-20 -10 10 20-200-100100例 2.15 考
14、虑单侧无穷大. 分别输入PlotE(1/x),x,-20,20,PlotRange-1,4LimitE(1/x),x-0,Direction-+1LimitE(1/x),x-0,Direction-1-20 -10 10 20-11234则输出所给函数的图形、左极限 0 和右极限值 . 再输入LimitE(1/x),x-0Mathematica 的输出仍然为 .这又是右极限（同上例）. 因此在没有指明是左右极限时, 命令Limit 给出的是右极限.例 2.16 输入17Plotx+4*Sinx,x,0,20 Pi则输出所给函数的图形. 观察函数值的变化趋势 . 当 时, 这个函数是无穷大. 但
15、是, 它并x不是单调增加. 于是, 无穷大并不要求函数单调.10 20 30 40 50 60102030405060例 2.17 (教材 例 2.9) 输入Plotx*Sinx,x,0,20 Pi则输出所给函数的图形.10 20 30 40 50 60-60-40-20204060观察图中函数的变化趋势. 这个函数无界, 但是, 当 时, 这个函数不是无穷大. 即x趋向于无穷大的函数当然无界, 而无界函数并不一定是无穷大.连续与间断例 2.18 考察函数 在 处的连续性.xfsin)(5选取几个 考察当 时, 的变化趋势, 依次取,nxni ,1ln,1)(15nn x当 时, 他们的极限均为 5.n输入命令g1 = ListPlotTableSin5 + 1/n, n, 1, 1000, 5,PlotStyle - RGBColor1, 0, 0;g2 = ListPlotTableSin5 + (-1)n/Sqrtn, n, 1, 1000, 5,PlotStyle - RGBColor0, 1, 0;g3 = ListPlotTableSin5*n*Log(1 + 1/n), n, 1, 1000, 5,PlotStyle - RGBColor0, 0, 1;g = Showg1, g2, g3;
