7.用合同变换法化 二次型为标准形定义 10. 若对方阵 A 作一次初等 行 变换，接着对所得矩阵作一次同种的初等 列 变换，就称对 A 进行一次 合同变换 .用合同变换法化二次型为标准形的实质是：利用可逆线性变换 x=Cy ， 把 f =x TAx 化为标准形，即f=x TAx=(Cy) TACy=y TCT ACy=y T y只须 CT AC= . 又因 C= P1P2 Ps ,其中 P 1， P 2， ， P s 均为初等方阵 .所以（ P1P2 Ps )TA P1P2 Ps = 即 PsT P2T P1TA P1P 2 P s = (1)而 PST P2T P1T= PST P2T P1TE=CT (2)结合 (1)和 (2) , 得出将 A化成对角形矩阵，同时求出可逆矩阵 C: (A | E) ( | CT) A合同变换E作行变换求出 CT, 作可逆线性变换 x=Cy, 则该变换将 f 化为标准形 .f = k1y12+k2y22+kryr2。 1) 用正交变换化 f 为标准形；2) 用配方法化 f 为标准形 ;3) 用合同法化 f 为标准形 .
