1、2009届高考数学复习 数列综合测试1已知等差数列 na满足：公差 .0d1421nan(n=1,2,3,)求通项公式 ； 求证: 21+ 3+ 4+ 1na .解: .12n 421an )(nn 21a+ 3+ 4a+ 12n.12)53( 2等比数列 n中，首项 1a1，公比 q0，且 2()lognf， (1)(5)6ff，()0ff()求 na；()若 ()3()nSfffn ，求 nSS 取最大值 的值解：（） ,6)5()1(ff,46)(logllog3233232 aqaq.03,4,3a又 ,1,)5(5f即.22q.15nnnna（） ).9(2)(,log)(Sf n,
2、9nS从而 ,1742912 nS g取最大值时， n=8或 93.已知函数 ()fx在(1,1)上有意义, 1()f1,且对任意的 x, y(1,1),都有)yf.(1)判断 x的奇偶性； (2)对数列 12, 12nnx (*nN),求 ()nfx；(3)求证: 1213()()nfff .解:(1)令 0y,则 20,从而 0,又令 yx, (1,1),则()()ff. 即 )fxf,故 f为奇函数.(2) 1fx. ()nfx是以1 为首项，以 2为公比的等比数列，故 1()2nfx =（3）4函数 )1,(12yNnxy的最小值为 ,nnba最 大 值 为 且 14(),2ncab数
3、列 nC的前 项和为 S（）求数列 nc的通项公式；（）若数列 d是等差数列，且 nSdc，求非零常数 c；（）若 1()()36)nf N，求数列 ()f的最大项解：（）由2 2,*,10xyyxyn即 R， ， 24()0,4()410ny即由题意知： 2,1nabyy即 的两根， 3,(*)nabCN（） cndSnn2,， 123615,ddccd为等差数列， 213， 0， 0()即经检验 12c时， nd是等差数列， nd（） 1()3636)(2497236f“1().49nf当 且 仅 当 即 时 取的 最 大 值 为5.已知双曲线 2211nnnayxa的一个焦点为 0,(2
4、)nc , 且 16c, 一条渐近线方程为 2yx, 其中 na是以 4为首项的正数数列.（I）求数列 nc的通项公式;（II） 求证:不等式 1223ncc 对一切自然数(nN*）恒成立.解：（I）双曲线方程即为21nyxa,所以 1nna-=+.又由渐近线方程得 1n-=,于是 12n-.数列 n是首项为 4,公比为 2的等比数列,从而 12na, 23c+（ n2）. 又 16c,也符合上式,所以3nc=（ nN *）.（II）令 nS21233nncc ,则 12nS=23112n, nS=2 1133322nnnn , nS123nn.即 不等式 12 3nncc 对一切自然数(N*
5、）恒成立.6已知曲线 )0(log)(2xxf 上有一点列 )(,*NyxPn，点 nP在 x轴上的射影是 0,nQ，且 1*Nnn， 1.（1）求数列 的通项公式；（2）设四边形 1nnP的面积是 nS，求证： 4121nS解：（1）由 )(2*1x得 )(x ， 0x ， 故 n是公比为 2的等比数列 1nn *Nx.5分（2） nnnfy21)(log)(2 ， nQ|11, 而 nQP| ， 8 分四边形 nP的面积为： 4132)1(2|)|(|211 S nnnnn )1(4)31(2)13(2)13()(41 nnnnnS ,故 12 4nS .12分7已知数列 a的前 项和为
6、n，又有数列 nb满足关系 1a，对 N，有 n， 1nba(1)求证： 是等比数列，并写出它的通项公式；(2)是否存在常数 c，使得数列 1nSc为等比数列？若存在，求出 c的值；若不存在，说明理由。解：（1）由 112naSa，又 112nnaSa112()nnnb， 数列 nb为等比数列，且 ()nb （2） 11 1, 2nnnaaaa ()()22nnSS依题意，存在 c，使得数列1c为等比数列。8已知各项均为正数的数列a n的前 n项和为 nS，且 1,2na成等差数列. （1）求数列 na的通项公式；（ 2）若 ba，设 nC求数列 n的前项和 nT.解：（1）由题意知 0,12
7、nS;当 n=1时， 211aa当 211naan时 ， 两式相减得 1nn（ ）整理得： 1n（ ） 数列a n是 为首项，2 为公比的等比数列.212nna（5 分）（2） 42bnn nnanbC28164nnT286.80132132 2864.081nnnT 得 32).1(n nnnnn 24816)2(42816(842 nT289已知数列 a满足 231 41naaA。（1）求 n的通项；（2）设 21nb，求 b的前项和。解：（1） 31 nn， 4112 naa ， 1442nn当 时， nn3，又 n=1时 2a1 =41-1得 a1=3/2,na3（2） nnab423
8、22 故 nb是以 31为首项， 4为公比的等比数列，nnnS41941310已知数列 na的前 项和为 nS，满足关系式 1(2)2(,0nttt1,2)(1)当 1为何值时，数列 a是等比数列；(2)在(1)的条件下，设数列 n的公比为 ()ft，作数列 nb使 11， nb 1()nf( ,34n)，求 nb；(3)在(2)条件下，如果对一切 N ，不等式 n 1 2nc恒成立，求实数 c的取值范围10解:(1)(2t)S n1 tS n2t4 n2 时，(2t)S ntS n1 2t4 两式相减：(2t)(S n1 S n)t(S nS n1 )0，(2t)a n1 ta n0， 即
9、n2 时， 为常数 当 n1 时，(2t)an 1an t2 t an 1an t2 tS2tS 12t4，(2t)(a 2a 1)ta 12t4，解得 a2 2t 4 2a12 t要使a n是等比数列，必须 ，解得 a12a2a1 t2 t 2t 4 2a1(2 t)a1 t2 t(2)由(1)得，f(t) ，因此有 bn ，即 1，整理得 12(t2 t bn 12 bn 1 1bn 2bn 1 1bn1)则数列 1是首项为 12，公比为 2的等比数列，1bn 1 1bn 1b1122 n1 2 n，1bnbn 12n 1(3)把 bn ，b n1 代入得： ，即 c 12n 1 12n
10、1 1 12n 1 12n 1 1 c2n 1 2n 12n 1，要使原不等式恒成立，c 必须比上式右边的最大值大2n 12n 1 1 ，单调递2n 12n 1 2n 12n 1 1 (2n 1) 22n 1 12(2n 1 1) 322n 1 1 32 22n 1 32(2n 1 1)减 的值随 n的增大而减小，则当 n1 时， 取得最大值2n 12n 1 2n 12n 1 1 2n 12n 1 2n 12n 1 14，因此，实数 c的取值范围是 c411.已知函数 )0,()( abaxf为 常 数 且 满足 )(f且 xf)(有唯一解。（1） 求 的表达式；（2）记 11nNfn且 ，且
11、 1x f， 求数列 n的通项公式。（）记 yx，数列 y的前项和为 nS，求证 34解：(1)由 fab 即 20ab 有唯一解 1b又 21fax 12a1xx(2)由 112nnnf 12n 又 123xf 1x数列 nx是以首项为 3，公差为 的等差数列 2nnx 2n (3)由 )32(421 ny 123.nnSyy= 1321 nxx4.45 443 12.设数列 na的前 项和为 nS， 1a，且对任意正整数 ,点 nSa,1在直线02yx上. () 求数列 的通项公式；（）是否存在实数 ，使得数列 nn2为等差数列？若存在，求出 的值；若不存在，则说明理由.（）求证： 1)(
12、126nkka.解：() 由题意可得：.021nSa n时, 1 分得 211 nannn ， 22,1aa na是首项为 ，公比为 2的等比数列， .n 4 分（）解法一: .11nnnS若 nS2为等差数列，则 33221 , S成等差数列, 6 分,854723149285491 S得 . 又 时， nn，显然 n成等差数列，故存在实数 2，使得数列 S2成等差数列. 9 分解法二: .121nnnS.21221nnnnnS 欲使 nnS2成等差数列,只须 0即 便可. 故存在实数 ，使得数列 成等差数列. 9 分（） )1(kka(21)(2(1kkk )12k nknkkt111)(
13、21k2( )22(t )1k1k1k又函数 xyx在 ),上为增函数 21k， 2123k， 21)(61nkka13.已知二次函数 )(xfy的图像经过坐标原点，其导函数为 .)(f数列 n的前n 项和为 nS，点 ),*Nn均在函数 )(xfy的图像上 .（I）求数列 a的通项公式；（II）设 13nb， nbT是 数 列 的前 n 项和，求使得 20mTn对所有 *N都成立的最小正整数 m.解：（I）设这二次函数 baxfaxxf )(,0()(2则 ，由于 2)(bxf，得 a3,2,3所 以 又因为点 *yNSn均 在 函 数 的图像上，所以 .nSn当 )1(2)()(, 21
14、时 .56（II）由（I）得知 6531nabn ).1(n 故 )1()37()(21Tn ).62 因此，要使mN成 立 的06*，必须且仅须满足 ,0m即 m， 所以满足要求的最小正整数 m 为 10。 14.已知正项数列 na的前 项和为 nS， 321a，且满足 2113nnaS )(*N。（1 ）求数列 通项公式 ；（2 ）求证：当 2时， 4922432 n 。解：（1） n时， 11nnaS时， 2S 1 分2时，得： 1n)(21n 0na 0na， 3a3 分令 ， 223)3( 42时，n4又 1 )(*Nnn6 分（2）当 时，左边 1432(4922)13149n )
15、143(9n49)(n当 时， 91223naa15.在数列 a中， 31，并且对于任意 N，且 ，都有 nnaa1成立，令 Nbn()求数列 nb的通项公式；（）求数列 a的前 项和 nT，若对于任意的正整数 n都有 T m成立，试求常数m的最大值解：（I） ,31,abn时当 11,21nnnaab时当 ，数列 是首项为 3，公差为 1 的等差数列，数列 的通项公式为 2b（II） ()(2)nan， 311naT1111()()()()234352nn 2n 又 031T ，故 T的最小值为 1，从而所求 m最大值为 16.已知函数 xf的定义域是(-1, 1)， 12f，且当 1,yx
16、时，恒有yyf1，又数列 na满足 1， 21nna，设 )(nnafb（1 ）求证 x是奇函数；（2 ）求证数列 nf是等比数列，并求其通项公式；（3 ）求证： 21b+ 17n.解：（1）令 0y，则 0)(f.再令 x，得 )()0(yff， 所以()(),1,fyf 故 在（1，1 ）上为奇函数 4分（2 ） 21fa， 又由（1 ）知 1)xfyf，)(2()()()( nnnnnn aafaff 故 是以1 为首项，2 为公比的等比数列，故 1f（3）由（2 ）知， 1)(nf )(1nnnb当 4n时， 13n， 1123 21b+ 43211(bn )2n )218(36)(843nn = ,737n故得证 17.已知数列 a中， 1，前 n项和 nS满足 1 1nnnSS (2,)N，则 ; a8218.在数列 n中， 12,8，且已知函数
