1、高中数学习题库（50 道题另附答案）1. 求下列函数的值域： 解法 2 令 tsin x，则 f(t) t2 t1， |sinx|1, |t|1.问题转化为求关于 t 的二次函数 f(t)在闭区间1,1上的最值 本例题(2)解法 2 通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处
2、，当此慧星离地球相距 万千米和 万千米时，经过m34地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为 ，求该慧星与2和地球的最近距离。解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点 处，椭圆)0,(cF的方程为 （图见教材 P132 页例 1） 。12byax当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为 时，由椭圆的几何3意义可知，彗星 A 只能满足 。作)(3/xFAx或mFBOxAB21， 则于故由椭圆第二定义可知得 )32(342mca两式相减得 ,23)4(1.2,31 ccmac 代 入 第 一 式 得.2c答：彗星与地球的最近距离为 万千米。3说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭
3、圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是 ，另一个是ca.ca（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质。3. A，B，C 是我方三个炮兵阵地，A 在 B 正东 6 ，C 在 B 正北偏Km西 ，相距 4 ，P 为敌炮阵地，某时刻 A 处发现敌炮阵地的30Km某种信号，由于 B，C 两地比 A 距 P 地远，因此 4 后，B，C 才同s时发现这一信号，此信号的传播速度为 1 ，
4、A 若炮击 P 地，Km/求炮击的方位角。 （图见优化设计教师用书 P249 例 2）解：如图，以直线 BA 为 轴，线段 BA 的中垂线为 轴建立坐标系，xy则 ，因为 ，所以点 P 在线段 BC 的垂)32,5()0,3,(CABPCB直平分线上。因为 ，BC 中点 ，所以直线 PD 的方程为BCk),4(D（1）)4(3xy又 故 P 在以 A，B 为焦点的双曲线右支上。设 ，则,AP ),(yxP双曲线方程为 （2） 。联立（1） （2） ，得)0(1542xyx，35,8yx所以 因此 ，故炮击的方位角北偏东 。).,(P38PAk 30说明：本题的关键是确定 P 点的位置，另外还要
5、求学生掌握方位角的基本概念。4. 河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶 5 米时，水面宽度为 8 米，一小船宽 4 米，高 2 米，载货后船露出水面的部分高 0.75 米，问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行？解：建立平面直角坐标系,设拱桥型抛物线方程为 。)0(2pyx将 B（4,-5）代入得 P=1.6船两侧与抛物线接触时不能通过yx2.3则 A(2,yA)，由 22=-3.2 yA得 yA = - 1.25因为船露出水面的部分高 0.75 米所以 h=y A+0.75=2 米答：水面上涨到与抛物线拱顶距 2 米时，小船开始不能通行思维点拔 注意点与曲线的关系的正确应用和用建立抛
6、物线方程解决实际问题的技巧。 5. 如图所示，直线 和 相交于点 M， ，点 ，以 A、B 为1l221l1lN端点的曲线段 C 上任一点到 的距离与到点 N 的距离相等。若2l为锐角三角形， ，建立适当的坐AMN 6,3,7且A标系，求曲线段 C 的方程。解：以直线 为 x 轴，线段 MN 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标1l系，由条件可知，曲线段 C 是以点 N 为焦点，以 为准线的抛物线2l的一段，其中 A、B 分别为曲线段 C 的端点。设曲线段 C 的方程为 ，其中)0,)(02yxpxyBA为 A、B 的横坐标， ，所以 ，由x, MN,2(pN，得 （1）3,17NM7)2(A
7、Axx（2） ， （1） （2）联立解得 ，代入9)2(AApxx pxA4（1）式，并由 0解得 ，因为 为锐角三角形，所以 ，故舍去24AAxp或 MNAx2，所以2Ax14A由点 B 在曲线段 C 上，得 ，综上，曲线段 C 的方程为42PBNx)0,41(82yxy思维点拔本题体现了坐标法的基本思路，考查了定义法，待定系数法求曲线方程的步骤，综合考查了学生分析问题、解决问题的能力。6. 设抛物线 的焦点为 A,以 B(a+4,0)点为圆心，)0(42axyAB为半径，在 x 轴上方画半圆，设抛物线与半圆相交与不同的两点 M，N。点 P 是 MN 的中点。（1）求AM+AN的值（2）是否
8、存在实数 a，恰使AMAPAN成等差数列？若存在，求出 a，不存在，说明理由。解：(1)设 M,N,P 在抛物线准线上的射影分别为 M,N,P.AM+AN=MM+NN=x M+xN+2a 又圆方程16)4(2yax将 代入得y2 08)4(2axx得AM+AN=8axNM(2)假设存在 a因为AM+AN=MM+NN=2PP所以AP=PP ，P 点在抛物线上，这与 P 点是 MN 的中点矛盾。故 a 不存在。7. 抛物线 上有两动点 A，B 及一个定点 M，F 为焦点，02pxy若 成等差数列BFMA,（1） 求证线段 AB 的垂直平分线过定点 Q（2） 若 （O 为坐标原点） ，求抛物线的方程
9、。6,4Q（3） 对于（2）中的抛物线，求AQB 面积的最大值。解：（1）设 ，则 ， ，021, yxMByxA21pxAF2pxBF，由题意得 ， 的中点坐标可设为 ，20pMF10Bt,0其中（否则 ） ，021yt 0pFMA而 ，故 AB 的垂直平分线为2121ypxkABty21，即 ，可知其过定点0pty00pxt 0,pxQ（2）由 ，得 ，联立解得6,4OQMF6,4200x 2,40。xy8（3）直线 AB： ，代入 得 ，xtyxy821622ty，2212121 464tyyy 21216ytx,642tt 2121xAB22tt，又点 到 AB 的距离 ，451t0,
10、6Q216tddSAQB224125tt 645409t令 ，则 ，令 即64096tu365tu 0u，得 或 或 ， 时5153t0t2t12t323t。9AQBS思维点拔设而不求法和韦达定律法是解决圆锥曲线中的两大基本方法，必须熟练掌握，对定点问题和最值的处理也可由此细细的品味。8、已知直线 交椭圆 于 A、B 两点，若 为)2tan(:xyl 92yx的倾斜角，且 的长不小于短轴的长，求 的取值范围。lAB解：将 的方程与椭圆方程联立，消去 ，得l y09tan72tan236)tan91(2 xx 2212 tan916)t1(tt AB由 ，3tan3,tan,2 得的取值范围是
11、,65,0思维点拔对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用民。本题由于 的方程由 给出，所以可以认定 ，否则涉及弦长计算时，ltan2还要讨论 时的情况。29、已知抛物线 与直线 相交于 A、B 两点xy2 )1(xky（1） 求证： OBA（2） 当 的面积等于 时，求 的值。0k（1） 证明：图见教材 P127 页，由方程组 消去 后，整理)1(2xyx得 。设 ，由韦达定理得 02ky),(),(21xByA12y在抛物线 上，BA,2 211,xxyOBAyxyxkO ,212121（2） 解：设直线与 轴交于 N，又显然 令,0k），（ ， 即则 0,0xy 21212yONyOSSB
12、NOAB 4)(4)(121kyy61,20, kSOAB 解 得思维点拔本题考查了两直线垂直的充要条件，三角形的面积公式，函数与方程的思想，以及分析问题、解决问题的能力。10、在抛物线 y2=4x 上恒有两点关于直线 y=kx+3 对称，求 k 的取值范围。解设 B、C 关于直线 y=kx+3 对称，直线 BC 方程为 x=-ky+m 代入y2=4x 得：y2+4ky-4m=0， 设 B（x 1，y 1） 、C（x 2，y 2） ，BC 中点M（x 0，y 0） ，则y0=（y 1+y2）/2=-2k。x 0=2k2+m，点 M（x 0，y 0）在直线上。-2k（2k 2+m）+3，m=- 又k323BC 与抛物线交于不同两点，=16k 2+16m0 把 m 代入化简得即 ，0323k0)3)(12k解得-10l即 m2-k2-90，b0）的值是最大值为 12，则 的最小值为（ 23ab）
