1、初中数学学习内容(几何部分) (讨论稿)(2005 年 7 月 13 日于徐州市教育学院)一、基本概念1.余角、补角、对顶角、垂线、平行线、两点间的距离、点到直线的距离、两条平行线间的距离，角平分线，线段的垂直平分线。2. 三角形的边、顶点、内角、外角，三角形的角平分线、中线、高、中位线，三角形的分类，等腰三角形，等边三角形，直角三角形，锐角三角形，钝角三角形，全等三角形，全等三角形的对应边、对应角、对应高、对应中线、对应角平分线，三角形的稳定性。3. 多边形，正多边形，多边形的顶点、边、对角线、内角、外角，平行四边形，矩形，菱形，正方形，梯形、等腰梯形、直角梯形，四边形的不稳定性。 （实验教
2、材要求了解线段、矩形、平行四边形、三角形的重心）4. 比例，线段成比例，相似三角形，相似三角形的对应边、对应角、对应高（中线、角平分线） 。5. 直角三角形中， 为锐角，sin、cos、tan、cot 的定义，30、45、60的三角函数值，已知一个锐角的三角函数值求角, 已知一个锐角求三角函数值.6. 圆、圆的半径、圆心，弧、弦，劣弧、优弧；三角形的内心、外心，三角形的外接圆，圆的内接三角形，三角形的内切圆，圆的外切三角形；切线、切点、割线，点在圆内、点在圆上、点在圆外；直线与圆相切、相交、相离；两圆外离、内含、内切、外切、相交、相离，同心圆；扇形，圆柱,圆柱的母线，圆柱的高，圆柱的侧面积，圆
3、柱的全面积；圆锥的母线，圆锥的高，圆锥的侧面积，圆锥的全面积。正多边形(正三、四、五、六、八边形)二、公理和基本定理课标掌握以下基本事实，作为证明的依据。平行线与同位角，SSA（ASA，SSS） ，全等三角形的对应边（角）分别相等。1.两点确定一条直线；两点之间线段最短；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；同（等）角的余角相等；同（等）角的补角相等；对顶角相等；两直线平行，同位角（内错角）相等，同旁内角互补，反之也成立；角平分线上的点到角的两边距离相等，线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，到一条线
4、段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。会计算角度的和、差，会进行度、分、秒的简单换算。2. 三角形的任意两边之和大于第三边；三角形的任意两边之差小于第三边；三角形的内角之和等于 180；三角形的外角和等于 360；三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半；三角形全等的判定（SAS、ASA、AAS、SSS）和性质（对应边相等、对应角相等） ；直角三角形全等的判定（一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等） ；在一个三角形中，等边对等角，等角对等边；等腰三角形的底边上的高、中线、顶角的平分线三线合一；等边三角形的三个角相等且都等于 60；有一个角是 60的等腰三角形是等边三
5、角形；有两个角互余的三角形是直角三角形；直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，勾股定理的逆定理。3. 多边形的内角和等于（边数2）180，多边形的外角和等于 360，平行四边形的性质（两组对边平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分） ；平行四边形的判定（两组对边平行的四边形，一组对边平行且相等的四边形，两组对边分别相等的四边形，两条对角线互相平分的四边形，两组对角分别相等的四边形） ；矩形的性质（四个角都是直角，两条对角线相等）,矩形的判定(三个角都是直角的四边形,有一个角是直角的平行四边形,对角线相等的平行四边形)；菱形的性质（四边相等，对角线互相垂直并
6、且每一条对角线平分一组对角） ，菱形的判定（四边相等的四边形，一组邻边相等的平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形） ；正方形的性质（四边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角） ，正方形的判定（有一个角是直角的菱形，有一组邻边相等的矩形,大纲有一个角是直角,有一组邻边相等的平行四边形） ；梯形的中位线平行于底且等于两底和的一半；等腰梯形的性质（两腰相等,同一条底边上的两个内角相等，两条对角线相等） ，等腰梯形的判定（两腰相等的梯形，同一底边上的两个内角相等的梯形） 。4. 比例的基本性质（大纲有等比定理） 。相似三角形的性质（对应边成比例，对应角相等，面积之
7、比等于相似比的平方（大纲不要求面积之比等于相似比的平方，实验教材要求相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于相似比的平方；大纲要求对应高、中线、角平分线、周长的比等于相似比） ；相似三角形的判定（有两个角对应相等的两个三角形相似，两边成比例且这两边所夹的角相等的两个三角形相似，三边对应成比例的两个三角形相似） 。5. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆；在同（等）圆中，圆心角相等、它所对的弧相等、弦相等这三个条件中只要有一条成立，其它两条也成立；在同一个圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等、所对的弦相等；半圆或直径所对的圆周角是直角
8、；90的圆周角所对的弦是圆的直径；（大纲要求：垂径定理及其推论？，圆内接四边形的性质） ；会根据圆心到直线的距离判断直线与圆的位量关系；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角（大纲要求弦切角定理、相交弦定理、切割线定理） ；会根据两圆的圆心距判断圆与圆的位量关系（大纲要求相交、相切两圆的连心线的性质） ；弧长公式，扇形面积公式；圆锥（圆柱）的侧面积、全面积，圆柱的侧面积、全面积；（大纲要求理解正多边形的外接圆，正多边形的内切圆，正多边形的半径、弦心距） 。三、图形与变换1. 图形的轴对称。理解对应点
9、所连的线段被对称轴垂直平分，能按要求作出简单图形经过一次或两次轴对称后的图形，探索简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴，探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及其性质，能利用轴对称进行图案设计。 2.图形的中心对称。理解对应点所连的线段的中点是对称中心，能按要求作出简单图形经过一次或两次中心对称后的图形，探索简单图形之间的中心对称关系，并能指出对称中心，探索基本图形（平行四边形、矩形、菱形、正多边形、圆）的中心对称性及其性质，能利用中心对称进行图案设计。 3. 实验教材要求：图形的平移。理解对应点连线平行且相等，能按要求作出图形平移后的图形，能利用平移进行
10、图案设计。图形的旋转。理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等，能按要求作出图形旋转后的图形。探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合） 。灵活运用轴对称、平移、旋转的组合进行图案设计。图形的位似。能利用图形的位似将一个图形放大或缩小。4. 图形与坐标。在同一坐标系中，会将图形变换后的点转化点的坐标的变化（大纲要求轴对称、中心对称、平移，实验教材还要会旋转） 。能建立适当的直角坐标系，表示图形或物体的位置，灵活运用不同的方式确定物体的位置。5. 知道任意一个三角形、四边形、正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计。哪几种？四、基本作图1
11、.会用尺规定完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线。 （会用三角板或量角器画垂线，会用三角板和直尺画平行线） 2.利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形。利用基本作图完成:过不在同一直线上的三点作圆.3大纲要求会画直线和圆弧、圆弧和圆弧连接的图形。4. 大纲要求: 五种点的轨迹, 到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆;和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是这条线段的垂直平分线; 到已知角的两边距离相
12、等的点的轨迹,是这个角的平分线; 五、视图与投影1.能找出长方体（正方体）与其表面展开图之间的关系。2.实验教材要求：会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物的原型。了解直棱柱的侧面展开图。了解基本几何体与其三视图、展开图（球除外）之间的关系。六、证明与计算1理解证明的必要性，了解命题、定义、定理的含义，会区分命题的条件、结论。会识别两个互逆命题，会写出一个最简单的命题（由一个条件与一个结论构成的命题）的逆命题。2. 利用反例可以证明一个命题是错误的。3. 体会反证法的含义。掌握综合法证明的格式（基本要求三步，较高要求五、六步？） ，体会证明的过程要步
13、步有据。感受几何的演绎体系。4几何计算题要有主要的推理和推算的过程。七、探索1注意通过观察、操作、推理、想象的过程，研究图形的性质和变化规律。2领会学习平面几何的基本思想，研究图形的基本思路，能探索图形的特性及判定，探索性地解决有关图形问题。能熟练掌握平面几何课本上的基本图形，开放性地研究一些图形的特性，会将复杂图形转化为简单图形。会将简单图形通过平移、轴对称、中心对称等变换得到新的图形。会将平面几何知识与其它学科或生活、生产中的简单实际问题相结合。浅谈农村初中数学研究性学习作者:葛友兴 刘清国数学是中小学的一门基础性学科，是中小学教育改革的龙头学科，数学学科“研究性学习”是一个探索中的新课题
14、。研究性学习是一种全新的学习方式，它着力于学生的学，强调学生的探究和创新，使学生创新精神和实践能力的培养有了切实的落脚点，研究性学习虽然着眼点是要改变学生的学习方式，但着手点却是转变教师教的观点和行为方式。研究性学习是学生在教师指导下，从自然、社会和生活中选择和确定专题进行研究，以类似科学研究的方式主动地获取知识、应用知识、解决问题，并在研究过程中通过多种渠道主动地获取知识、应用知识、解决问题的学习活动。一、对数学研究性学习的认识数学研究性是学生数学学习的一个有机组成部分，是在基础性、拓展性课程学习的基础上，进一步鼓励学生运用所学知识解决数学的和现实的问题的一种有意义的主动学习，是以学生动手动
15、脑主动探索实践和相互交流为主要学习方式的学习研究活动。设置研究性学习的目的在于改变学生以单纯地接受教师传授知识为主的学习方式，为学生构建开放的学习环境，提供多渠道获得知识，并将学到的知识加以综合应用于实践的机会，培养创新精神和实践能力。数学研究性学习的特点主要体现在它的开放性，研究性和实践性。它的功能在于营造一个使学生勇于探索争论和相互学习鼓励的良好氛围，给学生提供自主探索，合作学习，独立获取知识的机会，数学研究性学习更加关注学习过程。教师不仅仅要提供数学研究性学习的材料，而且教师应鼓励学生通过思考、调查、查阅资料等方式概括出问题，甚至可以通过日常生活情景提出数学问题，进行提炼成研究性学习的材
16、料。在研究性学习的过程中，学生是学习的主人，是问题的研究者和解决者，是主角，而教师则在适当的时候对学生给予帮助，起着组织和引导的作用。数学研究性学习的评价不仅仅关心学习的结果，而且更重要的是关注学生参与学习的程度，思维的深度与广度，学生获得了哪些发展，并且特别注意学生有哪些创造性的见解，同时对学生的情感变化也应予以注意，为了使评价能够真实可靠，起到促进学生发展的目的，因此要充分尊重学生自己对自己的评价以及学生之间的相互评价，既要有定量的评价也要有定性的评价。二、开展数学研究性学习的途径1在课堂教学中渗透研究性学习 求知欲是人们思考研究问题的内在动力，学生的求知欲越高，他的主动探索精神越强，就能
17、主动积极进行思维，去寻找问题的答案。教师在教学中可采用引趣、质疑、悬念、观察、实验、讨论等多种途径，活跃课堂气氛，调动学生的学习热情和求知欲望，以帮助学生走出思维低谷。实践证明在遵循教学规律的基础上，采用生动活泼，富有启发、探索、创新的教学方法，充分激发学生的求知欲，培养学生的学习兴趣，是提高课堂教学效果和培养学生研究能力的重要途径。2数学开放题与数学研究性学习数学开放题，体现数学研究的思想方法，解答过程是探究的过程，数学开放题，体现数学问题的形成过程，体现解答对象的实际状态，数学开放题有利于为学生个别探索和准确认识自己提供时空，便于因材施教，可以用来培养学生思维的灵活性和发散性，使学生体会学
18、习数学的成功感，使学生体验到数学的美感。因此数学开放题用于学生研究性学习应是十分有意义的。如初中几何第二册学习指导12 页上的“在ABC 和 DBC 中，给出下列三个论断： AC=DC ；AB=DB；ABC=DBC。请你将其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个真命题”就是一个开放性习题。学生可以任意组合进行猜想，然后根据所学知识及猜想进行证明，从而达到培养学生思维的灵活性和创造性的目的。有了开放的意识，加上方法指导，开放才会成为可能。开放问题的构建主要从两个方面进行，其一是问题本身的开放而获得新问题，如：2000 江苏省徐州市中考题“今有一块正方形土地，要在其上修建两条笔直的道路，使
19、道路将这两块土地分成形状相同且面积相等的四部分。若道路的宽度可忽略不计，请设计三种不同的修建方案”就是要求学生在给定的条件下，解法开放很好的例子。3.社会实践与数学研究性学习研究性学习强调理论与社会、科学和生活实际的联系，特别关注环境问题、现代科技对当代生活的影响以及社会发展密切相关的重大问题。要引导学生关注现实生活，亲身参与社会实践性活动。同时研究性学习的设计与实施应为学生参与社会实践活动提供条件和可能。通过学生实践，培养了他们数学研究的方法论和严谨性，加强了学生对基础知识的掌握，以及动手操作和画图能力，具有较强的开放性。以下的问题均可作为数学研究性问题来进行讨论：农村地区正在推行退耕还林，
20、调查所在乡镇，减少耕地的数量，增加经济作物数量，对比前后给农民带来的收益是增还是减？对当地或国家近年来人口增长的情况调查，预测今后人口数量，给政府提出几点建议。商品营销策略问题:调查某种商品的销量与它的利润的关系,并决策如何可使其获利最大?对小菜贩买菜情况调查，（进价、售价，卖不出去而赔钱多少），统计一个月的销售情况，问怎样决策收益最大？学生公寓水的节约问题。生活中处处充满着数学问题，处处留心皆数学。我们早晨起床刷牙用的牙膏，细心的人会发现，牙膏的包装有大有小。其价格也不相同，你想过大小包装与其价格之间的关系吗？除了牙膏以外，还有商品都有大小包装之分，如饼干、瓜子、食油等等。你在上课时，想过坐
21、在教室什么位置才能最清楚的看到黑板的问题吗？你在坐公共汽车遇到堵车时，想到尽快消除堵车的方案与数学知识有关吗？你乘船逆流而上发现东西掉进水中顺流而下时，想过假设将船掉头去追，什么时间能追上的问题吗？你在开灯关灯时，想过灯的位置与照明度的问题吗？你在开、关窗户时，想过窗户的面积与采光量的问题吗？对于上述问题，有些你也许想过，有些你也许从未想过。这些问题都与数学有关！数学与生活是如此的息息相关，让我们发现并研究这些数学问题吧！相信你会其乐无穷。三、数学研究性学习与数学教学1数学研究性学习在初中的定位数学研究性学习是面向全体初中学生的必修课，而不是只为少数优秀学生开设的课程，它以激发学生主动探索的积
22、极性，培养学生的创新精神为追求目标，鼓励学生介入数学学科前沿的研究，要求学生的研究结果有科学性，但并不强求每个学生的最后研究成果都必须独一无二。强调这样一种课程定位，有助于防治数学研究性学习变为新的数学学科竞赛。2研究性学习与数学教学的关系从初步开展数学研究性学习的实践情况看，凡是认真参加数学研究性学习的学生，基本上都没有影响数学学科内容的学习。如现行初中二年级数学代数第二册教材 P96 页“探究性活动：a=bc 型数量关系”一节的教学，按过去的教学方法，常常是由教师直接给出公式进行运用，学生只知结果，不知来历，遇到其它同类问题就束手无策，无法解决实际问题。通过现行教材的教学，学生能积极运用观
23、察、列表、计算、讨论、猜想、验证等各种方法探索 a=bc 型数学规律，得出一个量为定值时，另两个量的关系(正比或反比)，为初三的函数教学打下坚实的基础，同时学生会主动运用这些探究的学习方法解决一些实际问题。例如：“一大捆厚薄均匀的白纸，已知张数，确定总厚度，让学生设计较为简捷的方案”，按照以前的教学方法，就连初三的学生也束手无策，而现在初二学生却能很快运用以上探究问题的方法，提出多种解决方案，建立相应的数学模型，从而选择较为简捷的方案解决实际问题。总之，实施以培养创新精神和实践能力为重点的素质教育，关键是改变教师的教学方式和学生的学习方式。设置研究性学习的目的在于改变学生以单纯地接受教师传授知识为主的学习方式，为学生构建开放的学习环境，提供多渠道获取知识、并将学到的知识加以综合应用于实践的机会，培养创新精神和实践能力。因此，将研究性学习作为一项特别设立的教学活动，这将会逐步推进研究性学习的开展，并从制度上保障这一活动的深化，满足学生在开放性的现实情境中主动探索研究、获得亲身体验、培养解决实际问题能力的需要。
