1、 1 / 12ABCabc弦 股 勾勾股定理（知识点）【知识要点】 1. 勾股定理的概念： 如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2b 2c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。常用关系式由三角形面积公式可得：ABCD=ACBC2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 有下面关系：a 2b 2c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中 为斜c边。3. 勾股数：满足 a2b 2c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若 a，b，c、为勾股数，那么 ka，kb，kc 同样也是勾股数组。 ）记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 ； ； ； ；8,15,
2、17 等3,456,8105,237,45用含字母的代数式表示 组勾股数：n（ 为正整数） ；221,n,（ 为正整数）,1nn（ ， 为正整数）22,m,m4.判断直角三角形：（1）有一个角为 90的三角形是直角三角形。（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。 （3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。（4）如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为 c） ；（2）若 c2a 2b 2，则ABC 是以C
3、 为直角的三角形；若 a2b 2c 2，则此三角形为钝角三角形（其中 c 为最大边） ；若 a2b 2c 2，则此三角形为锐角三角形（其中 c 为最大边）2 / 12AC BDab abccA BCDE5.直角三角形的性质 （1）直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：C=90 A+B=90（2）在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。A=30可表示如下： BC = AB21C=90（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。ACB=90 可表示如下： CD = AB = BD = AD21D 为 AB 的中点 6.数轴上表示无理数第一步：分析所有表示二次根式中被开方数可以写成哪两个有
4、理数的和第二步：在数轴上画出其中一个有理数，以该有理数为垂足做垂线，在垂线上标出第二个有理数的长度。连接端点和原点，以原点为圆心，端点为半径画圆，于数轴交点即为所有无理数。3 / 12勾股定理专项练习一、基本应用考点 1：勾股定理1.下列是勾股数的一组是（ D ）A.4,5,6 B.5,7,12 C.12,13,15 D.21,28,352.ABC 中，A：B：C=2 ： 1： 1，a，b，c 分别是A、B、C 的对边，则下列各等式中成立的是（ ）A.a2+b2=c2 B.a2=2b2 C.c2=2a2 D.b2=2a23.矩形 ABCD,AB=5 cm,AC=13 cm,则这个矩形的面积为
5、60 cm 2. 4.如图，在ABC 中，BAC=90，AB=15，AC=20，ADBC，垂足为 D，则ABC 斜边上的高 AD= 12 5.已知等腰三角形底边长为 10cm，腰长为 13cm，则腰上的高为( C )A.12cm B. C. D.6013cm1203cm103cm6.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 6，8，10 7.（易错题）已知直角三角形的两边 x，y 的长满足x4+ =0，则第三边的长为 5 或 .y78.若直角三角形的三边长分别为 2，4，x，则 x 的可能值有（ ）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个9.已知直角三角形两边长分别为 3、
6、4，则第三边长为 10.已知直角三角形的两直角边之比为 3：4，斜边为 10，则直角三角形的两直角边的长分别为 11.如图，分别以 Rt ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用 S1、S 2、S 3表示，容易得出S1、S 2、S 3之间有的关系式 S 1+S2=S3 12.（易错题）如图，已知在 RtABC 中ACB=90，AB=4，分别以 AC，BC 为直径作半圆，面积分别记为 S1，S 2，则 S1+S2的值等于 2 13.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为 7cm，则正方形 A，B，C，D 的面积之和为 49 cm 2。4 / 12第
7、 4 题 第 11 题 第 12 题 第 13 题14.在 RtABC，C=90（1）已知 c=17，b=8, 求 a。 （a=15）（2）已知 ab=12，c=5, 求 a。 （a= ）5（3）已知 b=15，A=30，求 a，c。 （a= ，c= ）53 10315.若直角三角形的三边长分别是 n+1， n+2， n+3，求 n。 （n=2）16.若直角三角形两直角边的比是 3：4，斜边长是 20，求此直角三角形的面积。 （S=96）考点 2.勾股定理逆定理1.以下列各组线段为边长，能构成三角形的是_，能构成直角三角形的是_ （填序号）3，4，5 1，3，4 4，4，6 6，8，10 5，
8、7，2 13，5，12 7，25，242.在下列以线段 a、b、c 的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ D ）A.a=9，b=41，c=40 B.a=b=5，c= C.abc=345 D.a=11，b=12，c=1523.若一个三角形三边长的平方分别为：3 2，4 2，x 2，则此三角形是直角三角形的 x2的值是（ D ）A4 2 B5 2 C7 D5 2或 74.下列 说法不正确的是（ B ）A.三个角的度数之比为 1 3 4的三角形是直角三角形 B.三个角的度数之比为 3 4 5的三角形是直角三角形5 / 12C.三边长度之比为 3 4 5的三角形是直角三角形 D.三边长度之比
9、为 5 12 13的三角形是直角三角形5.若ABC 的三边 a、b、c，满足（ab） （a 2b 2c 2）=0，则ABC 是（ C ）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形6.有下列说法：若两直角边的平方和等于斜边的平方，则此三角形是直角三角形；在ABC 中，a、b、c 分别是A、B、C 的对边，若 a2+b2c 2，则ABC 是钝角三角形；在ABC 中，a、b、c分别是A、B、C 的对边，若 b2+c2=a2，则C=90 0；在ABC 中，a、b、c 分别是A、B、C的对边，C90 0，则 a2+b2c 2。其中正确的是（ D ）A. B. C. D
10、.7.下列说法中正确的有（ ）如果A+B+C=3：4：5，则ABC 是直角三角形；如果A+B=C，那么ABC 是直角三角形；如果三角形三边之比为 6：8：10，则 ABC 是直角三角形；如果三边长分别是 n2-1，2n，n 2+1（n1） ，则ABC 是直角三角形。A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个8.若 +|a-12|+(b-5)2=0,则以 a、b、c 为三边的三角形是 直角 三角形.13c9.如果ABC 的三边 a,b,c 满足关系式 +（b-18） 2+ =0 则ABC 是 三角形。18230c10.已知:a、b、c 为ABC 的三边,且满足 a2c2-b 2c2=a4-b
11、4,试判断ABC 的形状.解:a 2c2-b2c2=a4-b4,c 2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2).c 2=a2+b2.ABC 是直角三角形.问:(1)在上述解题过程中,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号: (2)错误的原因为 除数可能为零 ;11.已知ABC 的三边为 a、b、c，且 ，求三角形三个内角度数的比（ A： B： C=1:1：2:1:cb）: 26 / 1212.ABC 的三边 a、b、c 满足 试判断ABC 的形状 （直角三角0)4(32|50| 2cba形）13.已知ABC 的三边为 a、b、c，且 a+b=4，ab=1，c= ，试判定ABC 的形状。 （
12、直角三角形）1414.若ABC 的三边 a，b，c 满足条件 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判定ABC 的形状 （直角三角形）15.一根 24 米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为多少米？此三角形的形状为？（6；8；10；直角三角形）16.若 ABC 的三边长为 a,b,c，根据下列条件判断 ABC 的形状.（1）a 2+b2+c2+200=12a+16b+20c (2)a3a 2b+ab2ac 2+bc2b 3=0考点 3.数轴表示无理数（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）1.用圆规与尺子在数轴上作出表示 的点，并补充完整作图方法137 / 122.在
13、数轴上画出表示 的点？173.在数轴上作出表示 3- 的点2考点 4:勾股定理几何应用1.如图在矩形 ABCD 中,M 是 CD 中点，AB=8，AD=3 （1）求 AM 的长；（2）MAB 是直角三角形吗？为什么？（AM=5；不是直角三角形）2.如图所示，在 RtABC 中，ACB=90，CD 是 AB 边上高，若 AD=8，BD=2，求 CD （CD=4）3.一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB=3m，已知木箱高 BE= m，斜面坡角为 30，3求木箱端点 E 距地面 AC 的高度 EF。 （EF=3）4.有一块土地形状如图所示,B=D=90,AB=20 米,BC=15 米
14、,CD=7 米,请计算这块地的面积.（S=234）8 / 125.四边形 ABCD 中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形 ABCD 的面积。 （S=36）6.如图，在四边形 ABCD 中,AB=12 cm,BC=3 cm,CD=4 cm,C=90(1)求 BD 的长;（BD=5）(2)当 AD 为多少时,ABD=90?（AD=13）7.农民牛伯伯承包了一块四边形水稻田 ABCD，他量得边长 AB=90m，BC=120m，CD=130m，DA=140m，且边AB、BC 正好位于两条相互垂直的公路的拐角处，请你帮牛伯伯计算一下这块水稻田的面积。 （S=13800）8.
15、如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，ADC=90，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积（二） 、实际应用：1. 梯子滑动问题：1.一架长 2.5 的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底 0.7 （如图） ，如果梯子的顶端沿墙mm下滑 0.4 ，那么梯子底端将向左滑动 0.8 米2.如图，一个长为 10 米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 米，如果梯子的顶端下滑 1 米，那么，梯子底端的滑动距离 -1 米513.小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多 1 m，当他把绳子的下端拉开 5 米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为
16、12 米4.如图，一根 12 米高的电线杆两侧各用 15 米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 18 。86ABCD9 / 12第 1 题 第 2 题 第 4 题5.如图，一个 3 米长的梯子 AB，斜着靠在竖直的墙 AO 上，这时 AO 的距离为 2.5 米求梯子的底端 B 距墙角 O 多少米？（1.66）如果梯的顶端 A 沿墙下滑 0.5 米至 C 算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数） （0.58）6.如图所示，梯子 AB 靠在墙上，梯子的底端 A 到墙根 O 的距离为 2m，梯子的顶端 B 到地面的距离为7m现将梯子的底端 A 向外移动到 A,使梯子的底端 A到墙根 O 的距
17、离为 3m，同时梯子的顶端 B 下降到 B，那么 BB也等于 1m 吗?（不等于 1，小于 1）2. 爬行距离最短问题：1.如图，正方体盒子的棱长为 2，AB 中点为 M，一只蚂蚁从点 M 沿正方体的表面爬到点 ，蚂蚁爬行的C最短距离是（ B ）A. B. C. D.13175522.如图，一块砖宽 AN=5，长 ND=10，CD 上的点 F 距地面的高 FD=8，地面上 A 处的一只蚂蚁到 F 处吃食，要爬行的最短路线是 17 cm3.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 20dm、3dm、2dm，A 和 B 是这个台阶两相对的端点，A 点有一只昆虫想到 B 点去吃可口的食物，
18、则昆虫沿着台阶爬到 B 点的最短路程是 25 分米？4.一只蚂蚁从长、宽都是 3，高是 8 的长方体纸箱的 A 点沿纸箱爬到 B 点，那么它所爬行的最短路线的长是 10 .5.在一个长为 2 米，宽为 1 米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽 AD 平行且AD，木块的正视图是边长为 0.2 米的正方形，求一只蚂蚁从点 A 处，到达 C 处需要走的最短路 2.6 10 / 12第 1 题 第 2 题 第 3 题 第 4 题 第 5 题3.方向问题：1.一座垂直于两岸的桥长 15 米,一艘小船自桥北头出发,向正南方向驶去,因水流原因,到达南岸后,发现已偏离桥南头 9 米,则
19、小船实际行驶了_3 _米.342.一职工下班后以 50 米/分的速度骑自行车沿着东西马路向东走了 5.6 分,又沿南北马路向南走了 19.2分到家,则他的家离公司距离为（ D ） A.100m B.500m C.1 240m D.1 000m3.有一次，小明坐着轮船由 A 点出发沿正东方向 AN 航行，在 A 点望湖中小岛 M，测得MAN30，当他到 B 点时，测得MBN45，AB100 米，你能算出 AM 的长吗？（x=50+50 ）34.“远航”号、 “海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行， “远航”号每小时航行 16 海里，“海天”号每小时航行 12 海里，它们离开港口一个半小时后相距 30 海里如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？（西北方向）5.一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行 8 km，接着，它又掉头向正东方向航行 15 千米 此时轮船离开出发点多少 km? （17km） 若轮船每航行 1km，需耗油 0.4 升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?（9.2km）M A B N
