1、抛物线历年高考题精选（2004-2009）1.（2009 湖南卷文）抛物线 28yx的焦点坐标是（ ）2.（04 安徽春季理 13）抛物线 的准线方程为 63.（2009 四川卷文）抛物线 的焦点到准线的距离是 .4.（04 上海理 2）设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为 x=1,则它的焦点坐标为 .5.（05 江苏 6）抛物线 上的一点 到焦点的距离为 1，则点 的纵坐标是24yxMM6.（07 宁夏里 6）已知抛物线 的焦点为 ，点 ，(0)pF12()()Pxyy与在抛物线上，且 则有（ ） 3()Pxy与 2133F22213FP 1F213P7.（07 陕西理 3）抛物线 y
2、=x2的准线方程是（A）4y+1=0(B)4x+1=0 (C)2y+1=0 (D)2x+1=08.（2009 天津卷理）设抛物线 =2x 的焦点为 F，过点 M（ ，0）的直线与抛物线相交于 A，B 两点，与抛物线的准线相交于 C， B=2，则 BCF 与 ACF 的面积之比 BCFAS=( )A. 45 B. 23 C. 47 D. 129.（2009 四川卷理）已知直线 1:60lxy和直线 :lx，抛物线 24yx上一动点 P到直线1l和直线 2l的距离之和的最小值是（ ）A.2 B.3 C. 5 D. 371610.（2009 宁夏海南卷理）设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点为
3、F(1，0)，直线 l 与抛物线 C 相交于 A，B 两点。若 AB 的中点为（2，2） ，则直线 l 的方程为_.11.（2009 全国卷文）已知直线 )0(2kxy与抛物线 C: xy82相交 A、B 两点，F 为 C 的焦点。若 F,则 k= ( ) . 31 . . 3 . 312.（2009 全国卷理）已知直线 20yxk与抛物线 2:8Cyx相交于 、 两点， 为C的焦点，若 |2|AB，则 ( )A. B. C. D.13.（2009 福建卷理）过抛物线 的焦点 F 作倾斜角为 的直线交抛物线于 A、B 两点，若线段 AB 的长为 8，则 _ 14.（2009 宁夏海南卷文）已知
4、抛物线 C 的顶点坐标为原点，焦点在 x 轴上，直线 y=x 与抛物线 C 交于 A，B 两点，若 为 的中点，则抛物线 C 的方程为 15、(2008 海南、宁夏理)已知点 P 在抛物线 y2 = 4x 上，那么点 P 到点 Q（2，1）的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 P 的坐标为（A）A（ ，1）B（ ，1）C（1，2）44D（1，2）16(2008 辽宁理) 已知点 P 是抛物线 上的一个动点，则点 P 到点（0，2）的距离与 P 到该抛2yx物线准线的距离之和的最小值为（ A ） A B C D172359217(2008 四川理) 已知抛物线 的焦点为 ，准线与
5、 轴的交点为 ，点 在 上且2:8CyxFxKA，则 的面积为( B )（） （） （） （）2AKFK4816318(2008 江西理)过抛物线 的焦点 F 作倾斜角为 30的直线，与抛物线分别交于20xpA、B 两点(点 A 在 y 轴左侧)，则 FA3119(2008 全国卷文、理)已知抛物线 的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个2yax交点为顶点的三角形面积为 2 20(2008 全国卷理)已知 是抛物线 的焦点，过 且斜率为 1 的直线交 于4C： FC点设 ，则 与 的比值等于 AB， FBA3221(2008 全国卷文)已知 是抛物线 的焦点， 是 上的两个点，线段 AB
6、 的中点2yx： AB，为 ，则 的面积等于 2 (2M， 22(2008 上海文)若直线 经过抛物线 的焦点，则实数 -1. 10axy4a23.(2008 天津理)已知圆 C 的圆心与抛物线 的焦点关于直线 对称.直线xy圆 C 相交于 两点，且 ,则圆 C 的方程为 .034yxBA,622(1)0y24 （2008 北京理）若点 到直线 的距离比它到点 的距离小 1，则点 的轨迹为（ D ）P(20)， PA圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线25.(04 全国理 8)设抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是
7、A ， B2，2 C1，1 D 4，4126.(04 湖北理 1)与直线 的平行的抛物线 的切线方程是 （ ）04yx2xyA B C D032yx3200yx27.（05 上海理 15）过抛物线 y2=4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标之和等于 5,则这样的直线( )(A)有且仅有一条 (B) 有且仅有两条 (C) 有无穷多条 (D)不存在28.（06 山东文 15）已知抛物线 ，过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A( 两x ),()21yx、点，则 y 的最小值是2129.(06 四川文 10) 直线 与抛物线 交于 两点，过 两点向抛物线的准线作垂线3
8、y24y,垂足分别为 ，则梯形 的面积为（A ） （B） （C） （D）,PQB3648566430.（07 广东理 11）在平面直角坐标系 中，有一定点 （2，1） ，若线段 的垂直平分线过抛物xOAOA线 的焦点，则该抛物线的准线方程是 .)0(2pxy31.（07 全国理 11）抛物线 的焦点为 ，准线为 ，经过 且斜率为 的直线与抛物线在24yFlF3轴上方的部分相交于点 ， ，垂足为 ，则 的面积是 A B C DxAKl K 443832.（07 全国 2 理 12）设 F 为抛物线 的焦点，A、B、C 为该抛物线上三点，若2x，0FABC则 (A)9 (B) 6 (C) 4 (D
9、) 3|33.（07 四川理 8）已知抛物线 上存在关于直线 对称的相异两点 A、B，则|AB|等于32xy 0yx（A）3 （B） 4 （C） （D）22434.(04 上海春理 4)过抛物线 的焦点 作垂直于 轴的直线，交抛物线于 、 两点，则以 为xy42FxABF圆心、 为直径的圆方程是_.AB7.（04 北京理 17）如图，过抛物线 上一定点 P（ ） （ ） ，作两条直线分ypx20()xy0,0别交抛物线于 A（ ） ， B（ ）xy1,（I）求该抛物线上纵坐标为 的点到其焦点 F 的距离（II）当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 的值，并证明直线 AB 的斜率是非
10、零常数y120y P O x A B 8.(04 福建理 22)P 是抛物线 C：y= 21x2上一点，直线 l 过点 P 且与抛物线 C 交于另一点 Q.（）若直线 l 与过点 P 的切线垂直，求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程；( ）若直线 l 不过原点且与 x轴交于点 S，与 y 轴交于点 T，试求 |SQT的取值范围.10.(04 湖南文 22)（本小题满分 14 分）如图，过抛物线 x2=4y 的对称轴上任一点 P（0,m ）(m0) 作直线与抛物线交于 A,B 两点，点 Q 是点 P 关于原点的对称点 奎 屯王 新 敞新 疆（I）设点 P 分有向线段 所成的比为 ，证明:AB)(Q
11、BA（II）设直线 AB 的方程是 x-2y+12=0，过 A,B 两点的圆 C 与抛物线在点 A 处有共同的切线，求圆C 的方程 .12.（04 重庆理 21）设 是一常数，过点 的直线与抛物线 交于相异两0p(2,0)Qp2ypx点 A、B，以线段 AB 为直经作圆 H（H 为圆心） 奎 屯王 新 敞新 疆试证抛物线顶点在圆 H 的圆周上；并求圆 H 的面积最小时直线 AB 的方程 奎 屯王 新 敞新 疆13.（05 全国理 21）设 ， 两点在抛物线 上， 是 的垂直平分线。1Axy， 2Bxy， 2yxlAB（）当且仅当 取何值时，直线 经过抛物线的焦点 ？证明你的结论；12lF（）当
12、直线 的斜率为 2 时，求 在 轴上截距的取值范围。l14.（05 广东 17）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 上异于坐标原点的两不同动点、满2足 （如图所示） AOB（）求 得重心（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（） 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由xyOAB15.(05 天津理 21）抛物线 C 的方程为 ，过抛物线 C 上一点 P(x0,y0)(x 00) 作斜率为)0(2axyk1,k2的两条直线分别交抛物线 C 于 A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B 三点互不相同)，且满足.)0(且（）求抛物线 C 的焦点坐标和准线方程；（）
13、设直线 AB 上一点 M，满足 ，证明线段 PM 的中点在 y 轴上；AB（）当 =1 时，若点 P 的坐标为（1，-1 ） ，求PAB 为钝角时点 A 的纵坐标 的取值范围.121.(06 全国理 21)已知抛物线 的焦点为 F，A 、B 是热线上的两动点，且24xy过 A、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为 M。(0).AF（I）证明 为定值；（II）设 的面积为 S，写出 的表达式，并求 S 的最小值。()f17.(05 江西理 22)如图，设抛物线 的焦点为 F，动点 P 在直线 上运动，过 P2:xyC 02:yxl作抛物线 C 的两条切线 PA、PB，且与抛物线 C 分别相切于
14、 A、B 两点.（1）求APB 的重心 G 的轨迹方程.（2）证明PFA=PFB.2.(04 全国21)给定抛物线 C：y 24x，F 是 C 的焦点，过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点()设 l 的斜率为 1，求 与 夹角的大小；OAB()设 ，若 4，9 ，求 l 在 y 轴上截距的变化范围FB4.(04 安徽春季理 22)已知抛物线 C： ，过 C 上一点 M，且与 M 处的切线垂直的直线称27x为 C 在点 M 的法线.（）若 C 在点 M 的法线的斜率为 ，求点 M 的坐标（x 0，y 0） ；1（）设 P（2，a）为 C 对称轴上的一点，在 C 上是否存在点，使得
15、C 在该点的法线通过点 P？若有，求出这些点，以及 C 在这些点的法线方程；若没有，请说明理由.5.(04 北京春理 18.)已知点 A（2，8） ， 在抛物线 上， 的重By()()12， ， ， ypx2ABC心与此抛物线的焦点 F 重合（如图） OFMxC（I）写出该抛物线的方程和焦点 F 的坐标；（II）求线段 BC 中点 M 的坐标； （III）求 BC 所在直线的方程 奎 屯王 新 敞新 疆24.（07 湖北理 19）在平面直角坐标系 xOy 中，过定点 C(0，p)作直线与抛物线 x2=2px(p0)相交于 A、 B 两点.（）若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点，求A
16、NB 面积的最小值；（）是否存在垂直于 y 轴的直线 l，使得 l 被以 AC 为直径 的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出 l 的方程；若不存在，说 明理由.（此题不要求在答题卡上画图）25.(07 江苏 19)如图，在平面直角坐标系 中，过 轴正xy 方向上一点 任作一直线，与抛物线 相交于 两(0,)c2AB点，一条垂直于 轴的直线，分别与线段 和直线 交于x:lc，,PQ（1）若 ，求 的值；（5 分）2OABc（2）若 为线段 的中点，求证： 为此抛物线的切线；（5 分）Q（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。 （4 分）BAxyOCQlP26.（07 辽宁理 20）已知正三角形
17、 的三个顶点都在抛物线 上，其中 为坐标原点，设圆OAB2yxO是 的内接圆（点 为圆心）COABC（I）求圆 的方程；（II）设圆 的方程为 ，过圆 上任意一点 分别作圆 的两M22(47cos)(7cos)1xyMPC条切线 ，切点为 ，求 的最大值和最小值PEF， E， F，4.解:（）M（1， ） ；21（）当 a0 时，在 C 上有三个点（ 2 ， ） ， （2 ， ）及a1a21（2， ） ，在这三点的法线过点 P（2，a） ，其方程分别为：x2 y22a 0，x2 y22a 0，x2.当 a0 时，在 C 上有一个点（ 2， ） ，在这点的法线过点 P（2，a） ，其方程为：x2
18、.15.解：（I）由点 A（2，8）在抛物线 上，有 解得ypx82pp16所以抛物线方程为 ，焦点 F 的坐标为（8，0）yx3（II）如图，由 F（8，0）是 的重心，M 是 BC 的中点，所以 F 是线段 AM 的定比分点，且B设点 M 的坐标为 ，则()y0，解得 所以点 M 的坐标为21210x， xy0014， ()14， BOAFMxC（III）由于线段 BC 的中点 M 不在 x 轴上，所以 BC 所在的直线不垂直于 x 轴 奎 屯王 新 敞新 疆设 BC 所成直线的方程为 yk410()由 消 x 得 ykx4132()yk234()所以 由（II）的结论得 解得yk123y
19、124k4因此 BC 所在直线的方程为 即x4()0xy7.解：（I）当 时，px8又抛物线 的准线方程为y2xp2由抛物线定义得，所求距离为 58()y P O x A B （2）设直线 PA 的斜率为 ，直线 PB 的斜率为kPAkP由 ，ypx11ypx020相减得 ()()()10故 kPA1010同理可得 pyxB22()由 PA，PB 倾斜角互补知 kPAB即 1020y所以 y故 0设直线 AB 的斜率为 kAB由 ，ypx22ypx11相减得 ()()()21所以 kAB21将 代入得yy10()，所以 是非零常数pAB2kAB8.本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求
20、轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.满分 12 分.解：（）设 P(x1，y 1)，Q(x 2，y 2)，M( x0，y 0)，依题意 x10，y 10，y 20.由 y= 21x2， 得 y=x.过点 P 的切线的斜率 k 切 = x1，直线 l 的斜率 kl= 切 =- ，直线 l 的方程为 y 2x12= (xx 1)，方法一：联立消去 y，得 x2+ 1xx 122=0.M 是 PQ 的中点 x0= 21=- 1x，y 0= x12 (x0x 1)消去 x1，得 y0=x02+ +1(x00)，PQ 中点 M 的轨迹方程为 y=x2+ 0+1(x0).方法二：由 y1=
21、2x12，y 2= x22，x 0= 21，得 y1y 2= x12 x22= (x1+x2)(x1x 2)=x0(x1x 2)，则 x0= 21=kl=- 1，x 1= 0，将上式代入并整理，得y0=x02+ +1(x00)，PQ 中点 M 的轨迹方程为 y=x2+ 01+1(x0).（）设直线 l:y=kx+b，依题意 k0，b0，则 T(0，b).分别过 P、Q 作 PPx 轴，QQy 轴，垂足分别为 P、Q，则.|ST| 21yQOT由 y= x2 ， y=kx+b 消去 x，得 y22(k 2+b)y+b2=0. 1则 y1+y2=2(k2+b)，y 1y2=b2.方法一： |b|(
22、 )2|b| =2|b| =2.|SQTP2121y2by 1、y 2可取一切不相等的正数， 的取值范围是（2，+ ）.|SQTP方法二： =|b| =|b| .| 21y2)(bk当 b0 时， =b = = +22；|STPbk2当 b0，于是 k2+2b0，即 k22b.所以 =2.|STPb)(当 b0 时， 可取一切正数，2 的取值范围是（2，+ ）.|SQ方法三：由 P、Q、T 三点共线得 kTQ=KTP，即 = .2xby1则 x1y2bx 1=x2y1bx 2，即 b(x2x 1)=(x2y1x 1y2).于是 b= = x1x2.12 = = + = + 2.|SQTP|21
23、yb|21x|1|2x 可取一切不等于 1 的正数，|12x 的取值范围是（2，+ ）.|S10.解：（）依题意，可设直线 AB 的方程为 代入抛物线方程 得 ,mkxyyx42.042mkx设 A、B 两点的坐标分别是 、 、x 2是方程的两根.),(1yx12),(则所以 .21由点 P（0，m）分有向线段 所成的比为 ，AB得 .,21xx即又点 Q 是点 P 关于原点的对称点，故点 Q 的坐标是（0，m） ，从而 .)2,0(mQP2 2).1(,(),(),( 212121 myxmyxyxQBA 2P21212121 4)()(4x.0)(21xx所以 .(QBAP（）由 得点 A
24、、B 的坐标分别是（6，9） 、 （4，4）.,4,02yx由 得 2 ,21x所以抛物线 在点 A 处切线的斜率为2 36xy设圆 C 的方程是 ,)()(2rbyax则 .)4()()9()6(,312222ba解之得 .15, bar所以圆 C 的方程是 ,2)3()2(yx即 .0732yyx12.解法一：由题意，直线 AB不能是水平线， 故可设直线方程为： .pxky2又设 ，则其坐标满足),(),(BAx.2,pxyk消去 x 得 0422pky由此得 .,BA2224)( ,)()pyx pkkBAB因此 .OBAyxOBA 即,0故 O 必在圆 H 的圆周上.又由题意圆心 H（ ）是 AB 的中点，故,.2,)(2kpyxBAB由前已证，OH 应是圆 H 的半径，且 .pkyxOH45| 242从而当 k=0 时，圆 H 的半径最小，亦使圆 H 的面积最小.
