1、1-1卖马从前，有一个商人特别精明。有一次，他在马市上用 10 两银子买了一匹马，一转手以20 两银子的价钱卖了出去;然后，他再用 30 两把它买进来，最后以 40 两的价钱卖出。在这次马的交易中，他赚了多少钱?参考答案：这次买卖可分为两次来看。第一次买进 10 两银子，卖出 20 两银子，所以赚了 10 两银子。第二次买进 30 两银子，卖出 40 两银子，因此也赚了 10 两银子。在马的交易中，商人共赚了 20 两银子。人数小亮走进教室，看见教室里只有 8 名同学，那么现在教室里一共有几名同学?参考答案：粗心的小朋友一看题目就认为是 8 名同学，但这个答案是错的，认真审题后可以发现，题中已
2、经指出“小亮走进教室“，因此现在同学的人数应该包括小亮，所以一共有 9 名同学。蜗牛爬井一只蜗牛沿着 10 米深的井往上爬，白天向上爬 5 米，到夜里往下滑了 3 米，那么蜗牛什么时候可以爬出井口?参考答案：小蜗牛白天爬上了 5 米，晚上又掉下了 3 米，那实际上每天只能爬上去 2 米，爬前 6米小蜗牛用了 3 天，还剩 4 米，因此第 4 天就可以爬出去了。赛跑小动物们举行动物运动会，在长跑比赛中有 4 只动物跑在小松鼠的前面，有 3 只动物跑在小松鼠的后面，一共有几只动物参加长跑比赛?参考答案：这道题要明确问题的关键，我们可以把跑步的所有小动物看成一个队列，小松鼠前面有 4 只小动物，后面
3、有 3 只小动物，在这个队列中，就是没有数松鼠自己，所以求这队的总数还要把小松鼠加上。4+3+1=8(只)，一共有 8 只动物参加长跑比赛。数萝卜小灰兔有 10 个萝卜，如果小白兔给小灰兔 3 个萝卜，它俩的萝卜就一样多，小白兔有多少个萝卜?参考答案：如果小白兔给小灰兔 3 个萝卜，它俩的萝卜就一样多，一样多时都是 13 个，求小白兔原来额萝卜，就要把它给小灰兔的 3 个加上所以是 16 个。2-1自然数列趣题本讲的习题，大都是关于自然数列方面的计数问题，解题的思维方法一般是运用枚举法及分类统计方法，望同学们能很好地掌握它。例 1 小明从 1 写到 100，他共写了多少个数字“1”?解：分类计
4、算：“1”出现在个位上的数有：1，11，21，31，41，51，61，71，81，91 共 10 个;“1”出现在十位上的数有：10，11，12，13，14，15，16，17，18，19 共 10 个;“1”出现在百位上的数有：100 共 1 个;共计 10+10+1=21 个。例 2 一本小人书共 100 页，排版时一个铅字只能排一位数字，请你算一下，排这本书的页码共用了多少个铅字?解：分类计算：从第 1 页到第 9 页，共 9 页，每页用 1 个铅字，共用 19=9(个);从第 10 页到第 99 页，共 90 页，每页用 2 个铅字，共用 290=180(个);第 100 页，只 1 页
5、共用 3 个铅字，所以排 100 页书的页码共用铅字的总数是：9+180+3=192(个)。例 3 把 1 到 100 的一百个自然数全部写出来，用到的所有数字的和是多少?解：(见图 51)先按题要求，把 1 到 100 的一百个自然数全部写出来，再分类进行计算：如图 51 所示，宽竖条带中都是个位数字，共有 10 条，数字之和是：(1+2+3+4+5+6+7+8+9)10=4510=450。窄竖条带中，每条都包含有一种十位数字，共有 9 条，数字之和是：110+210+310+410+510+610+710+810+910=(1+2+3+4+5+6+7+8+9)10=4510=450。另外
6、100 这个数的数字和是 1+0+0=1。所以，这一百个自然数的数字总和是：450+450+1=901。顺便提请同学们注意的是：一道数学题的解法往往不只一种，谁能寻找并发现出更简洁的解法来，往往标志着谁有更强的数学能力。比如说这道题就还有更简洁的解法，试试看，你能不能找出来?2-2数与形相映形和数的密切关系，在古代就被人们注意到了.古希腊人发现的形数就是非常有趣的例子.例 1 最初的数和最简的图相对应.这是古希腊人的观点，他们说一切几何图形都是由数产生的.例 2 我国在春秋战国时代就有了“洛图”(见下图).图中也是用“圆点”表示数，而且还区分了偶数和奇数，偶数用实心点表示，奇数用空心点表示.你
7、能把这张图用自然数写出来吗?见下图所示，这个图又叫九宫图.例 3 古希腊数学家毕达哥拉斯发现了“形数”的奥秘.比如他把 1，3，6，10，15，叫做三角形数.因为用圆点按这些数可以堆垒成三角形，见下图.毕达哥拉斯还从圆点的堆垒规律，发现每一个三角形数，都可以写成从 1 开始的 n 个自然数之和，最大的自然数就是三角形底边圆点的个数.第一个数：1=1第二个数：3=1+2第三个数：6=1+2+3第四个数：10=1+2+3+4第五个数：15=1+2+3+4+5第 n 个数：1+2+3+4+5+n指定的三角形数.比如第 100 个三角形数是：例 4 毕达哥拉斯还发现了四角形数，见下图.因为用圆点按四角
8、形数可以堆垒成正方形，因此它们最受毕达哥拉斯及其弟子推崇.第一个数：1=12=1第二个数：4=22=1+3第三个数：9=32=1+3+5第四个数：16=42=1+3+5+7第五个数：25=52=1+3+5+7+9第 n 个数：n2=1+3+5+9+(2n-1).四角形数(又叫正方形数)可以表示成自然数的平方，也可以表示成从 1 开始的几个连续奇数之和.奇数的个数就等于正方形的一条边上的点数.例 5 类似地，还有四面体数见下图.仔细观察可发现，四面体的每一层的圆点个数都是三角形数.因此四面体数可由几个三角形数相加得到：第一个数：1第二个数：4=1+3第三个数：10=1+3+6第四个数：20=1+
9、3+6+10第五个数：35=1+3+6+10+15.例 6 五面体数，见下图.仔细观察可以发现，五面体的每一层的圆点个数都是四角形数，因此五面体数可由几个四角形数相加得到：第一个数：1=1第二个数：5=1+4第三个数：14=1+4+9第四个数：30=1+4+9+16第五个数：55=1+4+9+16+25.例 7 按不同的方法对图中的点进行数数与计数，可以得出一系列等式，进而可猜想到一个重要的公式.由此可以使人体会到数与形之间的耐人导味的微妙关系.方法 1：先算空心点，再算实心点：22+22+1.方法 2：把点图看作一个整体来算 32.因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：22+22+1=3
10、2.方法 1：先算空心点，再算实心点：32+23+1.方法 2：把点图看成一个整体来算：42.因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：32+23+1=42.方法 1：先算空心点，再算实心点：42+24+1.方法 2：把点图看成一个整体来算 52.因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：42+24+1=52.把上面的几个等式连起来看，进一步联想下去，可以猜到一个一般的公式：22+22+1=3232+23+1=4242+24+1=52n2+2n+1=(n+1)2.利用这个公式，也可用于速算与巧算.如：92+29+1=(9+1)2=102=100992+299+1=(99+1)2=1002=10
11、000.2-3速算与巧算例 1 2452554=(25)(425)54 (利用了交换=1010054 律和结合律)=54000例 2 54125168625=54(1258)(62516) (利用了=54100010000 交换律和结合律)=540000000例 3 56425125 将 64 分解为 2、4、8=5(248)25125 的连乘积是关键一=(52)(425)(8125) 步.=101001000=1000000例 4 3748625=37(316)625 注意 373=111=(373)(16625)=11110000=1110000例 5 2725+1325 逆用乘法分配律，
12、=(27+13)25 这样做叫提公因数=4025=1000例 6 12323+123+12376 注意 123=1231;再=12323+1231+12376 提公因数 123=123(231+76)=123100=12300例 7 81+9919 把 81 改写(叫分解因=99+9919 数)为 99 是为了下=(9+991)9 一步提出公因数 9=10009=9000例 8 11199=111(100-1)=111100-111=11100-111=10989例 9 2357-4823+23=23(57-48+1)=2310=230例 10 求 1+2+3+24+25 的和.解：此题是求自
13、然数列前 25 项的和.方法 1：利用上一讲得出的公式和=(首项+末项)项数21+2+3+24+25=(1+25)252=26252=325方法 2：把两个和式头尾相加(注意此法多么巧妙!)想一想，这种头尾相加的巧妙求和方法和前面的“拼补法”有联系吗?例 11 求 8+16+24+32+792+800 的和.解：可先提公因数8+16+24+32+792+800=8(1+2+3+4+99+100)=8(1+100)1002=85050=40400例 12 某剧院有 25 排座位，后一排都比前一排多 2 个座位，最后一排有 70 个座位，问这个剧院一共有多少个座位?解：由题意可知，若把剧院座位数按第 1 排、第 2 排、第 3 排、第 25 排的顺序写出来，必是一个等差数列.那么第 1 排有多少个座位呢?因为：第 2 排比第 1 排多 2 个座位，2=21第 3 排就比第 1 排多 4 个座位，4=22第 4 排就比第 1 排多 6 个座位，6=23这样，第 25 排就比第 1 排多 48 个座位，48=224.所以第 1 排的座位数是：70-48=22.再按等差数列求和公式计算剧院的总座位数：和=(22+70)252=92252=1150.
