1、欧拉(Euler)线:同一三角形的 垂心 、 重心、 外心三点共线,这条直线称为三角形的 欧拉线;且 外心 与 重心的距离等于 垂心 与 重心 距离的 一半。九点圆:任意三角形三边的中点,三高的垂足及三顶点 与 垂心间线段 的中点,共九个点共圆,这个圆称为三角形的九点圆;其圆心为三角形外心与 垂心 所连 线段的中点,其半径等于三角形外接圆半径的一半。费尔马点:已知 P 为锐角 ABC 内一点,当APB BPCCPA120 时,PA PBPC 的值最小, 这个点 P 称为ABC 的费尔马点。海伦(Heron )公式:塞瓦(Ceva)定理:在ABC 中,过ABC 的顶点作相交于一点 P 的直线,分
2、别交边 BC、CA、AB 与点 D、E 、F,则(BD/DC) (CE/EA)(AF/FB)1;其逆亦真。密格尔(Miquel)点:若 AE、AF 、 ED、FB 四条直线相交于 A、B、C、D、E、F 六点,构成四个三角形,它们是ABF、AED 、BCE 、DCF ,则这四个三角形的外接圆共点,这个点称为密格尔点。葛尔刚(Gergonne)点:ABC 的内切圆分别切边 AB、BC、CA 于点 D、E 、F,则 AE、BF、CD 三线共点,这个点称为葛尔刚点。西摩松(Simson)线:已知 P 为 ABC 外接圆周上任意一点,PDBC,PEACPF AB,D、E、F 为垂足,则 D、E 、F
3、三点共线,这条直线叫做西摩松线 。黄金分割:把一条线段(AB)分成两条线段,使其中较大的 线段(AC) 是原线段(AB)与较小线段(BC) 的比例中项 ,这样的分割称为 黄金分割。帕普斯(Pappus)定理:已知点 A1、 A2、A 3 在直线 l1 上,已知点 B1、B2、B 3 在直线 l2 上,且 A1 B2 与 A2 B1 交于点 X,A1B 3 与 A3 B1 交于点 Y,A2 B3 于 A3 B2 交于点 Z,则 X、Y、Z 三点共线。笛沙格(Desargues)定理:已知在 ABC 与ABC中,AA、BB、CC三线相交于点 O,BC 与 BC、 CA 与 CA、AB 与 AB分别
4、相交于点 X、Y 、Z ,则X、Y 、Z 三点共线 ;其逆亦真摩莱(Morley)三角形:在已知ABC 三内角的三等分线中,分别与 BC、CA、AB 相邻的每两线相交于点 D、E、 F,则DEF 是正三角形,这个正三角形称为摩莱三角形。帕斯卡(Paskal)定理:已知圆内接六边形 ABCDEF 的边 AB、DE 延长线交于点 G,边BC、EF 延长线交于点 H,边 CD、FA 延长线交于点 K,则 H、G 、K三点共线。托勒密(Ptolemy )定理:在圆内接四边形中,ABCDADBCACBD(任意四边形都可!哇哈哈)斯图尔特(Stewart)定理:设 P 为ABC 边 BC 上一点,且 BP
5、:PCn:m ,则m(AB2)n(AC 2)m(BP 2 )n(PC 2)(mn)(AP 2)梅内劳斯定理:在ABC 中,若在 BC、CA 、AB 或其延长线上被同一条直线截于点 X、Y 、Z ,则(BX/XC) (CY/YA)(AZ/ZB)1阿波罗尼斯(Apollonius)圆一动点 P 与两定点 A、B 的距离之比等于定比 m:n,则点P 的轨迹,是以定比 m:n 内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆,这个圆被称为阿波罗尼斯圆,简称“阿氏圆” 。布拉美古塔(Brahmagupta )定理:在圆内接四边形 ABCD 中,ACBD,自对角线的交点 P向一边作垂线,其延长线必平分对边。广 勾 股 定 理 : 在 任 一 三 角 形 中 , (1)锐 角 对 边 的 平 方 , 等 于 两 夹 边 之 平 方 和 , 减 去 某 夹 边 和 另 一 夹 边 在此 边 上 的 影 射 乘 积 的 两 倍 (2)钝 角 对 边 的 平 方 , 等 于 两 夹 边 的 平 方 和 , 加 上 某 夹 边 与 另 一 夹 边 在此 边 延 长 上 的 影 射 乘 积 的 两 倍