1、第 1 页 共 5 页西城区高三统一测试数学（理科） 2018.4第卷（选择题 共 40 分）一、 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1若集合 ， ，则|320AxR2|30BxxRAB（A） |1（B） 2|13x（C） |3xx（D） |2执行如图所示的程序框图，输出的 值为k（A）（B） 3（C） 4（D） 53已知圆的方程为 以原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，该20xyx圆的极坐标方程为（A） 2sin（B） 2sin（C） co（D） co4正三棱柱的三视图如图所示，该正三棱柱的表面积是（A） （B）3
2、932（C） （D）6 65已知 是正方形 的中心若 ，其中 ， ，则OABCDOABC R（A） 12（B） 2（C） 2（D） 2第 2 页 共 5 页6设函数 则“ 有两个不同的零点”是“ ，使 ”的2()fxbc()fx0xR0()fx（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件7函数 则 的图象上关于原点 对称的点共有241,0()3,.xf ()yfxO（A）0 对 （B）1 对（C）2 对 （D）3 对8某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务现有三项任务 U，V，W ，计算机系统执行这三项任务的时间
3、（单位：s）依次为 ，a， ，其中 一项任务的“相对等待时间”定义为从开始执行第一项任务到bcabc完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比下列四种执行顺序中，使三项任务“相对等待时间”之和最小的是（A）U V W（B）V W U（C）W U V （D）U W V第 3 页 共 5 页第卷（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9若复数 的实部与虚部相等，则实数 _ (i)34iaa10设等差数列 的前 项和为 若 ， ，则 _； _nnS1240S3nS11已知抛物线 的焦点与双曲线 的一个焦点重合，则 _；28yx2()xyaa双曲线
4、的渐近线方程是_12设 ，若函数 的最小正周期为 ，则 _02cosyx213安排甲、乙、丙、丁 4 人参加 3 个运动项目，每人只参加一个项目，每个项目都有人参加若甲、乙 2 人不能参加同一个项目，则不同的安排方案的种数为_ （用数字作答）14如图，在长方体 中， ， ，1ABCD12AB1C点 在侧面 上若点 到直线 和 的距离相等， P1PD则 的最小值是_1三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分 13 分）在 中，已知 ABC3sinsi2aCcA（）求 的大小；（）若 ， ，求 的面积7a23bB第 4 页 共 5
5、页16 （本小题满分 13 分）某企业 2017 年招聘员工，其中 A、B、C、D、E 五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到 1%）如下：岗位 男性应聘人数 男性录用人数 男性录用比例 女性应聘人数 女性录用人数 女性录用比例A 269 167 62% 40 24 60%B 40 12 30% 202 62 31%C 177 57 32% 184 59 32%D 44 26 59% 38 22 58%E 3 2 67% 3 2 67%总计 533 264 50% 467 169 36%（）从表中所有应聘人员中随机选择 1 人，试估计此人被录用的概率；（）从应聘 E 岗位的 6 人中随
6、机选择 2 人记 为这 2 人中被录用的人数，求 的分布列和XX数学期望； （）表中 A、B、C、D、E 各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%） ，但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位 （只需写出结论）17 （本小题满分 14 分）如图 1，在 中， ， 分别为 ， 的中点， 为 的中点，ABCDEABCODE， 将 沿 折起到 的位置，使得平面 平面25AB41 1A，如图 2CED（）求证： ；1OB（）求直线 和平面 所成角的正弦值；A1D（）线段 上是否存在点 ，使得直线
7、和 所成角的余弦值为 ？若存在，求出1FFBC53的值；若不存在，说明理由FC第 5 页 共 5 页图 1 图 218 （本小题满分 13 分）已知函数 ，其中 1()e(ln)xfaxaR（）若曲线 在 处的切线与直线 垂直，求 的值；y exya（）当 时，证明： 存在极小值(0,ln2)a()fx19 （本小题满分 14 分）已知圆 和椭圆 ， 是椭圆 的左焦点2:4Oxy2:4CxyFC（）求椭圆 的离心率和点 的坐标；CF（）点 在椭圆 上，过 作 轴的垂线，交圆 于点 （ 不重合） ， 是过点 的圆PPxOQ,PlQ的切线圆 的圆心为点 ，半径长为 试判断直线 与圆 的位置关系，并
8、证O|FlF明你的结论20 （本小题满分 13 分）数列 ： 满足： 记 的前 项和为 ，并规定nA12,(2)na 1(,2)kan nAkkS定义集合 ， ， 0S*nEkN| jS01k（）对数列 ： ， ， ， ， ，求集合 ；50.370.9.5E（）若集合 ， ，证明：12,(1nm 2)mk；1()iikS（）给定正整数 对所有满足 的数列 ，求集合 的元素个数的最小值CnSCnAn第 6 页 共 5 页西城区高三统一测试数学（理科）参考答案及评分标准2018.4一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.1D 2C 3B 4D 5B 6C 7C 8A 二、填空
9、题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9 10 ，11 ， 762n30xy12 13 14230注：第 10，11 题第一空 3 分，第二空 2 分. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15 （本小题满分 13 分）解：（）因为 ，3sini2aCcA所以 1 分os在 中，由正弦定理得 3 分ABin3s2incosCA所以 4 分3cos2因为 ， 5 分0所以 6 分6A（）在 中，由余弦定理得 ，BC22cosabA第 2 页 共 5 页所以 ， 8 分223(7)3)()2cc整理得 ， 9 分650c解得 ，
10、或 ，均适合题意 11 分1当 时， 的面积为 12 分ABC13sin2SbcA当 时， 的面积为 13 分5c 5i216 （本小题满分 13 分）解：（）因为 表中所有应聘人员总数为 ，5346710被该企业录用的人数为 ，2619所以 从表中所有应聘人员中随机选择 1 人，此人被录用的概率约为 3410P分（）X 可能的取值为 4 分0,12因为应聘 E 岗位的 6 人中，被录用的有 4 人，未被录用的有 2 人， 5分所以 ； ； 8 分26C(0)15PX126C8()5PX426C()5PX所以 X 的分布列为：X 0 1 2P 585 10 分14()03E（）这四种岗位是：B
11、、C、D 、E 13分17 （本小题满分 14 分）解：（）因为 在 中， ， 分别为 ， 的中点，ABCDABC所以 ， /EE所以 ，又 为 的中点，1O所以 1 分因为 平面 平面 ，且 平面 ，1ABC1A1DE所以 平面 ， 3 分ED所以 4 分1O（）取 的中点 ，连接 ，所以 BCGOG由（）得 ， A1如图建立空间直角坐标系 5 分xyz-第 3 页 共 5 页由题意得， ， ， ， 1(0,2)A(,0)B(2,)C(0,1)D所以 ， ， B 1D 12A 设平面 的法向量为 ， 1(,)xyzn则 即 10,A n20,.令 ，则 ， ，所以 7 分xy1z(1,2)n
12、设直线 和平面 所成的角为 ，则1CBD1|sin|cos, 3AC n所以 直线 和平面 所成角的正弦值为 9 分11B23（）线段 上存在点 适合题意 ACF设 ，其中 10 分1 0,设 ，则有 ，1(,)Fxyz1(2)(,2)xyz所以 ，从而 ，2, ,F所以 ，又 ，()D (0,4)BC 所以 12 分222| |1|cos, ()()DFBC 令 ，222|1|53()()整理得 13 分370解得 ，舍去 所以 线段 上存在点 适合题意，且 14 分1ACF13AFC18 （本小题满分 13 分）解：（） 的导函数为()fx 2()e(ln)e()xxfa 2 分21依题意
13、，有 ， 4 分(1)e)f解得 5 分0a（）由 及 知， 与 同号2()(ln)xf xe0()fx21lnax令 ， 6 分1lga则 8223()1()xx第 4 页 共 5 页分所以 对任意 ，有 ，故 在 单调递增 9(0,)x()0gx()gx0,)分因为 ，所以 ， ，(,ln2)a(1)a1()ln2a故 存在 ，使得 11 分01x0gx与 在区间 上的情况如下：()ff(,)2x01,x0x0(,1)x()f+ 极小值 所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增 fx01(,)2x0(,1)x所以 存在极小值 13()f分19 （本小题满分 14 分）解：（）由题意，椭
14、圆 的标准方程为 1 分C24xy所以 ， ，从而 24a2bcab因此 ， c故椭圆 的离心率 3 分2e椭圆 的左焦点 的坐标为 4 分CF(,0)（）直线 与圆 相切证明如下： 5 分l设 ，其中 ，则 ， 6 分0(,)Pxy02x20y依题意可设 ，则 7 分01(,)Q14直线 的方程为 ， l 0()yx整理为 9 分014x所以圆 的圆心 到直线 的距离 11Fl0021|4|2|xdxy分因为 13 分22220000|()()(4)4Pxyxxx所以 ，|Fd第 5 页 共 5 页即 ，|PFd所以 直线 与圆 相切 14 分l20 （本小题满分 13 分）解：（）因为 ，
15、 ， ， ， ， ， 20S10.32.4S30.41.2S5.3分所以 3 分52,4E（）由集合 的定义知 ，且 是使得 成立的最小的 k，n1iikS1ikikS所以 . 5 分1iikkS又因为 ，1ika所以 6 分111iiikkS.ik所以 81iikS分（）因为 ，所以 非空0nnE设集合 ，不妨设 ，12,mk 12mkk则由（）可知 ，1(,)iikS同理 ，且 10kmnk所以 12110()()()()mnkkkkSSSS 1个因为 ，所以 的元素个数 11 分nSCnE1mC取常数数列 ： ，并令 ， A(,2)iai 1n则 ，适合题意，2(1)1nS且 ，其元素个数恰为 ,EC 1C
