1、1 1 概率论与数理统计答案 习题答案 第 1 章 三、解答题 1设 P(AB) = 0，则下列说法哪些是正确的？ (1) A 和 B 不相容； (2) A 和 B 相容； (3) AB 是不可能事件； (4) AB 不一定是不可能事件； (5) P(A) = 0 或 P(B) = 0 (6) P(A B) = P(A) 解： (4) (6)正确 . 2设 A， B 是两事件，且 P(A) = 0.6， P(B) = 0.7，问： (1) 在什么条件下 P(AB)取 到最大值，最大值是多少？ (2) 在什么条件下 P(AB)取到最小值，最小值是多少？ 解：因为 )()()()( BAPBPAP
2、ABP ， 又因为 )()( BAPBP 即 .0)()( BAPBP 所以 (1) 当 )()( BAPBP 时 P(AB)取到最大值，最大值是 )()( APABP =0.6. (2) 1)( BAP 时 P(AB)取到最小值，最小 值是 P(AB)=0.6+0.7-1=0.3. 3已知事件 A， B 满足 )()( BAPABP ，记 P(A) = p，试求 P(B) 解：因为 )()( BAPABP ， 即 )()()(1)(1)()( ABPBPAPBAPBAPABP ， 所以 .1)(1)( pAPBP 4已知 P(A) = 0.7， P(A B) = 0.3，试求 )(ABP 解
3、：因为 P(A B) = 0.3，所以 P(A ) P(AB) = 0.3, P(AB) = P(A ) 0.3, 又因为 P(A) = 0.7，所以 P(AB) =0.7 0.3=0.4， 6.0)(1)( ABPABP . 5 从 5 双不同的鞋子种任取 4 只，问这 4 只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？ 解：显然总取法有 410Cn 种，以下求至少有两只配成一双的取法 k ： 法一：分两种情况考虑： 15Ck 24C 212)(C + 25C 其中： 2122415 )(CCC 为恰有 1 双配对的方法数 2 2 法二：分两种情况考虑： !2 161815 CCCk + 25C
4、其中： !2 161815 CCC 为恰有 1 双配对的方法数 法三：分两种情况考虑： )( 142815 CCCk + 25C 其中： )( 142815 CCC 为恰有 1 双配对的方法数 法四：先满足有 1 双配对再除去重复部分： 2815CCk - 25C 法五：考虑对立事件： 410Ck - 45C 412)(C 其中： 45C 412)(C 为没有一双配对的方法数 法六：考虑对立事件： !4 141618110410 CCCCCk 其中： !4 141618110 CCCC 为没有一双配对的方法数 所求概率为 .2113410 Ckp6在房间里有 10 个人，分别佩戴从 1 号到
5、10 号的纪念章，任取 3 人记录其纪念章的号码求： (1) 求最小号码为 5 的概率； (2) 求最大号码为 5 的概率 解： (1) 法一：12131025 CCp，法二：1213102513 AACp(2) 法二：20131024 CCp，法二：2013102413 AACp7将 3 个球随机地放入 4 个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为 1， 2， 3 的概率 解： 设 M1, M2, M3表示 杯子中 球的最大个数分别为 1， 2， 3 的事件，则 834)(3341 AMP, 1694)(324232 ACMP, 1614)(3143 CMP8设 5 个产品中有 3 个合格品，
6、 2 个不合格品，从中不返回地任取 2 个，求取出的 2 个中全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？ 解：设 M2, M1, M0分别事件表示取出的 2 个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则 3.0)(25232 CCMP, 6.0)(2512131 CCCMP, 1.0)(25221 CCMP9口袋中有 5 个白球， 3 个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率 解：设 M1=“取到 两个球颜色 相同”， M1= “取到两个 球均为白 球”， M2=“取 到两个球均 为黑球” ，则 2121 MMMMM 且. 所以 .2813CCCC)()()()( 28
7、2328252121 MPMPMMPMP 10 若在区间 (0， 1)内任取两个数，求事件“两数之和小于 6/5”的概率 解：这是一个几何概型问题以 x 和 y 表示任取两个数，在平面上建立 xOy 直角坐标系，如图 . 任取两个数的所有结果构成样本空间 = (x， y)： 0 x， y 1 3 3 事件 A =“两数之和小于 6/5” = (x， y) ： x + y 6/5 因此 25171 54211)(2 的面积的面积AAP 图？ 11随机地向半圆 220 xaxy （ a 为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点和该点的连线与 x 轴的夹角小于4的概率
8、解：这是一个几何概型问题以 x 和 y 表示随机地向半圆内掷一点的坐标， 表示原点和 该点的连线与 x 轴的夹角， 在平面上建立 xOy 直角坐标系，如图 . 随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间 =(x， y)： 220,20 xaxyax 事件 A =“原点和该点的连线与 x 轴的夹角小于 4 ” =(x， y)： 40,20,20 2 xaxyax 因此 21121 4121)(222 aaaAAP 的面积的面积 12已知 21)(,31)(,41)( BAPABPAP ，求 )( BAP 解： ,1213141)()()( ABPAPABP ,6121121)|( )()( BA
9、P ABPP.311216141)()()()( ABPBPAPBAP 13设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少？ 解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合 格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。 设 A=“ 所取两件产品中至少有一件是不合格品 ” ， B=“两件均为不合格品”； 321)(1)( 21026 CCAPAP，152)( 21024 CCBP， 5132/152)( )()( )()|( AP BPAP ABPABP
10、14有两个箱子，第 1 箱子有 3 个白球 2 个红球，第 2 个箱子有 4 个白球 4 个红球，现从第 1 个箱子中随机地取 1 个球放到第 2 个箱子里，再从第 2 个箱子中取出一个球，此球是白 球的概率是多少？已知上述从第 2 个箱子中取出的球是白球，则从第 1 个箱子中取出的球是白球的概率是多少？ 解： 设 A= “从第 1 个箱子中取出的 1 个球是白球”， B= “从第 2 个箱子中取出的 1 个球是白球”，则4 4 52)(,53)( 1512 APCCAP，由全概率公式得 ,45235253)|()()|()()( 19141915 CCCCABPAPABPAPBP 由贝叶斯公
11、式得 .23154523/53)( )|()()|( 1915 CCBP ABPAPBAP 15将两信息分别编码为 A 和 B 传递出去，接收站收到时， A 被误收作 B 的概率为 0.02，而 B 被误收作 A 的概率为 0.01，信息 A 与信息 B 传送的频繁程度为 2： 1，若接收站收到的信息是 A，问原发信息是 A 的概率是多少？ 解：设 M=“原发信息是 A”， N=“接收到 的 信息是 A”， 已知 ,01.0)|(,02.0)|( MNPMNP .32)( MP 所以 ,99.0)|(,98.0)|( MNPMNP ,31)( MP 由贝叶斯公式得 .1 9 71 9 6)01
12、.03198.032(98.032)|()()|()( )|()()|( MNPMPMNPMP MNPMPNMP 16三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为 41,31,51 ，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？ 解：设 Ai=“第 i 个人能破译密码”， i=1,2,3. 已知 ,41)(,31)(,51)(321 APAPAP所以 ,43)(,32)(,54)(321 APAPAP至少有一人能将此密码译出的概率为 .534332541)()()(1)(1 221321 APAPAPAAAP 17设事件 A 与 B 相互独立，已知 P(A) = 0.4， P(A B
13、) = 0.7，求 )( ABP . 解：由于 A 与 B 相互独立，所以 P(AB)=P(A)P(B),且 P(A B)=P(A)+ P(B) - P(AB)= P(A)+ P(B) - P(A)P(B) 将 P(A) = 0.4， P(A B) = 0.7 代 入上式解得 P(B) = 0.5，所以 .5.05.01)(1)( )()(1)( )(1)(1)( BPAP BPAPAP ABPABPABP 或者 ,由于 A 与 B 相互独立 ,所以 A 与 B 相互独立，所以 .5.05.01)(1)()( BPBPABP 18甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为 0.6 和 0
14、.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是多少？ 解： 设 A=“ 甲射击 目标”， B=“乙 射击 目标”， M=“命中目标”， 已知 P(A)=P(B)=1, ,5.0)(,6.0)( BMPAMP 所以 ).()()()()( ABPBAPBAPABBABAPMP 5 5 由于甲乙两人是独立射击目标，所以 .8.05.06.05.04.05.06.0)()()()()()()( BPAPBPAPBPAPMP 75.08.0 6.01)( )|()()( )()|( MP AMPAPMP AMPMAP 19某零件用两种工艺加工，第一种工艺有三道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为 0.
15、3， 0.2， 0.1；第二种工艺有两道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为 0.3， 0.2， 试问： (1) 用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些？ (2) 第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是 0.3 时，情况又如何？ 解：设 Ai=“第 1 种工艺的第 i 道工序 出现合格品 ”， i=1,2,3； Bi=“第 2 种工艺的第 i 道工序 出现合格品 ”， i=1,2. （ 1） 根据题意， P(A1)=0.7， P(A2)=0.8， P(A3)=0.9， P(B1)=0.7,P(B2)=0.8, 第一种工艺加工得到合格品的概率为 P(A1A2A3)= P(A1)P(A2)P(A
16、3)= ,504.09.08.07.0 第二种工艺加工得到合格品的概率为 P(B1B2)= P(B1)P(B2)= ,56.08.07.0 可见第 二 种工艺加工得到合格品的概率大。 （ 2） 根据题意，第一种工艺加工得到合格品的概率仍为 0.504，而 P(B1)=P(B2)=0.7, 第二种工艺加工得到合格品的概率为 P(B1B2)= P(B1)P(B2)= .49.07.07.0 可见第 一 种工艺加工得到合格品的概率大。 1设两两相互独立的三事件 A， B 和 C 满足条件 ABC = ， ,21)()()( CPBPAP 且已知 169)( CBAP ，求 P(A) 解：因为 ABC
17、 = ， 所以 P(ABC) =0, 因为 A， B， C 两两相互独立， ),()()( CPBPAP 所以 2)(3)()()()()()()()()( APCPAPCPBPBPAPACPBCPABP 由加法公式 )()()()()()()()( A B CPACPBCPABPCPBPAPCBAP 得 169)(3)(3 2 APAP 即 01)(43)(4 APAP 考虑到 ,21)( AP 得 .41)( AP 2设事件 A， B， C 的概率都是 21 ，且 )()( CBAPABCP ，证明： 21)()()()(2 BCPACPABPA B CP 证明：因为 )()( CBAPA
18、BCP ，所以 )()()()()()()(1)(1)( A B CPACPBCPABPCPBPAPCBAPA B CP 将21)()()( CPBPAP 代入上式得到 )()()()(231)( A B CPACPBCPABPA B CP 整理得 6 6 .21)()()()(2 ACPBCPABPA B CP 3设 0 P(A) 1， 0 P(B) 1， P(A|B) + 1)|( BAP ，试证 A 与 B 独立 证明： 因为 P(A|B) + 1)|( BAP ，所以 ,1)(1 )(1)( )()( )()( )( BP BAPBP ABPBP BAPBP ABP 将 )()()()
19、( ABPBPAPBAP 代入上式得 ,1)(1 )()()(1)( )( BP ABPBPAPBP ABP 两边同乘 非零的 P(B)1-P(B)并整理得到 ),()()( BPAPABP 所以 A 与 B 独立 . 4设 A， B 是任意两事件，其中 A 的概率不等于 0 和 1，证明 )|()|( ABPABP 是事件 A 与 B 独立的充分必要条件 证明：充分性，由于 )|()|( ABPABP ，所以 ,)( )()( )( AP BAPAP ABP 即 ,)(1 )()()( )( AP ABPBPAP ABP 两边同乘非零的 P(A)1-P(A)并整理得到 ),()()( BPA
20、PABP 所以 A 与 B 独立 . 必要性：由于 A 与 B 独立，即 ),()()( BPAPABP 且 ,0)(,0)( APAP 所以 一方面 ),()( )()()( )()|( BPAP BPAPAP ABPABP 另一方面 ),()( )()()()( )()()( )()|( BPAP BPAPBPAP ABPBPAP BAPABP 所以 ).|()|( ABPABP 5一学生接连参加同一课程的两次考试 第一次及格的概率为 p，若第一次及格则第二次及格的概率也为 p；若第一次不及格则第二次及格的概率为 2p . (1) 若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率
21、(2) 若已知他第二次及格了，求他第第一次及格的概率 解：设 Ai=“第 i 次 及格”， i=1， 2.已知 ,2)|(,)|(,)(12121 pAAPpAAPpAP 由全概率公式得 2)1()|()()|()()( 21211212 pppAAPAPAAPAPAP (1) 他取得该资格的概率 为 .232)1(),|()()()()()()()(22212121212121pppppppAAPAPAPAPAAPAPAPAAP 7 7 (2) 若已知他第二次及格了，他第一次及格的概率为 .122)1()()|()()( )()|(2212122121 p ppppppAP AAPAPAP
22、AAPAAP 6每箱产品有 10 件，其中次品从 0 到 2 是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认 为该箱产品为不合格而拒收 由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为 2%，一件次品被误判为正品的概率为 10% 求检验一箱产品能通过验收的概率 解：设 Ai=“一箱产品有 i 件次品”， i=0， 1， 2.设 M=“一件产品为正品”， N=“一件产品被检验为正品” . 已知 ,31)()()(210 APAPAP ,1.0)|(,02.0)|( MNPMNP由全概率公式 ,109)1081091(31)|()()|()()|()()( 221100 AMPAPAMPAP
23、AMPAPMP ,1011091)(1)( MPMP 又 ,98.002.01)|(1)|( MNPMNP 由 全概率公式 得 一箱产品能通过验收的概率 为 .892.01.010198.0109)|()()|()()( MNPMPMNPMPNP 7用一种检验法检验产品中是否含有某种杂质的效果如下 若真含有杂质检验结果为含有的概率为 0.8；若真含不有杂质检验结果为不含有的概率为 0.9；据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为 0.4 和 0.6 今独立地对一产品进行三次检验，结果是两次检验认为含有杂质，而有一次认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率 解： A=“一产品真含
24、有杂质”， Bi=“对一产品进行第 i 次检验认为含有杂质”， i=1,2,3. 已知独立进行的三次检验中两次认为含有杂质，一次认为不含有杂质，不妨假设前两次检验认为含有杂质，第三次认为检验不含有杂质，即 B1， B2 发生了，而 B3 未发生 . 又知 ,9.0)|(,8.0)|( ABPABP ii ,4.0)( AP 所以 ,1.0)|(,2.0)|( ABPABP ii ,6.0)(,4.0)( APAP 所求概率为 ,)|()()|()( )|()()( )()|( 321321 321321 321321 ABBBPAPABBBPAP ABBBPAPBBBP BBABPBBBAP
25、由于三次检验是独立进行的，所以 .9 0 5.09.01.01.06.02.08.08.04.0 2.08.08.04.0)|()|()|()()|()|()|()()|()|()|()()|(321321321321 ABPABPABPAPABPABPABPAPABPABPABPAPBBBAP8火炮与坦克对战，假设坦克与火炮依次发射，且由火炮先射击，并允许火炮与坦克各发射 2 发，已知火炮与坦克每次发射的命中概率不变，它们分别等于 0.3 和 0.35.我们规定只要命中就被击毁 试问 (1) 火炮与坦克被击 毁 的概率各等于多少？ (2) 都不被击毁的概率等于多少？ 解：设 Ai=“第 i
26、次射击目标被击毁”， i=1,2,3,4. 已知 ,3.0)()( 31 APAP ,35.0)()( 42 APAP 所以 ,7.0)()( 31 APAP ,65.0)()( 42 APAP (1) 火炮被击毁的概率为 8 8 3 5 6 4 7 5.035.07.065.07.035.07.0)()()()()()( )()()( 432121 432121432121 APAPAPAPAPAP AAAAPAAPAAAAAAP 坦克被击毁的概率为 4 3 6 5.03.065.07.03.0)()()()( )()()( 3211 32113211 APAPAPAP AAAPAPAAAA
27、P (2) 都不被击毁的概率为 .2 0 7 0 2 5.065.07.065.07.0)()()()()( 43214321 APAPAPAPAAAAP 9甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两次为止，此人即为冠军，而每次比赛双方取胜的概率都是 21 ，现假定甲乙两人 先比，试求各人得冠军的概率 解： Ai=“甲第 i 局获胜”， Bi=“乙第 i 局获胜”， Bi=“丙第 i 局获胜”， i=1,2, .， 已知 , . . .2,1,21)()()( iCPBPAPiii， 由于各局比赛具有独立性， 所以 在甲乙先比赛，且甲先胜第一局时，
28、丙获胜的 概率 为 ,71. . .212121. . . )(963987654321654321321 CCABCABCACCABCACCAP 同样，在甲乙先比赛，且乙先胜第一局时，丙获胜的概率也为 ,71 丙得冠军的概率为 ,72712 甲、乙得冠军的概率均为 .145)721(21 第二章 2 一、填空题： 1. xXP ， )()( 12 xFxF 2. kXP knkkn ppC )1( ， k = 0， 1， ， n 3. 0,! ekkXP k 为参数， k = 0， 1， 4. 11 5. 其它 ,0,1)( bxaabxf 6. xexf x ,21)( 222 )( 7.
29、 xex x ,21)( 228. )()( ab 9. 9 9 X -1 1 2 pi 0.4 0.4 0.2 分析：由题意，该随机变量为离散型随机变量，根据离散型随机变量的分布函数求法，可观察出随机变量的取值及概率。 10. 649 分析：每次观察下基本结果“ X 1/2”出现的概率为 412)( 21021- x d xdxxf，而本题对随机变量 X 取值的观察可看作是 3 重伯努利实验，所以 649)411()41(2 23223 CYP 11. 7257.0)2 12.2(2 12.22 12 . 2 XPXP , ,8 9 5 0.01)3.1()4.2()3.1()4.2()2
30、16.1()2 18.5(2 18.52 12 16.15 . 86.1 XPXP 同理， P| X | 3.5 =0.8822. 12. )3 1(3 113)( yFyXPyXYPyG. 13. 4813 ，利用全概率公式来求解： .4813414141314121410 442332 2221122XPXYPXPXYPXPXYPXPXYPYP二、单项选择题： 1. B，由概率密度是偶函数即关于纵轴对称，容易推导 F(-a)= dxxfdxxfdxxfdxxfdxxf aa 00a-0a-0 )(21)(-21)(-)()( 2. B，只有 B 的结果 满足 1)(lim)( xFF x3
31、. C，根据分布函数和概率密度的性质容易验证 4. D， 2, 2,2 XX XY，可以看出 Y 不超过 2，所以 0,2,1 2 ,12,1 2 ,12, 2 ,1)(0 yeyydxeyyyXPyyYPyF yxyY， 可以看出，分布函数只有一个间断点 . 5. C, 事件的概率可看作为事件 A（前三次独立重复射击命中一次）与事件 B（第四次命中）同时发生的概率，即 pppCBPAPABPp 2313 )1()()()( . 三、解答题 （ A） 1 (1) 10 10 X 1 2 3 4 5 6 pi 3611369367365363361分析：这里的概率均为古典概型下的概率，所有可能性
32、结果共 36 种，如果 X=1，则表明两次中至少有一点数为 1，其余一个 1至 6 点均可，共有 1-612C （这里 12C 指任选某次点数为 1， 6 为另一次有 6 种结果均可取，减 1 即减去两次均为 1 的情形，因为 612C 多算了一次）或 1512 C 种，故 361136 1536 1-61 1212 CCXP ,其他结果类似可得 . (2) 6 1655432154 432143 32132212111 0 )(xxXPXPXPXPXPxXPXPXPXPxXPXPXPxXPXPxXPxxF，6 165363554 363243 36273236202136111 0 xxxxxxx，2 X -1 99 pi 1261251261注意，这里 X 指的是赢钱数， X 取 0-1 或 100-1，显然 1 2 61299 510 CXP. 3 1!0 aekakk ，所以 ea .
