1、第一章习题 习题 1.1 在英文字母中 E 出现的概率最大，等于 0.105，试求其信息量。 解 ： E 的信息量： b25.3105.0l o gEl o gE1l o g 222E PPI习题 1.2 某信息源由 A， B， C， D 四个符号组成，设每个符号独立出现，其出现的概率分别为 1/4， 1/4， 3/16， 5/16。试求该信息源中每个符号的信息量。 解 ： bAPAPI A 241lo g)(lo g)(1lo g 222 bI B 4 1 5.2163lo g 2 bIC 4 1 5.2163lo g 2 bID 678.1165lo g 2 习题 1.3 某信息源由 A，
2、 B， C， D 四个符号组成，这些符号分别用二进制码组 00， 01， 10， 11 表示。若每个二进制码元用宽度为 5ms 的脉冲传输，试分别求出在下列条件下的平均信息速率。 （ 1） 这四个符号等概率出现； （ 2）这四个符号出现概率如习题 1.2 所示。 解 ：（ 1）一个字母对应两个二进制脉冲，属于四进制符号，故一个字母的持续时间为 25ms。传送字母的符号速率为 Bd1 0 01052 1 3B R 等概时的平均信息速率为 sb2004lo glo g 2B2Bb RMRR （ 2）平均信息量为 符号比特9 7 7.1516l o g165316l o g1634l o g414l
3、 o g41 2222 H 则平均信息速率为 sb7.197977.1100Bb HRR 习题 1.4 试问上题中的码元速率是多少？ 解 ：311 2 0 0 B d5 * 1 0B BR T 习题 1.5 设一个信息源由 64 个不同的符号组成，其中 16 个符号的出现概率均为 1/32，其余 48 个符号出现的概率为 1/96，若此信息源每秒发出 1000 个独立的符号，试求该信息源的平均信息速率。 解 ：该信息源的熵为 96l o g961*4832l o g321*16)(l o g)()(l o g)()( 22264 121 ii iiMi i xPxPxPxPXH=5.79 比特
4、 /符号 因此，该信息源的平均信息速率 1 0 0 0 * 5 . 7 9 5 7 9 0 b /sbR m H 。 习题 1.6 设一个信息源输出四进制等概率信号，其码元宽度为 125 us。试求码元速率和信息速率。 解 ：B 6B11 8 0 0 0 B d1 2 5 * 1 0R T 等概时， skbMRR Bb /164lo g*8 0 0 0lo g 22 习题 1.7 设一台接收机输入电路的等效电阻为 600 欧姆，输入电路的带宽为 6 MHZ，环境温度为 23 摄氏度，试求该电路产生的热噪声电压的有效值。 解 ： 2 3 6 1 2V 4 4 * 1 . 3 8 * 1 0 *
5、2 3 * 6 0 0 * 6 * 1 0 4 . 5 7 * 1 0 Vk TR B 习题 1.8 设一条无线链路采用视距传输方式通信，其收发天线的架设高度都等于 80 m，试求其最远的通信距离。 解 ：由 2 8D rh ，得 68 8 * 6 . 3 7 * 1 0 * 8 0 6 3 8 4 9 k mD rh 习题 1.9 设英文字母 E 出现的概率为 0.105， x出现的概率为 0.002 。试求 E 和 x的信息量。 解： 22( ) 0 . 1 0 5( ) 0 . 0 0 2( ) l o g E l o g 0 . 1 0 5 3 . 2 5( ) l o g ( ) l
6、 o g 0 . 0 0 2 8 . 9 7pEpxI E P b itI x P x b it 习题 1.10 信息源的符号集由 A， B， C， D 和 E 组成，设每一符号独立 1/4出现，其出现概率为 1/4,1/8,1/8,3/16 和 5/16。试求该信息源符号的平均信息量。 解： 符号/23.216 5l o g16581l o g81l o g8141l o g41)(l o g)( 22222 b i txpxpH ii 习题 1.11 设有四个消息 A、 B、 C、 D 分别以概 率 1/4,1/8, 1/8, 1/2 传送，每一消息的出现是相互独立的。试计算其平均信息量。
7、 解： 符号/75.121l o g2181l o g8181l o g8141l o g41)(l o g)( 22222 b i txpxpH ii 习题 1.12 一个由字母 A， B， C， D 组成的字。对于传输的每一个字母用二进制脉冲编码， 00 代替 A， 01 代替 B， 10 代替 C， 11 代替 D。每个脉冲宽度为 5ms。 （ 1） 不同的字母是等概率出现时，试计算传输的平均信息速率。 （ 2） 若每个字母出现的概率为 14Bp , 14Cp , 310Dp , 试计算传输的平均信息速率。 解： 首先计算平均信息量 。 （ 1） 22 11( ) l o g ( ) 4
8、 * ( ) * l o g 2 /44iiH P p b i txx 字 母 平均信息速率 =2（ bit/字母） /(2*5m s/字母 )=200bit/s （ 2） 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 3 3( ) l o g ( ) l o g l o g l o g l o g 1 . 9 8 5 /5 5 4 4 4 4 1 0 1 0iiH P p b i txx 字 母平均信息速率 =1.985(bit/字母 )/(2*5ms/字母 )=198.5bit/s 习题 1.13 国际莫尔斯电码用点和划的序列发送英文字母，划用持续 3 单位的电流脉 冲表示，点用持续 1 单位
9、的电流脉冲表示，且划出现的概率是点出现的概率的 1/3。 （ 1） 计算点和划的信息量； （ 2） 计算点和划的平均信息量 。 解： 令点出现的概率为 ()AP ,划出现的频率为 ()BP ()AP + ()BP =1, ( ) ( )13 ABPP ()34AP ()14BP (1) 22( ) l o g ( ) 0 .4 1 5( ) l o g ( ) 2I A p A b itI B p B b it （ 2） 符号/8 1 1.041l o g4143l o g43)(l o g)( 222 b i txpxpH ii 习题 1.14 设一信息源的输出由 128 个不同符号组成。其
10、中 16 个出现的概率为 1/32，其余 112 个出现的概率为 1/224。信息源每秒发出 1000 个符号，且每个符号彼此独立。试计算该信息源的平均信息速率。 解： 符号/4.6224 1l o g)224 1(*112)321(*16)(l o g)(H 22 b i txpxp ii 平均信息速率为 6.4*1000= 6400bit/s 。 习题 1.15 对于二电平数字信号，每秒钟传输 300 个码元，问此传码率 BR 等于多少？若数字信号 0 和 1 出现是独立等概的，那么传信率 bR 等于多少？ 解： 300BRB 300 /bR bit s 习题 1.16 若题 1.12 中
11、信息源以 1000B 速率传送信息，则传送 1 小时的信息量为多少？传送 1 小时可能达到的最大信息量为多少？ 解： 传送 1 小时的信息量 2 . 2 3 * 1 0 0 0 * 3 6 0 0 8 . 0 2 8M b i t 传送 1 小时可能达到的最大信息量 先求出最大的熵： m a x 2 1lo g 2 .3 2 /5H b i t 符号 则传送 1 小时可能达到的最大信息量 2 . 3 2 * 1 0 0 0 * 3 6 0 0 8 . 3 5 2M b i t 习题 1.17 如果二进独立等概信号，码元宽度为 0.5ms，求 BR 和 bR ；有四进信号，码元宽度为 0.5ms
12、，求传码率 BR 和独立等概时的传信率 bR 。 解： 二进独立等概信号： 31 2 0 0 0 , 2 0 0 0 /0 . 5 * 1 0BbR B R b i t s 四进独立等概信号： 31 2 0 0 0 , 2 * 2 0 0 0 4 0 0 0 /0 . 5 * 1 0BbR B R b i t s 。 第三章习题 习题 3.1 设一个载波的表达式为 ( ) 5 cos1000c t t ，基带调制 信号的表达式为 ： m(t)=1+cos200 t 。试求出振幅调制时已调信号的频谱，并画出此频谱图。 解 ： tttctmts 1000c os5200c os1 tttttt8
13、0 0c o s1 2 0 0c o s251 0 0 0c o s51 0 0 0c o s2 0 0c o s51 0 0 0c o s5 由傅里叶变换得 400400456006004550050025fffffffS 已调信号的频谱如图 3-1 所示。 图 3-1 习题 3.1 图 习题 3.2 在上题中，已调信号的载波分量和各边带分量的振幅分别等于多少？ 解 ：由上题知，已调信号的载波分量的振幅为 5/2，上、下边带的振幅均为5/4。 S(f) 2545 600 500 400 0 400500600 习题 3.3 设一个频率调制信号的载频等于 10kHZ，基带调制信号是频率为2 k
14、HZ 的单一正弦波，调制频移等于 5kHZ。试求其调制指数和已调信号带宽。 解 ：由题意，已知 mf =2kHZ， f =5kHZ，则调制指数为 5 2.52fmfm f 已调信号带宽为 2 ( ) 2 ( 5 2 ) 1 4 k H ZmB f f 习题 3.4 试证明：若用一基带余弦波去调幅，则调幅信号的两个边带的功率之和最大等于载波频率的一半。 证明 ：设基带调制信号为 ()mt，载波为 c(t)=A 0cos t ，则经调 幅后，有 0( ) 1 ( ) c osAMs t m t A t 已调信号的频率 22 2 20( ) 1 ( ) c o sA M A MP s t m t A
15、 t 2 2 2 2 2 2 20 0 0c o s ( ) c o s 2 ( ) c o sA t m t A t m t A t 因为调制信号为余弦波，设 2 (1 )1 0 0 0 k H Z 1 0 0fmB m ff ，故 2 2 1( ) 0 , ( ) 22mm t m t 则：载波频率为 2220co s 2c AP A t边带频率为 2 2 2 2 2 20 ()( ) c o s 24s m t A AP m t A t 因此 12scPP。即调幅信号的两个边带的功率之和最大等于载波频率的一半。 习题 3.5 试证明；若两个时间函数为相乘关系，即 z(t)=x(t)y(t
16、)，其傅立叶变换为卷积关系： Z( )=X( )*Y( )。 证明 ：根据傅立叶变换关系，有 ded2121 tj1 uuYuXYXF变换积分顺序 : uuYuXYX- tj1 ed2 12 1 F uYuX tut dde21e21 jj tytxutyuX ut de21 j 又因为 Ztytxtz -1F 则 YXZ - 11 FF 即 YXZ 习题 3.6 设一基带调制信号为正弦波，其频率等于 10kHZ，振幅等于 1V。它对频率为 10mHZ 的载波进行相位调制，最大调制相移为 10rad。试计算次相位调制信号的近似带宽。若现在调制信号的频率变为 5kHZ，试求其带宽。 解 ：由题意
17、， m1 0 k H Z , A 1 Vmf 最大相移为 max 10 rad 瞬时相位偏移为 ( ) ( )pt k m t ，则 10pk 。 瞬时角频率偏移为 d () sinp m mdt ktdt 则最大角频偏 pmk 。 因为相位调制和频率调制的本质是一致的，根据对频率调制的分析，可得调制指数 10pmfpmmkmk 因此，此相位调制信号的近似带宽为 2 (1 ) 2 (1 1 0 ) * 1 0 2 2 0 k H ZfmB m f 若 mf =5kHZ，则带宽为 2 (1 ) 2 (1 1 0 ) * 5 1 1 0 k H ZfmB m f 习题 3.7 若用上题中的调制信号
18、对该载波进行频率调制，并且最大调制频移为 1mHZ。试求此频率调制信号的近似带宽。 解 ： 由 题 意 ， 最 大 调 制 频 移 1000 kHZf ， 则 调 制 指 数1 0 0 0 / 1 0 1 0 0f mfm f 故此频率调制信号的近似带宽为 63( ) 1 0 c o s ( 2 * 1 0 1 0 c o s 2 * 1 0 )s t t t 习题 3.8 设角度调制信号的表达式为 63( ) 1 0 c o s ( 2 * 1 0 1 0 c o s 2 * 1 0 )s t t t。试求： （ 1）已调信号的最大频移；（ 2）已调信号的最大相移；（ 3）已调信号的带宽。
19、解 ：（ 1）该角波的瞬时角频率为 6( ) 2 * 1 0 2 0 0 0 s in 2 0 0 0tt 故最大频偏 20001 0 * 1 0 k H Z2f （ 2）调频指数 33101 0 * 1 010f mfm f 故已调信号的最大相移 10 rad 。 （ 3）因为 FM 波与 PM 波的带宽形式相同，即 2(1 )FM f mB m f ，所以已调信号的带宽为 B=2(10+1)* 310 22 kHZ 习题 3.9 已知调制信号 m(t)=cos(2000t)+cos(4000t)， 载波为 cos104t，进行单边带调制，试确定该单边带信号的表达试，并画出频谱图。 解 ：
20、方法一 ：若要确定单边带信号，须先求得 m(t)的希尔伯特变换 m（ t） =cos（ 2000t-/2） +cos（ 4000t-/2） =sin（ 2000t） +sin（ 4000t） 故上边带信号为 SUSB(t)=1/2m(t) coswct-1/2m(t)sinwct =1/2cos(12000t)+1/2cos(14000t) 下边带信号为 SLSB(t)=1/2m(t) coswct+1/2m(t) sinwct =1/2cos(8000t)+1/2cos(6000t) 其频谱如图 3-2 所示。 图 3-2 信号的频谱图 方法二： 先产生 DSB 信号： sm(t)=m(t)
21、coswct=，然后经过边带滤波器产生 SSB 信号。 习题 3.10 将调幅波通过残留边带滤波器产生残留边带信号。若信号的传输函数 H(w)如图所示。 当调制信号为 m(t)=Asin100t +sin6000t时，试确定所得残留边带信号的表达式。 解 ： 设调幅波 sm(t)=m0+m(t)coswct， m0|m(t)|max， 且 sm(t)Sm(w) 图 3-3 信号的传递函数特性 12000 14000 -1400 -12000 SUSB（ t） /2 /2 SLSB（ t） -8000 -6000 6000 8000 1 -14 -10.5 -9.5 9.5 10.5 14 f/
22、kHz H(w) 0 根据残留边带滤波器在 fc 处具有互补对称特性，从 H(w)图上可知载频fc=10kHz，因此得载波 cos20000t。故有 sm(t)=m0+m(t)cos20000t =m0cos20000t+Asin100t+sin6000tcos20000t =m0cos20000t+A/2sin(20100t)-sin(19900t) +sin(26000t)-sin(14000t) Sm(w)=m0(w+20000)+(W-20000)+jA/2(w+20100)- (w+19900)+(w-19900)+(w+26000)-(w-26000) -(w+14000)+(w-
23、14000) 残留边带信号为 F(t)， 且 f(t)F(w)， 则 F(w)=Sm(w)H(w) 故有 ： F(w)=/2m0(w+20000)+(w-20000)+jA/20.55(w+20100) -0.55(w-20100)-0.45(w+19900)+ 0.45(w-19900)+(w+26000) -(w-26000) f(t)=1/2m0cos20000t+A/20.55sin20100t-0.45sin19900t+sin26000t 习题 3.11 设某信道具有均匀的双边噪声功率谱密度 Pn(f)=0.5*10-3W/Hz，在该信道中传输抑制载波的双边带信号，并设调制信号 m
24、(t)的频带限制在 5kHz，而载波为 100kHz，已调信号的功率为 10kW.若接收机的输入信号在加至解调器之前，先经过一理想带通滤波器滤波，试问： 1.） 该理想带通滤波器应具有怎样的传输特性 H(w)? 2.） 解调器输入端的信噪功率比为多少 ? 3.） 解调器输出端的信噪功率比为多少 ? 4.） 求出解调器输出 端的噪声功率谱密度，并用图型表示出来。 解： 1.） 为了保证信号顺利通过和尽可能的滤除噪声，带通滤波器的宽度等于已调信号带宽，即 B=2fm=2*5=10kHz，其中中心频率为 100kHz。所以 H(w)=K ， 95kHz f 105kHz 0 ，其他 2.） Si=10kW Ni=2B* Pn(f)=2*10*103*0.5*10-3=10W 故输入信噪比 Si/Ni=1000 3.） 因有 GDSB=2
