1、1宜宾市一中 16 级高三上期数学第三周教学设计设计:毛远军 审核：李进才32 导数的应用(一)考点梳理函数的单调性与导数在某个区间(a，b)内，如果 f(x)0，那么函数 yf (x)在这个区间内_；如果 f(x)0，故单调递增区间是(0，) 故选 A.ex(2016湛江模拟)函数 f(x) 的单调递减区间是( )lnxxA(e， ) B(1，) C(0，e) D(0，1)解：f(x) ，由 x0 及 f(x)0 解得 xe.故选 A.1 lnxx2(2017浙江)函数 yf(x) 的导函数 yf (x)的图象如图所示，则函数 yf(x) 的图象可能是( )A B2C D解：由导函数 yf(
2、x)的图象可知，该图象在 x 轴的负半轴上有一个零点( 不妨设为 x1)，并且当 x0；当x( x2， x3)时，f(x )x3 时，f(x)0.因此函数 f(x)在 xx 1 处取得极小值，在 xx 2 处取得极大值，在xx 3 处取得极小值对照四个选项，选项 A 中，在 xx 1 处取得极大值，不合题意；选项 B 中，极大值点应大于 0，不合题意；选项 C 中，在 xx 1 处取得极大值，也不合题意；选项 D 合题意故选 D.函数 f(x)x 2cosx (x(0，)的单调递减区间为_解：f(x)1 2sinx，令 f(x)0 得 sinx ，故 x .故填 .12 6 56 ( 6， 5
3、6)(2017兰州模拟)若 f(x) x2bln(x2)在 1， )上是减函数，则实数 b 的取值范围是_12解：由已知得 f(x)x 0 在 1，)上恒成立，所以 b(x1) 21 在1，)上恒成立，bx 2所以 b1.故填(，1 类型一 导数法研究函数的单调性(1)函数 f(x)1xsinx 在(0 ，2)上是( )A增函数B减函数C在(0，)上单调递增，在 (，2)上单调递减D在(0，) 上单调递减，在( ，2)上单调递增解：f(x)1 cosx0 在(0，2) 上恒成立，所以 f(x)在 R 上递增，在(0，2) 上为增函数故选 A.(2)设函数 f(x) x3(1a)x 24ax 2
4、4a，其中常数 a1，则 f(x)的单调减区间为_13解：f(x)x 22(1a)x4a(x2)(x2a) ，由 a1 知，当 x2 时，f( x)0，故 f(x)在区间(，2) 上是增函数；当 2x2a 时，f( x)0，故 f(x)在区间(2，2a) 上是减函数；当 x2a 时，f( x)0，故 f(x)在区间(2a，) 上是增函数综上，当 a1 时，f(x )在区间(，2) 和(2a，) 上是增函数，在区间 (2，2a)上是减函数故填(2，2a)(3)函数 f(x)x 3ax 为 R 上增函数的一个充分不必要条件是( )Aa0 Ba0 Ca0 Da0解：函数 f(x)x 3ax 为 R
5、上增函数的充分必要条件是 f(x)3x 2a0 在 R 上恒成立，所以 a(3 x2)min.因为(3x 2)min0，所以 a0.而(，0)( ，0故选 B.【点拨】(1)利用导数求函数单调区间的关键是确定导数的符号不含参数的问题直接解导数大于( 或小于)零的不等式，其解集即为函数的单调区间，含参数的问题，应就参数范围讨论导数大于(或小于) 零的不等式的解，其解集即为函数的单调区间(2)所有求解和讨论都在函数的定义域内，不要超出定义域的范围确定函数单调区间的步骤：确定函数 f(x)的定义域；求 f(x)； 解不等式 f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增3区间；解不等式 f(x )2 时
6、，f( x)在 内单调递增，在 内单调递减，在(1，)内单调递增(0，2a) ( 2a，1)【点拨】(1)大多数高考试题中确定函数的单调性需要分类讨论，讨论的标准是导数的零点在定义域内的分布情况，根据导数的零点把定义域划分为若干区间，在各个区间上确定导数值的符号(2)研究函数单调性时要注意函数的定义域，要从函数本身确定函数定义域，不要求导后从导数上确定函数的定义域(3)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当 f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论分类讨论时，要做到不重不漏(2017临沂调研)设函数 f(x)aln x ，其中 a 为常数x 1x 1(1
7、)若 a0，求曲线 yf(x )在点(1，f(1)处的切线方程；(2)讨论函数 g(x)f( x)ax (a0)的单调性1 xx 1解：( 1)由 题 意 知 a 0 时 ， f(x) ， x (0， )x 1x 1此时 f(x) .可得 f(1) ，又 f(1)0，所以曲线 yf (x)在(1，f(1)处的切线方程为 x2y10.2（x 1）2 12(2)g(x)alnxax，g( x) a .ax a（1 x）x由于 x0，且 a0，故当 a0 时，g(x)在(0 ，1)上单调递增，在 (1，)上单调递减；当 a 0 时 ， g(x)在 (0， 1)上 单 调 递 减 ， 在 (1， )上
8、 单调递增类型三 已知函数单调性确定参数的值( 范围)(1)若函数 f(x)ln( ax1) (x0，a0) 在区间1，) 上单调递增，则 a 的取值范围是1 x1 x_(2)若函数 f(x) ln(ax1) (x0，a0)的单调递增区间是1，)，则 a 的取值集合是_1 x1 x解：(1)f(x) ，由 f(x)在 1，)上单调递增可得，对任意 x1，f(x )aax 1 2（x 1）2 ax2 a 2（ax 1）（x 1）20a( x21)2.所以 a 1，所以 a1.故填 1，)(2x2 1) max(2)f(x)的单调递增区间为 1，)，即 f(x)仅在区间1 ，) 上单调递增令 f(
9、x)0ax 2a20x 2 .2 aa若 0，即 a2，则 x2 恒成立，f (x)的单调递增区间为 0，)，不符合题意；2 aa 2 aa5若 0，即 0a2，则 f(x)的单调递增区间为 ，所以 1，即 a1 时，符合题2 aa 2 aa ， ) 2 aa意故填a|a 1【点拨】(1)f(x)在区间 D 上单调递增(减) ，只要 f(x)0( 0)在 D 上恒成立即可，如果能够分离参数，则尽可能分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系(2) 二次函数在区间 D 上大于零恒成立，讨论的标准是二次函数的图象的对称轴与区间 D 的相对位置，一般分对称轴在区间左侧、内部、右侧进行讨论(3) 注意
10、问题的问法，如“在某区间单调增( 减) ”与“单调增(减) 区间是某区间”是不同的(1)(2016九江一模)已知函数 f(x) x22axlnx，若 f(x)在区间 上是增函数，则实数 a 的取12 13， 2值范围为_解：由题意知 f(x)x 2a 0 在 上恒成立，即 2ax 在 上恒成立，因为 g(x)x 在1x 13，2 1x 13，2 1x上单调递减，所以 g(x)g ，所以 2a ，即 a .故填 .13，2 (13) 83 83 43 43， )(2)已知函数 f(x)x 3(1a)x 2a(a2)xb (a，bR)，若函数 f(x)在区间(1，1)上不单调，则 a 的取值范围是
11、_解：易知 f(x) (xa)(3xa2)0 的根 x1a，x 2 .只要10”是“f(x)在 R 上单调递增”的( )12A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件解：f(x) x2a，当 a0 时， f(x) 0 恒成立，故“a 0”是“f (x)在 R 上单调递增”的充分不必要条32件故选 A.4设函数 f(x) x29lnx 在区间a1，a1 上单调递减，则实数 a 的取值范围是( )12A(1，2 B(4，)C(，2) D(0，3解：因为 f(x) x29lnx，所以 f (x)x (x0)，当 x 0 时，有 00 且 a13，解得 11 时，f (x)
12、1xk 0 恒成立，即 k 在区间(1，)上恒成立因为 x1，所以 00，f (x)为增函数 ； 又 f(3) f( 1)， 且 10)在 x0 处取得极值，且曲线 yf( x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线x2y10.(1)求 a，b 的值；(2)若函数 g(x) ，讨论 g(x)的单调性. exf（x）解：(1)因为 f(x)ax 2bxk(k0)，所以 f(x)2axb.又 f(x)在 x0 处取得极值，所以 f(0)0，从而 b0.由曲线 yf(x) 在点(1 ，f(1) 处的切线与直线 x2y10 相互垂直可知该切线的斜率为 2，即 f(1)2，即2a2，即 a1.所以 a1，
13、b0.(2)由(1)知，g(x ) (k0)，exx2 kg(x) (k0)ex（x2 2x k）（x2 k）2令 g(x)0，有 x22x k 0.当 44k1 时，g( x)0 在 R 上恒成立，故函数 g(x)在 R 上为增函数；8当 44k0，即 k1 时，g(x) 0，仅在 x1 处，g( x)0，故函数 g(x)在 R 上为增ex（x 1）2（x2 k）2函数；当 44k0 ，即 00，解得 x1 ；由 x22xkx 2，则不等式(x2 018) 2f(x 2 018)4f( 2)0 的解集为( )A(，2 016) B(2 018，0)C(，2 020) D(2 020，0)解：
14、 由 2f(x)xf(x )x2，x0，又 F(x)在( ，0) 上是减函数，所以由 F(2018x )F(2)得，2018x 0， 22 时，f(x)0，所以 x2 是f(x)的极小值点故选 D.(2016岳阳模拟)函数 f(x)ln xx 在区间(0 ，e上的最大值为( )A1e B1 Ce D0解：因为 f(x) 1 ，当 x(0 ，1)时，f(x )0；当 x(1 ，e时，f(x)0，所以当 x1 时，f (x)取1x 1 xx得最大值 ln111.故选 B.已知 x3 是函数 f(x)alnxx 210x 的一个极值点，则实数 a_.解：f(x) 2x10，由 f(3) 6100 得 a12，经检验满足题设条件故填 12.ax a3函数 f(x)x 2cosx 的最大值是_(x 0， 2)解：f(x)1 2sinx，令 f(x)0 得 sinx ，从而 x ，当 x 时，f ( x)0，f(x) 单调递增；当 x12 6 (0，6)时 ， f (x) 0， f(x)单 调 递 减 ， 所 以 f(x)在 x 处 取 得 极 大 值 ， 即 最 大 值 .故 填 .(6，2) 6 6 3 6 3
