1、1第三章 空间向量与立体几何 单元测试(时间：90 分钟 满分：120 分)第卷(选择题，共 50 分)一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分1以下四组向量中，互相平行的组数为( )a(2,2,1) ，b(3，2，2)；a(8,4，6)，b(4,2 ，3)；a(0， 1,1)，b (0,3，3)；a(3,2,0)，b(4 ，3,3)A1 组 B2 组C 3 组 D4 组解析：中 a2b，ab；中 a b，13ab；而中的向量不平行答案：B2在以下命题中，不正确的个数为( )|a| |b| |ab|是 a，b 共线的充要条件；若 ab，则存在唯一的实数 ，使 a b； 对
2、空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，若 2 2 ，则 P，A，B，C 四点共面； 若a，b，c为空间OP OA OB OC 的一组基底，则ab，bc，c a构成空间的另一组基底；|(a b)c| |a|b|c|.A2 个 B3 个C 4 个 D5 个解析：|a| b|ab|a 与 b 共线，但 a 与 b 共线时|a| b|ab|不一定成立，故不正确；b 需为非零向量，故不正确；因为2211，由共面向量定理知，不正确；由基底的定义知正确；由向量的数量积的性质知，不正确2答案：C3如图，已知四边形 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，连接AC，BD ， PB，PC，PD ，则下列各组
3、向量中，数量积不一定为零的是( )A. 与 B. 与PC BD DA PB C. 与 D. 与PD AB PA CD 解析：建立如图所示的空间直角坐标系设矩形 ABCD 的长、宽分别为 a，b，PA 长为 c，则 A(0,0,0)，B(b,0,0) ，D(0，a,0)，C (b，a,0) ，P(0,0，c)则 (b，a，c)， (b，a,0)， (0 ，a，0)，PC BD DA ( b,0，c )， (0，a，c )， (b,0,0)， (0,0 ，c)，PB PD AB PA 3 (b,0,0)CD b2a 2 不一定为 0.PC BD 0， 0， 0.DA PB PD AB PA CD
4、答案：A4已知向量 e1、e 2、 e3 是两两垂直的单位向量，且a3e 12e 2e 3，be 12e 3，则(6 a) 等于( )(12b)A15 B3C3 D5解析：(6a) 3ab3(3e 12e 2e 3)(e12e 3)9|e 1|26| e3|23.(12b)答案：B5如图，AB AC BD1，AB 面 ，AC面 ，BD AB，BD 与面 成 30角，则 C、 D 间的距离为( )A1 B2C. D.2 3解析：| |2| |2| |2| |2| |22 2 2 CD CA AB BD CA AB BD CA AB AB BD CA BD 411100211cos1202.| |
5、 .CD 2答案：C6已知空间三点 O(0,0,0)，A (1,1,0)，B(0,1,1)在直线 OA 上有一点H 满足 BH OA，则点 H 的坐标为( )A( 2,2,0) B(2，2,0)C. D.( 12，12，0) (12， 12，0)解析：由 ( 1,1,0)，且点 H 在直线 OA 上，可设 H(， ，0)，OA 则 ( ， 1，1)BH 又 BHOA， 0，BH OA 即( ， 1，1)(1,1,0)0，即 10，解得 ，H .12 ( 12，12，0)答案：C7已知 a(cos，1，sin)，b(sin，1，cos) ，则向量 ab 与ab 的夹角是( )A90 B60C 3
6、0 D0解析：(ab)(ab) a 2b 2(cos 2sin 21)(sin 21cos 2)0，( a b)(ab )答案：A8已知 E、F 分别是棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱BC、CC 1 的中点，则截面 AEFD1 与底面 ABCD 所成二面角的正弦值是( )5A. B.23 23C. D.53 233解析：以 D 为坐标原点，以 DA、DC、DD 1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图则 A(1,0,0)，E ，F ，D 1(0,0,1)，(12，1，0) (0，1，12)l 所以 (1,0,1) ， .AD1 AE ( 12，1，0)设平
7、面 AEFD1 的法向量为 n(x ，y，z)，则Error!Error!x2yz.取 y1，则 n(2,1,2) ，而平面 ABCD 的一个法向量为u(0,0,1)，cosn ，u ，sin n， u .23 53答案：C9在三棱锥 PABC 中，ABC 为等边三角形，PA平面 ABC，且PAAB，则二面角 APBC 的平面角的正切值为( )A. B.6 36C. D.66 62解析：设 PAAB 2 ，建立如图所示的空间直角坐标系则 B(0,2,0)，C( ，1,0)，P(0,0,2)，3 (0，2,2)，BP ( ，1,0)BC 3设 n( x，y，z)是平面 PBC 的一个法向量则Er
8、ror!即Error!令 y1，则 x ，z1.33即 n .(33，1，1)易知 m(1,0,0) 是平面 PAB 的一个法向量则 cosm，n .mn|m|n|331213 77正切值 tanm ，n .67答案：A10已知 (1,2,3) ， (2,1,2)， (1,1,2)，点 Q 在直线 OP 上OA OB OP 运动，则当 取得最小值时，点 Q 的坐标为( )QA QB A. B.(12，34，13) (12，32，34)C. D.(43，43，83) (43，43，73)解析：Q 在 OP 上，可设 Q(x，x,2x)，则 (1x,2x, 32x) ，QA (2x,1x,22x)
9、QB 6x 216x 10，QA QB x 时， 最小，43 QA QB 这时 Q .(43，43，83)答案：C第卷(非选择题，共 70 分)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分11已知 a(3，2，3)，b( 1，x1,1)，且 a 与 b 的夹角为钝角，则 x 的取值范围是_解析：因为 a 与 b 的夹角为钝角，于是1cosa，b0，因此ab0，且 a 与 b 的夹角不为 ，即 cosa ，b1.解得 x .( 2，53) (53， )8答案： ( 2，53) (53， )12如图所示，已知正四面体 ABCD 中，AE AB，CF CD，则14 14直线 DE 和
10、 BF 所成的角的余弦值为 _解析： ，ED EA AD 14BA AD ，BF BC CF BC 14CD cos ， ED BF ED BF |ED |BF |(14BA AD )(BC 14CD )(14BA AD )2 (BC 14CD )2 .413答案：413913已知 a(x,2，4) ，b(1，y,3)，c(1，2，z) ，且a，b，c 两两垂直，则(x ，y，z)_.解析：由题意知Error!解得 x 64，y 26 ，z 17.答案：(64，26，17)14已知空间四边形 OABC，如图所示，其对角线为OB、 AC， M、N 分别为 OA、BC 的中点，点 G 在线段 MN
11、 上，且 3MG ，现用基向量 、 、 表示向量 ，并设GN OA OB OC OG x y z ，则 x、y、z 的和为 _OG OA OB OC 解析： OG OM MG 12OA 34MN 12OA 34( 12OA OC 12CB ) 12 ，OA 38OA 34OC 38OB 38OC 18OA 38OB 38OC x ，y ，z .18 38 38xyz .78答案：7810三、解答题：本大题共 4 小题，满分 50 分15(12 分) 已知 a(1,2，2)(1)求与 a 共线的单位向量 b；(2)若 a 与单位向量 c(0，m，n)垂直，求 m、n 的值解：(1) 设 b(，2
12、 ，2)，而 b 为单位向量，|b| 1，即 24 24 29 21. .(4 分)13b 或 b .(6 分)(13，23， 23) ( 13， 23，23)(2)由题意，知Error!Error!解得Error!或 Error!(12 分)16(12 分) 如下(左)图，在 RtABC 中， C90，BC3，AC6，D，E 分别为 AC、AB 上的点，且 DEBC ，DE2，将ADE 沿 DE 折起到 A1DE 的位置，使 A1CCD，如下(右) 图(1)求证： A1C平面 BCDE；(2)若 M 是 A1D 的中点，求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小解：(1) AC BC，DE BC，DE AC.
