1、1构造异面直线所成角的几种方法异面直线所成角的大小，是由空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的准确选定角的顶点，平移直线构造三角形是解题的重要环节本文举例归纳几种方法如下，供参考一、抓异面直线上的已知点过一条异面直线上的已知点，引另一条直线的平行线(或作一直线并证明与另一直线平行)，往往可以作为构造异面直线所成角的试探目标例 1(2005 年全国高考福建卷 )如图，长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AA 1=AB=2，AD=1，点 E、F、G 分别是 DD1、AB 、 CC1 的中点，则异面直线 A1E 与GF 所成的角是（ ）二、抓异面直线(或空间图形 )上的特殊点考
2、察异面直线上的已知点不凑效时，抓住特殊点(特别是中点)构造异面直线所成角是一条有效的途径.例 2(2005 年全国高考浙江卷 )设 M、N 是直角梯形 ABCD 两腰的中点，DEAB 于E(如图 )现将 ADE 沿 DE 折起，使二面角 ADEB 为 45，此时点 A 在平面 BCDE内的射影恰为点 B，则 M、N 的连线与 AE 所成角的大小等于_ABCDEN1 BCDEMNG2三、平移(或构造)几何体有些问题中，整体构造或平移几何体，能简化解题过程.例 3(2005 年全国高考天津卷 )如图， 平面 ， 且PABC90A，则异面直线 PB 与 AC 所成角的正切值等于 _PACBa1. 解
3、：连 B1G，则 A1EB 1G，知B 1G F 就是异面直线 A1E 与 GF 所成的角在B 1GF中，由余弦定理，得11BCBDFGPBCA2cosB1GF 0，2222211()3(5)GFB故B 1G F 90，应选(D)2 评注：本题是过异面直线 FG 上的一点 G，作 B1G，则 A1EB 1G，知B 1G F 就是所求的角，从而纳入三角形中解决解： 取 AE 中点 G, 连结 GM、BGGMED，BNED，GM ED，BN ED21 GM BN，且 GMBNBNMG 为平行四边形， MN/BGA 的射影为 BAB面 BCDEBEABAE45 ，又G 为中点，BGAE即 MNAEM
4、N 与 AE 所成角的大小等于 90 度故填 903 解：将此多面体补成正方体 ， 与 所成的角的大小即此DBCAPBAC正方体主对角线 与棱 所成角的大小，在 RtPDB 中，PB即 故填 tan2DA点评：本题是将三棱柱补成正方体 ，从而将问题简DBCAP化异面直线练习一、选择题1分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是 （ ）（A）不平行的直线 （B）不相交的直线（C）相交直线或平行直线 （D）既不相交又不平行直线2已知 EF 是异面直线 a、b 的共垂线，直线 lEF ，则 l 与 a、b 交点的个数为 （ ）（A）0 （B）1 （C）0 或 1 （D）0，1 或 23两条异面直线的距
5、离是 （ 1D1BCPA3ABCSEFA BCDD1 C1B1A1 MNNMFED CBAJIHG FEDCBABACDA）（A）和两条异面直线都垂直相交的直线 （B）和两条异面直线都垂直的直线（C）它们的公垂线夹在垂足间的线段的长 （D）两条直线上任意两点间的距离4设 a, b, c 是空间的三条直线，下面给出三个命题： 如果 a, b 是异面直线，b, c 是异面直线，则 a, c 是异面直线； 如果 a, b 相交，b, c 也相交，则 a, c 相交； 如果 a, b 共面，b, c 也共面，则 a, c 共面上述命题中，真命题的个数是 （ ）（A）3 个 （B）2 个 （C）1 个
6、（D）0 个5异面直线 a、b 成 60，直线 ca ，则直线 b 与 c 所成的角的范围为 （ ）（A）30，90 （B）60，90 （C）30，60 （D）60，1206如图:正四面体 SABC 中，如果 E，F 分别是 SC，AB 的中点，那么异面直线 EF 与 SA 所成的角等于 （ ）（A）90（B）45（C）60（D）307在棱长为 1 的正方体 ABCDA 1B1C1D1中，M 和 N 分别为 A1B1和的中点，那么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值是 （ ）（A） （B） （C） （D） 2305348右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中， BM 与 ED 平行； CN
7、与 BE 是异面直线； CN 与 BM 成 角； DM 与 BN 垂直60以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ）（A） （B） （C） （D）9梯形 ABCD 中 AB/CD，AB 平面 ，CD 平面 ，则直线 CD 与平面 内的直线的位置关系只能是 （ ）（A）平行 （B）平行和异面 （C）平行和相交 （D）异面和相交10在空间四边形 ABCD 中，E、F 分别为 AB、AD 上的点，且 AE ：EF AF ：FD1 ：4，又 H、G 分别为 BC、CD 的中点，则 （ ） （A）BD/ 平面 EFGH 且 EFGH 是矩形 （B）EF/平面 BCD 且 EFGH 是梯形（C）HG/平面
8、ABD 且 EFGH 是菱形 （D ）HE/ 平面 ADC 且 EFGH 是平行四边形二、填空题11如图，在正三角形 ABC 中，D、E、F 分别为各边的中点，G，H，I ，J 分别为 AF，AD，BE，DE 的中点，将ABC 沿DE，EF，DF 折成三棱锥以后，GH 与 IJ 所成角的度数为 12在四面体 ABCD 中，若 AC 与 BD 成 60角，且 ACBDa，则连接AB、BC 、CD、DA 的中点的四边形面积为 13在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，ABBC3，AA 14，则异面直线 AB1 与 A1D 所成的角的余弦值为 14把边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 BD
9、 折起，使 A、C 的距离等于 a，如图所示，则异面直线 AC和 BD 的距离为 4FEPCBANMD CB AD CBAPQD1 C1B1A1三、解答题15已知 AB、BC、CD 为不在同一平面内的三条线段， AB，BC，CD 的中点 P、Q、R 满足 PQ2，QR ，PR 3，求 AC 与 BD 所成的角516已知 P 为ABC 所在平面外的一点，PCAB，PCAB2，E、F 分别为 PA 和 BC的中点（1）求证：EF 与 PC 是异面直线；（2）EF 与 PC 所成的角；（3）线段 EF 的长17如图，AB 和 CD 是两异面直线，BD 是它们的公垂线，ABCD，M 是 BD 的中点，
10、N 是 AC 的中点（1）求证：MNAC；（2）当 ABCDa，BDb，ACc 时，求 MN 的长18 （如图）已知 P、Q 是棱长为 a 的正方体 ABCDA 1B1C1D1 的面 AA1D1D 和 A1B1C1D1的中心（1）求线段 PQ 的长；（2）证明：PQAA 1B1B1 异面直线一、复习要点101本节内容要点为：异面直线的定义和判定，异面直线所成的角，异面直线的距离2异面直线的定义和判定及异面直线所成的角是频考点，也是本节的重点3要把“不同在任何一个平面内的两条直线”和“分别在两个平面内的两条直线”的含义区别开，后者不一定是异面直线4在进一步复习理解异面直线的同时，要注意把这部分内
11、容和平面联系在一起，即和线面、面面平行与垂直的判定联系在一起，以便开阔思路，使解题方法更具灵活性5对异面直线所成的角，要注意：深刻理解异面直线所成的角的概念，领悟其所渗透的“空间向平面转化”的思想；异面直线所成角的范围为 090，故有时平移后需求其补角；解题时，应首先考虑两条异面直线是否互相垂直，可由三垂线定理及其逆定理或线面垂直来完成；应熟练掌握“平移”这个通法，平移的途径有取中点、作平行线、补体（形）等；理科学生应会用反三角函数表示异面直线所成的角6高考求异面直线的距离仅限于给出公垂线的情形例见 1999 年高考立体几何解答题的第 2 问二、例题讲解例 1 已知、是两两异面的三条直线，且，
12、是、的公垂线若，那么与有何位置关系?并说明理由 讲解：构造恰当的几何体是判断空间诸条直线位置关系的最佳思维选择，因为几何体具有直观和易于判断之优点根据本题的特点，可考虑构造正方体 构造正方体- ，如图 7-1 所示，因为 AB 与 CC 异面且垂直，BC 是它们的公垂线，所以可记、 、分别为、 图 7-1因为与、均异面，且，注意到侧面 ，因此侧面 内的任一直线均与垂直从图中可以看出，侧面 内的 和 均与、异面，且均与垂直，所以可记 或 为此时由 知；由 与 BC 异面知与为异面直线 综上可知与平行或异面 正方体是一个很简单且很重要的几何模型构造它可直观、简捷地判断线线、线面关系，特别是有关异面
13、直线的问题易于解决 下面一组题目供读者思考练习：（1）无论怎样选择平面，两条异面直线在该平面内的射影都不可能是（ ）A两条平行直线B两条相交直线C一条直线和直线外一点D两个点（2）在空间中，记集合 M=与直线 l 不相交的直线，集合 N=与直线 l 平行的直线，则 M 与 N 的关系是（ ）AM=NB M NCM ND 不确定（3）a、b、c 是空间中的三条直线，则下述传递关系中，为真命题的是（ ）11A若 ab,bc，则 acB若 ab,bc,则 acC若 a 与 b 相交，b 与 c 相交，则 a 与 c 相交D若 a 与 b 异面，b 与 c 异面，则 a 与 c 异面（4）同时与两条异
14、面直线都相交的两条直线一定不是 （ ）A异面直线B相交直线C平行直线D垂直直线（5）如图 7-2 所示，正方体 ABCD- 中，EF 是异面直线 和 AC 的公垂线，则直线EF 和 B 的关系是（ ）图 7-2 异面 平行 相交且垂直 相交且不垂直 例 2 在正三棱柱- 中，若 ，则 AB 与 所成的角的大小为（ ） 609010575 讲解：根据题设作出图形（图 7-3）欲求异面直线 AB 与 C 所成角的大小，需进行异面直线的平移，而平移既可在体内进行，也可通过补形（补面、补体）向体外发展若考虑体内平移，则常常通过作出中位线达到平移目的，从而有：图 7-3 解法 1设、 、 的中点依次为、
15、，连结 PH、显然有（12） ，（12） ，则即为所求异面直线所成的角连结PF，并设 BB 1，则正三棱柱的底面边长为 易求得（ 2） 取 BC 的中点 E，连结 PE、易知是12 在中，求得 （32） 显然有 故90，选 若考虑体外平移，则可通过补面或补体来实现平移从而又有如下两种方法： 解法 2如图 7-4，延长 AB 到 D，使，作 ，连 B 、 图 7-4 ， 则 即为所求异面直线所成的角 易求得 ， 2 60 又 ， 90 解法 3可从 B 作一射线与 BC 平行，由于这样一条射线虽然位置确定，并在侧面 BB 所在平面上，但却位于已知三棱柱外面，因而无法寻求与已知条件的联系为了解决这
16、一难点，可在已知三棱柱的下面作一个同样的三棱柱 作直三棱柱 - ，使 为 之中点（图 7-5），连结 、 ，图 7-5 ， ，则 即为所求异面直线所成的角 易求得 90 究竟选择体内还是体外平移，应“因图而异”，总之以简洁、直观为宜若能注意到知识间的相互渗透，本题也可通过建立直角坐标系，利用解析法求解，请读者不妨一试 例 3 正四面体 ABCD 的棱长为 a,E 为 CD 上一点，且 CEED12，求异面直线 AE 与 BC 间的距离讲解：求异面直线间的距离通常有三种方法，一是定义法，二是公式法，三是转化法这里宜用方法三异面直线间的距离可转化为平行线面间的距离，进而可以转化为点到面的距离，再用
17、等体积法求解如图 7-6，在面 BCD 内过点 E 作 EFBC 交 BD 于 F连结 AF，则 BC面 AEF，所以异面直线 BC 与 AE间的距离就等于 BC 到平面 AEF 的距离，也就等于点 B 到平面 AEF 的距离，设其为 d，连结 BE，设正四面体的高为 h.13图 7-6V B-AEF - ，（13）S AEF d=（13）S BEF h，d=（S BEF hS AEF ）.过点 A 作 AO面 BCD 于 O，DEEC21 且 EFBC，O 必在 EF 上h=（ 3）a，易求得 EF=（23）a，S AEF （12）EFAO（ 9）a ，S BEF （ 18）a ，d=（ 6
18、）a.即异面直线 AE 与 BC 间的距离为（ 6）a.用等体积法求点到面的距离，首先应构造以该点为顶点，以该平面内某个三角形为底面的三棱锥其次求体积时，一般需换底面，换底面应本着新的底面上的高容易求出的原则三、专题训练1、是异面直线，过不在、上的任一点， 一定可作一条直线，使与、都相交； 一定可作一条直线，使与、都垂直； 一定可作一条直线，使与、都平行； 一定可作一条直线，使与、都异面 其中正确的个数是（ ） 0 1 2 32 如图 7-7，正三棱锥-中，D、E、F 分别是、的中点，P 为 VB 上任意一点，则直线 DE 与 PF 所成的角的大小是（ ）图 7-7 6 3 214 2 随 P
19、 点的变化而变化 3 将锐角 B 为 60，边长为 a 的菱形 ABCD 沿对角线折成二面角 ，若 60，120，则两条对角线之间的距离的最值为（ ）Ad max=（32）a,d min=（ 4）aBd max=（34）a,d min=（ 4）aCd max=（ 4）a,d min=（14）aDd max=（ 2）a,d min=（34）a4 图 7-8 是正方体的平面展开图，在这个正方体中，与 ED 平行；CN 与 BE 是异面直线；CN 与 BM 成 60角；DM 与 BN 垂直图 7-8 以上四个命题中，正确命题的序号是（ ） 5如图 7-9，正三棱锥 S-ABC 的侧棱与底面边长相等如
20、果 E、F 分别为 SC、AB 的中点，那么异面直线 EF 与 SA 所成的角等于_.图 7-96空间四边形 ABCD 中，、分别为 AB、CD 的中点，又 MN 和 AD 成 30角，则 AD和 BC 所成角的度数是_ 7异面直线、所成的角为 （0（2）， ， ， ， ，若，则 _8如图 7-10，不共面的三条直线、相交于 P，、B，c， 且、均异于 P证明：直线 AD 与 BC 异面2图 7-109如图 7-11，拼接一副三角板，使它们有公共边 BC，且使两个三角板所在平面互相垂直若CAB90，90，60，求 AD 与 BC 所成的角图 7-1110 已知、是两条异面直线，那么空间是否存在
21、这样的直线，使上任意一点 P 到、的距离都相等若存在，给出证明，若不存在，说明理由惠州市第一中学立体几何（异面直线）测试题一选择题：1直线 a, b 是异面直线是指 ab= , 且 a 与 b 不平行； a 面 ，b 面 ，且平面 = ； a面 ，b 面 ，且 ab= ； 不存在平面 ，能使 a 且 b 成立。上 述结论正确的有（A） （B） （C） （D）2直线 a, b 都垂直于直线 l，则直线 a, b 的位置关系是（A）平行 （B）相交 （C）异面 （D）三种可能都有3两条异面直线的距离是（A）和两条异面直线都垂直相交的直线 （B）和两条异面直线都垂直的线段（C ）它们的公垂线夹在垂足间的线段长 （D）两条直线上任意两点间的距离4若 a, b 是异面直线，c 是 a, b 的公垂线，d/c, 则 d 和 a, b 的公共点的个数是（A）1 （B）最多为 1 （C）2 （D）1 或 25若两条直线 a, b 异面垂直，两条直线 b, c 也异面垂直，则 a, c 的位置关系是
