1、1空间向量期末复习知识要点:1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示 奎 屯王 新 敞新 疆 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。2. 空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图） 。; ;OBAabBAOab()PaR运算律：加法交换律： 加法结合律： )()(cc数乘分配律：3. 共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量， 平行于 ，记作 。aba/当我们说向量 、 共线（或
2、/ ）时，表示 、 的有向线段所在的直线可能是ab同一直线，也可能是平行直线。（2）共线向量定理：空间任意两个向量 、 （ ） ， / 存在实数 ，使0 。ab4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果两个向量 不共线， 与向量 共面的条件是存在实,abp,ab数 使 。,xypayb5. 空间向量基本定理：如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个,cp唯一的有序实数组 ，使 。,xzpxyz若三向量 不共面，我们把 叫做空间的一个基底， 叫做基向量，空c,ab,abc间任意三个不共面的向量都
3、可以构成空间的一个基底。推论：设 是不共面的四点，则对空间任一点 ，都存在唯一的三个有序实,OABCP数 ，使 。,xyzPxyzO6. 空间向量的数量积。（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量 ，在空间任取一点 ，作,abO，则 叫做向量 与 的夹角，记作 ；且规定,aba,，显然有 ；若 ，则称 与 互相垂直，记作：0,b,2b。（2）向量的模：设 ，则有向线段 的长度叫做向量 的长度或模，记作：OAaOAa2。|a（3）向量的数量积：已知向量 ，则 叫做 的数量积，记,ab|cos,ab,作 ，即 。b|cosab（4）空间向量数量积的性质： 。 。 。|,ee 02|（5）空间向
4、量数量积运算律： 。 （交换律） 。()()()ababba （分配律） 。cc7.空间向量的坐标运算：(1).向量的直角坐标运算设 ， 则a123(,)b123(,)(1) ； (2) ；abab123(,)ab(3) (R)； (4) ；123, (2).设 A ，B ，则 = .(,)xyz2(,)xyzABO2121,xyz(3).设 ， ，则1arbr=2|12； .bP(0)abr0r12120xyz(4).夹角公式 设 ， ，123,a123(,)则 .cos,ba(5)异面直线所成角= .s|,|br1212| |xyza r(6).直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线 l
5、 的方向向量为 e，平面 的法向量为 n，直线 l 与平面 所成的角为 ，两向量 e 与 n 的夹角为 ，则有 sin |cos | .|ne|n|e|(7). 二面角的求法(1)如图，AB，CD 是二面角 l 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 ， ABCD(2)如图，n 1，n 2分别是二面角 l 的两个半平面 ， 的法向量，则二面角的大小 n 1，n 2或 n1，n 2 32121,cosn练习题：1已知 a(3,2,5)，b(1，x，1)且 ab2，则 x 的值是 ( )A3 B4 C5 D62已知 a(2,4,5)，b(3， x，y) ，若 a b，则( )Ax6，y15
6、 Bx 3，y152Cx 3，y 15 Dx 6，y1523已知空间三点 A(0,2,3)，B(2,1,6) ，C (1，1,5)若|a| ，且 a 分别与 ， 垂3 AB AC 直，则向量 a 为( )A(1,1,1)B(1，1，1)C(1,1,1) 或(1，1，1)D(1，1,1)或( 1,1，1)4若 a(2，3,5)，b( 3,1，4) ，则| a2b|_.5如图所示，已知正四面体 ABCD 中，AE AB，CF CD，则直线 DE 和 BF 所成角的余弦值为14 14_4. 258解析 a2b(8，5,13)，|a 2 b| .82 52 132 2585.413解析 因四面体 AB
7、CD 是正四面体，顶点 A 在底面 BCD 内的射影为BCD 的垂心，所以有 BCDA，AB CD .设正四面体的棱长为 4，则 ( )( )BF DE BC CF DA AE 0 0BC AE CF DA 41cos 12014cos 1204，BFDE ，42 12 241cos 60 13所以异面直线 DE 与 BF 的夹角 的余弦值为：cos .41346.如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，设a ， b， c，M ，N，P 分别是 AA1，BC，C 1D1 的中点，试用 a，b，c 表示1ABAD以下各向量：(1) ；P(2) ；1N(3) .1C解：(1)P 是
8、C1D1 的中点， APa 12ac12ABac b.12(2)N 是 BC 的中点， ab1ABN12BCab ab c.12 D12(3)M 是 AA1 的中点， PA12 AP a a bc，12 (a c 12b) 12 12又 1NC112BC1A ca，12AD112 MP1NC(12a 12b c) (a 12c) a b c.32 12 327.已知直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABC 为等腰直角三角形，BAC 90 ，且AB AA1，D，E，F 分别为 B1A，C 1C，BC 的中点5(1)求证：DE 平面 ABC；(2)求证：B 1F平面 AEF.证明：以 A 为原点，
9、AB ，AC，AA 1 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，令 AB AA14，则 A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B 1(4,0,4)，D(2,0,2)，A1(0,0,4)，(1) (2,4,0)，平面 ABC 的法向量为 (0,0,4)，DE1A 0，DE平面 ABC，1ADE平面 ABC.(2) ( 2,2，4)， (2 ，2，2)，1BFEF (2)22( 2)(4) (2) 0，E ，B 1FEF ，1 (2)222(4) 00，FA ， B 1FAF.1AFEFF，B 1F平面 AEF.8.如图所示，在四棱锥 PABCD
10、 中，PC平面 ABCD，PC2，在四边形 ABCD 中，BC 90，AB4，CD1，点 M 在 PB 上，PB 4PM，PB 与平面 ABCD 成 30的角求证：(1)CM平面 PAD；(2)平面 PAB平面 PAD.证明：以 C 为坐标原点，CB 为 x 轴，CD 为 y 轴，CP 为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz.6PC平面 ABCD，PBC 为 PB 与平面 ABCD 所成的角，PBC30，PC2，BC2 ，PB4，3D(0,1,0)，B(2 ，0,0)，A(2 ，4,0)，P(0,0,2)，M ，3 3 (32，0，32) (0，1,2)， (2 ，3,0)，PD3
11、.CM(32，0，32)(1)设 n(x，y，z)为平面 PAD 的一个法向量，由Error!即Error!令 y2，得 n( ，2,1)3n 20 1 0，CM332 32n .又 CM平面 PAD，CM平面 PAD.(2)如图，取 AP 的中点 E，连接 BE，则 E( ，2,1) ， ( ， 2,1)3 B3PBAB，BEPA .又 ( ，2,1)(2 ，3,0)0，DA3 3 . BEDA.又 PADA A，BE平面 PAD.又BE平面 PAB，平面 PAB平面 PAD.9. 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 为 AB 的中点(1)求直线 AD 和直线 B1C 所成角的
12、大小；(2)求证：平面 EB1D平面 B1CD.7解：不妨设正方体的棱长为 2 个单位长度，以 DA，DC，DD 1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz.根据已知得：D(0,0,0) ，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，B 1(2,2,2)(1) (2,0,0) ， (2,0,2)，cos ， .1CDA1| 22直线 AD 和直线 B1C 所成角为 .4(2)证明：取 B1D 的中点 F，得 F(1,1,1)，连接 EF.E 为 AB 的中点， E(2,1,0)， (1,0,1)， (0,2,0)，F 0 ， 0，C1EFDC，EF C
13、B 1.DCCB 1C，EF平面 B1CD.又EF平面 EB1D，平面 EB1D平面 B1CD.10 如图，直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在的平面互相垂直AB CD，AB BC，AB2CD2BC ，EA EB.(1)求证：ABDE；(2)求直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值；(3)线段 EA 上是否存在点 F，使 EC平面 FBD？若存在，求出 ；若不存在，请说EFEA明理由解：(1)证明：取 AB 的中点 O，连接 EO，DO.因为 EBEA，所以 EOAB.因为四边形 ABCD 为直角梯形8AB2CD2BC，AB BC，所以四边形 OBCD 为正方形，所以 ABO
14、D.因为 EODO O，所以 AB平面 EOD，所以 ABED.(2)因为平面 ABE平面 ABCD，且 EOAB，所以 EO平面 ABCD，所以 EOOD.由 OB，OD ，OE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.因为三角形 EAB 为等腰直角三角形，所以 OAOB ODOE ，设 OB1，所以 O(0,0,0)， A(1,0,0)，B(1,0,0) ，C (1,1,0)，D(0,1,0)，E(0,0,1)所以 (1,1，1) ，E平面 ABE 的一个法向量为 (0,1,0)OD设直线 EC 与平面 ABE 所成的角为 ，所以 sin |cos ， | ，EC| 33即直线 E
15、C 与平面 ABE 所成角的正弦值为 .3311.(12 分)如图，在底面是矩形的四棱锥 PABCD 中，PA 平面ABCD，PAAB2，BC4，E 是 PD 的中点(1)求证：平面 PDC平面 PAD；(2)求点 B 到平面 PCD 的距离21.(1)证明 如图，以 A 为原点，AD 、AB 、AP 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则依题意可知 A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(4,2,0)，D(4,0,0)，P(0,0,2) (4,0，2)， (0，2,0) ， (0,0，2)PD CD PA 设平面 PDC 的一个法向量为 n( x，y,1) ，9则 E
16、rror!Error!所以平面 PCD 的一个法向量为 .(12，0，1)PA平面 ABCD，PAAB ，又ABAD ，PAADA，AB平面 PAD.平面 PAD 的法向量为 (0,2,0)AB n 0， n .AB AB 平面 PDC平面 PAD.(2)解 由(1)知平面 PCD 的一个单位法向量为 .n|n| ( 55，0，255) ，|4，0，0( 55，0，255)| 455点 B 到平面 PCD 的距离为 .45512 如图所示，在多面体 ABCDA1B1C1D1 中，上、下两个底面 A1B1C1D1 和 ABCD 互相平行，且都是正方形，DD 1底面 ABCD，AB2A 1B12D
17、D 12a.(1)求异面直线 AB1 与 DD1 所成角的余弦值；(2)已知 F 是 AD 的中点，求证： FB1平面 BCC1B1；(3)在(2)的条件下，求二面角 FCC1B 的余弦值解：以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DD 1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，则 A(2a，0,0) ，B(2a,2a,0)， C(0,2a,0)，D 1(0,0，a)，F (a,0,0)，B1(a，a，a)， C1(0，a，a)(1) (a，a，a)， (0,0 ，a)，A1|cos ， | ，1D| 33异面直线 AB1 与 DD1 所成角的余弦值为 .3
18、310(2)证明： (a，a，a)， (2a,0,0)， (0，a，a) ，1BBC1FBError!FB 1BB 1，FB 1BC.BB 1BCB，FB 1平面 BCC1B1.(3)由(2)知， 为平面 BCC1B1 的一个法向量F设 n(x 1，y 1，z 1)为平面 FCC1 的法向量， (0 ， a，a)， (a,2a,0) ，CCError!得Error!令 y11，则 n(2,1,1)，cos ，n ，1FBn|n| 33二面角 FCC1B 为锐角，二面角 FCC1B 的余弦值为 .3313 如图， 四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中， 侧棱 A1A底面ABCD， ABDC，AB AD，AD CD1，AA 1AB2，E 为棱AA1 的中点(1)证明：B 1C1CE; (2)求二面角 B1CEC1 的正弦值(3)设点 M 在线段 C1E 上， 且直线 AM 与平面 ADD1A1 所成角的正弦值为 ，求线段26AM 的长解：法一：如图，以点 A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得 A(0,0,0)， B(0,0,2)，C(1,0,1)，B 1(0,2,2)，C 1(1,2,1)，E(0,1,0)(1)证明：易得 (1,0，1) ， (1,1，1) ，于是1E 0，所以 B1C1CE .1C(2) (1，2，1)1
