1、1线性代数 B 复习资料（2014） (一) 单项选择题1设 A，B 为 n 阶方阵，且 ，则下列各式中可能不成立的是（ A ）EA2(A) (B) (C) (D)11B1ABEB2)(2若由 AB=AC 必能推出 B=C（A ，B，C 均为 n 阶矩阵）则 A 必须满足（ C ）(A)AO (B)A=O (C) (D) 003A 为 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵 B，使 AB=BA=A，则（ D ）(A) B 为单位矩阵 (B) B 为零方阵 (C) (D) 不一定14设 A 为 nn 阶矩阵，如果 r(A)1， ) 线性相关，则（ C ）由 线性s,21 1 121,i表出。(A)每个
2、都能 (B) 每个 都不能 )(i )1(i(C) 有一个 能 (D) 某一个 不能1i i13.设 的第一列的 倍加BAA， 再 将到的 第 二 行 加 到 第 一 行 得阶 矩 阵 ， 将为 3 )1(到第 2 列得到 B， 记 10P则： 1 1()BACPACAP （ ）TTD）（14. 若向量组 线性无关; 线性相关,则( C ),(A) 必可由 线性表示. (B) 必不可由 线性表示,(C) 必可由 线性表示. (D) 必不可由 线性表示., 315下列命题正确的是( D )(A) 若向量组线性相关 , 则其任意一部分向量也线性相关(B) 线性相关的向量组中必有零向量(C) 向量组
3、中部分向量线性无关, 则整个向量组必线性无关(D) 向量组中部分向量线性相关, 则整个向量组必线性相关16设向量组 的秩为 r，则 Ds,21(A) 必定 rs, 则( D)(A) ()线性无关 (B) () 线性相关 (C) () 线性无关 (D) () 线性相关32设 是 n 个 m 维向量，且 nm, 则此向量组 必定( A ),21 n,21(A) 线性相关 (B) 线性无关 (C) 含有零向量 (D) 有两个向量相等33矩阵 A 适合条件（ D ）时，它的秩为 r(A)A 中任何 r+1 列线性相关 (B) A 中任何 r 列线性相关 (C) A 中有 r 列线性无关 (D) A 中
4、线性无关的列向量最多有 r 个34若 mn 阶矩阵 A 中的 n 个列线性无关 则 A 的秩（ C ）(A)大于 m (B)大于 n (C)等于 n (D) 等于 m35若矩阵 A 中有一个 r 阶子式 D0，且 A 中有一个含 D 的 r+1 阶子式等于零，则一定有 R（A） （ A ）(A) r (B)r (C)=r (D) =r+136要断言矩阵 A 的秩为 r，只须条件（ D ）满足即可(A) A 中有 r 阶子式不等于零(B) A 中任何 r+1 阶子式等于零(C) A 中不等于零的子式的阶数小于等于 r(D) A 中不等于零的子式的最高阶数等于 r37. 设 mn 阶矩阵 A，B
5、的秩分别为 ，则分块矩阵（A ，B ）的秩适合关系式（ A 21,）(A) (B) (C) (D) 21r21r21r21r38R(A)=n 是 n 元线性方程组 AX=b 有唯一解( C )6(A)充分必要条件 (B) 充分条件 (C) 必要条件 (D) 无关的条件39矩阵 A= 的特征值为 0,2, 则 3A 的特征值为( B )1(A) 2,2; (B) 0,6; (C) 0,0; (D) 2,6;40A= ， 则 的特征值为（ B ）2AI(A) 2,2; (B) 2,-2; (C) 0,0; (D) 4,-4;41 , 是 A,B 的一个特征值, 是 A 的关于 的特征向量, 则 B
6、 的关于 的AP1000特征向量是( C )(A) (B) (C) (D) 1PP42A 满足关系式 ，则 A 的特征值是 COE2(A) =2 (B) = 1 (C) = 1 (D) = 2 是 43已知2 是 A= 的特征值，其中 b0 的任意常数，则 x=（ D ）bx20(A) 2 (B) 4 (C) 2 (D) 444已知矩阵 A= 有特征值 ，则 x=（ D ）x1712,321(A) 2 (B) 4 (C) 2 (D) 4（提示：用特征值的和等于迹的结论来做较简单，迹的向定义见计算题与填空题 17）45设 A 为三阶矩阵，已知 ， ， ，则 A0EA003EAE4(A) 6 (B
7、) 4 (C) 2 (D)446. 设 A 为三阶矩阵，有特征值为 1，-1 ，2，则下列矩阵中可逆矩阵是（ D ）(A) E-A (B) E+A (C) 2E-A (D) 2E+A（二）计算题与填空题1 ，则 （ ） 0653IA1（ ）272设 A 是 矩阵, ,则 _2_43,2AR120BBAR3. 设 为 3 阶矩阵，且 , 则行列式 _ （-1/2 ）| |3|4. 当 时, 向量组 线性123,05,10,TTTtt t02321,无关.5设 （ ）时 可被向量,1,2,1 TTTk k组 线性表出。 （-8 ）21,6. 301021答案：1034927. 设 则 是否.1,1
8、,1,21 321 TTTT 为向量组 的线性组合？ （是）3,8 确定 ba,为何值时，使下列非齐次线性方程组有解，并求其所有解.bxx432143217015. 答： 当 ,ba时，解为820173021c，其中 21,c为任意非零常数;当 4,1ba时，解为207k，其中 k为任意常数;方程组不存在唯一解.9已知 ，矩阵 满足 ，其中 是 的伴随矩阵，1AX*12AX*A求矩阵 .X答 ：10410 求下列矩阵的特征值与特征向量.（1） 102(2) 1203.答案： (1) 123,，对应于 的全部特征向量是 10,Tk， 01k；对应于 2的全部特征向量是 2， 2；对应于 3的全部
9、特征向量是 3,Tk， 3k.(2) 120,1,对应于 1的全部特征向量是 1k， 为非零常数；9对应于 132的全部特征向量为 032k， 23,k是不同时为零的常数；11.三阶矩阵 的特征值为 ,则 的特征值A,1321*2;,AA为( ). (6; 2, );31,2,6.39,2412. 设矩阵 kA10有一个特征向量为 12，求 k及 A的三个特征值.答案： 3k， 的三个特征值为 ,34.13已知向量组 TTTTT a7,403,61,8,21,75,1,21, 543 的秩为 3，求 a及该向量组的一个极大无关组，并用该极大无关组表示其余向量。答案： 421, 为一个极大无关组
10、， 3124,5014 设向量组 kkk,21,321 ，(1) k为何值时， 线性相关？线性无关？(2) 为何值时， 321,线性相关？线性无关？(3) 当 321,线性相关时，将 3表示为 21,的线性组合.答案：(1) k时线性相关， k时线性无关；(2) ,或 时线性相关； 且 k且 时线性无关；(3) 当 1时， 2130；当 时， 21345.15 设 使得方程组 总有解的 是( ). (,120AbAX10)123201kk16. 已知向量 是矩阵 的逆矩阵 的特征向量，求常数Tk),(21A1Ak答案： 1,217矩阵 35的迹为 。 （7）A定义：对于 阶方阵 ，矩对角线元素
11、之和称为方阵 的迹，记为 trA，即n()ijAa AnatrA21，定义 2.15 如果矩阵 经过有限次初等变换变成矩阵 B， 则称矩阵 与 B等价，记作B（三）证明题：1. 设 A为 nm矩阵， B为 s矩阵，且 0AB，证明 nBrA.证 设 ，则 ，由 得12(,)s 12(,)s 0，所以矩阵 的列向量都是方程组 x的解.0i设 rA，如 ，则结论显然成立. 如 nr，则方程组 A仅有零解，故B，从而有 nB.如 nr0，则方程组 0Ax的基础解系中有 r个线性无关解向量.由于 B的列都能由基础解系线性表示，由定理 3.12 知， nBr，所以rrA.2. 证明：对任意矩阵 A，有 TrA.证 设 为 nm矩阵， x为 维列向量，如果 x满足 0A，则有 0xT，即 0T，反之，如果 A，则 A，即 T，从而 x.
