1、- 1 -2015 普通高等学校招生全国统一考试卷文科数学第一卷选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合 A=BAxBx则,30,21A.(-1，3) B.(-1，0 ) C.(0，2) D.(2，3)(2)若 a 实数，且aii则,312A.-4 B. -3 C. 3 D. 4(3)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是 2700260025002400230022002100200019002013(年 )20122011201020092008200
2、7200620052004A.逐年比较，2008 年减少二氧化碳排放量的效果最显著；B.2007 年我国治理二氧化碳排放显现成效；C.2006 年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势；D.2006 年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关。（4）已知向量 abba）则 （ 2),1(),0(A. -1 B. 0 C. 1 D. 2(5)设 项 和 ，的 前是 等 差 数 列 nSn 若 5531,S则A. 5 B. 7 C. 9 D. 11(6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 A. 81B. 7 C. 61D. 5(7)已知三点 )32
3、()0(),， CBA,则 AB外接圆的圆心到原点的距离为- 2 -A. 35B. 321C. 35D. 34(8)右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术 中的“更相减损术” 。执行该程序框图，若输入的 a,b 分别为 14,18，则输出的 a 为是 否是 否A. 0 B. 2 C. 4 D.14(9)已知等比数列24531),1(,aaan 则满 足CA. 2 B. 1 C. 2 D. 8（10）已知 A,B 是球 O 的球面上两点， 为 该 球 面 上 动 点 ，AOB,90若三棱锥 O-ABC体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为A. 36 B. 64 C. 144 D
4、.256(11)如图，长方形的边 AB=2，BC=1,O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC,CD,与 DA 运动，记的 图 像 大 致 为则数两 点 距 离 之 和 表 示 为 函到将 动 点 )(, xffBAPxBxPOD CBA开始输入 a,babb=b-aa=a-b输出 a结束a b- 3 -DCBA 34243442342222243424 XOYXYOXOYYXO（12）设函数的 范 围 是成 立 的则 使 得 xxffxxf )1(),1)ln()2A. )1,3(B. ),()3,(C. )3,1(D. ),3(),(第二卷填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分（1
5、3）已知函数 axaxf ） ， 则的 图 像 过 点 （ 4,1-2)(3。（14）若 x,y 满足约束条件的 最 大 值 为则 yxzyx2,0,。（15）已知双曲线过点 ），（ 3,4，且渐近线方程为 21，则该双曲线的标准方程为。（16）已知曲线 xyln在点（1,1）处的切线与曲线 aaxy相 切 ， 则1)2(2。解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17） （本小题满分 12 分） .2,DCBADBCA平 分上 的 点 ，是中 ，（）求;sin（）若 .,60求18. （本小题满分 12 分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从 A, B 两地区分别随机- 4 -
6、调查了 40 个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到 A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频率分布表 .400.0050.0100.035A地 区 用 户 满 意 度 评 分 的 频 率 分 布 直 方 图0.0400.0300.0250.0200.0151009080706050O 满 意 度 评 分频 率组 距B 地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组 50,60) 60,70) 70,80) 80,90) 90,100频 数 2 8 14 10 6（I）在答题卡上作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值
7、及分散程度,（不要求计算出具体值,给出结论即可）0.0050.0100.035B地 区 用 户 满 意 度 评 分 的 频 率 分 布 直 方 图0.0400.0300.0250.0200.0151009080706050O 满 意 度 评 分频 率组 距（II）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分满意度等级 不满意 满意 非常满意估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.19. （本小题满分 12 分）如图,长方体 1ABCD中 AB=16,BC=10, 18A,点 E,F分别在 11,ABDC
8、 上, 14.EF过点 E,F 的平面 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.- 5 -FED1 C1B1A1 D CBA（I）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由） ；（II）求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值.20. （本小题满分 12 分）已知椭圆2:10xyCab的离心率为2,点 在 C 上.（I）求 C 的方程；（II）直线 l 不经过原点 O,且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 中点为 M,证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率乘积为定值.21. （本小题满分 12 分）已知 ln1fxax.（I）讨论 fx的单调性；（II）当 有最大值,
9、且最大值大于 2a时,求 a 的取值范围 .请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号22. （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图 O 是等腰三角形 ABC 内一点, O 与ABC的底边 BC 交于 M,N 两点,与底边上的高交于点 G,且与 AB,AC 分别相切于 E,F 两点.（I）证明 EF BC.（II）若 AG 等于O 的半径,且 23AEMN ,求四边形 EDCF 的面积.23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xy中,曲线1cos,:inxtCy（t 为参数 ,且 0t ）,其
10、中 ,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 ,曲线 23:sin:2cos.C NMGOFED CBA- 6 -（I）求 2C与 3交点的直角坐标；（II）若 1与 相交于点 A, 1C与 3相交于点 B,求 AB最大值.24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式证明选讲设 ,abcd 均为正数,且 abcd.证明：（I）若 ,则 ；（II） abc是 c的充要条件.2015 普通高等学校招生全国统一考试卷文科数学答案一、选择题1、选 A2、解：因为 .4,2)1(3aiiai 所 以 故选 D3、选 D4、选 B5、解：在等差数列中，因为 .,52)(,1,33515353
11、1 AaaSa 故 选所 以 6、解：如图所示，选 D.7、解：根据题意，三角形 ABC 是等边三角形，设外接圆的圆心为 D，则 D（1， 3）所以，.27341O故选 B.8、解：18-14=4,14=4=10,10-4=6,6-4=2,4-2=2,所以 a=b=2，故选 B.9、解：因为),1(4,153aan满 足所以， .214,2,2),(4 1231442 qaqa 所 以， 所 以又解 得故选 C.- 7 -10、解：因为 A,B 都在球面上，又 为 该 球 面 上 动 点 ，CAOB,90所以三棱锥的体积的最大值为361231R，所以 R=6，所以球的表面积为S= 42R ，故
12、选 C.11、解：如图，当点 P 在 BC 上时， ,tan4ta,t,22xxBPAAO当 4x时取得最大值 51，以 A,B 为焦点 C,D 为椭圆上两定点作椭圆，显然，当点 P 在 C,D 之间移动时 PA+PB51.又函数 )(xf不是一次函数，故选 B.12、解：因为函数时 函 数 是 增 函 数是 偶 函 数 ， ),0,1)ln()2xxf .13,)(,2)12() xfxf 解 得故选 A.二、填空题13、答：a=-214、解：当 x=3,y=2 时，z=2x+y 取得最大值 8.15、解：设双曲线的方程为 .43,4),0(42 kkyx） 代 入 方 程 ， 解 得，点
13、（12双 曲 线 的 标 准 方 程 为16、解：.12,1 xyxy， 切 线 方 程 为切 线 的 斜 率 为.80.8,0 ,01)2(222 a xyaxxa所 以 与 切 线 平 行 ， 不 符 。时 曲 线 为或解 得由 联 立 得与将解答题17、解：（）由正弦定理得,sinABCxPOD CBA- 8 -再由三角形内角平分线定理得，21BDCA.21sinB（） 0,60BAC.30,tan ,sin2)1sin(,i2sin.21si1B展 开 得） 得由 （18、解：（1）B 地区频率分布直方图如图所示0.0050.0100.035B地 区 用 户 满 意 度 评 分 的 频
14、 率 分 布 直 方 图0.0400.0300.0250.0200.0151009080706050O 满 意 度 评 分频 率组 距比较 A,B 两个地区的用户，由频率分布直方图可知：A 地区评分均值为 45x0.1+55x0.2+65x0.3+75x0.2+85x0.15+95x0.05=67.5 分B 地区评分均值为 55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.25+95x0.15=76.5 分A 地区用户评价意见较分散， B 地区用户评价意见相对集中。（2）A 地区的用户不满意的概率为 0.3+0.2+0.1=0.6，B 地区的用户不满意的概率为 0.05+0.20=0.2
15、5，所以 A 地区的用户满意度等级为不满意的概率大。19、解：（I）在 AB 上取点 M,在 DC 上取点 N，使得AM=DN=10,然后连接 EM,MN,NF,即组成正方形 EMNF，即平面 。（II）两部分几何体都是高为 10 的四棱柱，所以体积之比等于底面积之比，即 .9712604121EMBASV20、解、 （I）如图所示，由题设得,2ac又点的坐标满足椭圆的方程，所以142b，FED1 C1B1A1 D CBAC(2, 2)YXOMBA- 9 -联立解得： .148,4,822 yxCba的 方 程 为 ：所 以 切 线（II）设 A,B 两点的坐标为 .,21 mnkMyxyx
16、o）的 坐 标 为 （点） ， （ ,8,822则上面两个式子相减得： .2121.0)()( 222121 nmyxxyxy 变 形 得 .)(12mnnkoml（定值）21、解：已知 lfxax. .),1()1,0)(0.)(1 上 是 减 函 数上 是 增 函 数 ， 在在 （时 ， 函 数当 ） 上 是 增 函 数 ；，在 （时 ， 函 数当 aaxfaf（II）由（1）知，当.ln1)()( aafxf 时 取 得 最 大 值在时 ， 函 数 .01ln,2lnaaa整 理 得由 .1,0(,),(,0)1( ),l ）即上 述 不 等 式 即函 数 。 又 ） 是 增，在 （）（
17、则设 agg xgxxgx选做题：22、 （I）证明：由切线的性质得 AE=AF，所以AEF 是等腰三角形，又 AB=AC,所以EFABCACFBE, .（II）解： , ROGO则连 接 2)32(4,22 MRA，NMGOFED CBA- 10 -.,6030, 310cos5121,21 都 是 等 边 三 角 形， AEFBCBADABOE DROMN .316sin32sin212 CFS四 边 形23.在直角坐标系 xy中,曲线1co,:sixtCy（t 为参数 ,且 0t ）,其中 ,在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 ,曲线 23:sin:2cos.C （I）求
18、2C与 3交点的直角坐标；（II）若 1与 相交于点 A, 1C与 3相交于点 B,求 AB最大值.解：（I）曲线 2:sin,:2cos. 的直角坐标方程是.0;0: 221 xyxyxC .230,.23.,21 ），、 （）交 点 的 直 角 坐 标 为 （联 立 解 得 Cy（II）曲线 .1 ），（的 极 坐 标 方 程 为 RC.465.)3sin(co32sin ,cos2,i取 得 最 大 值 ， 最 大 值 为时 ，当所 以 ）的 极 坐 标 为 （点）的 极 坐 标 为 （因 此 点 ABB24、证明：（I）因为 ,2,222 cddcabba ）（由题设知 .,cdba（II） （必要性） .4)(4)(,)()(, 2222 cdabbac 变 形 得则若 .1, dcbadba ） 得由 （充分性）若 22,cb则
