1、 1排列与组合的八大典型错误、24 种解题技巧和三大模型总论：一、知识点归纳二、常见题型分析三、排列组合解题备忘录1分类讨论的思想2.等价转化的思想3.容斥原理与计数4.模型构造思想四、排列组合中的 8 大典型错误1没有理解两个基本原理出错2.判断不出是排列还是组合出错3.重复计算出错4.遗漏计算出错5.忽视题设条件出错6. 未考虑特殊情况出错7题意的理解偏差出错87.解题策略的选择不当出错五、排列组合 24 种解题技巧1排序问题相邻问题捆绑法相离问题插空排定序问题缩倍法（插空法）定位问题优先法多排问题单排法圆排问题单排法可重复的排列求幂法全错位排列问题公式法2分组分配问题平均分堆问题去除重复
2、法（平均分配问题）相同物品分配的隔板法全员分配问题分组法有序分配问题逐分法3排列组合中的解题技巧至多至少间接法染色问题合并单元格法交叉问题容斥原理法构造递推数列法六排列组合中的基本模型分组模型（分堆模型）错排模型染色问题2一知识点归纳 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 1排列的概念：从 个不同元素中，任取 （ ）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的nmn顺序排成一列，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列 奎 屯王 新 敞新 疆2排列数的定义：从 个不同元素中，任取 （ ）个元素的所有排列的个数叫做从 个元素中取n出 元素的排列数，用符号 表示
3、 奎 屯王 新 敞新 疆mnA3排列数公式： （ ）(1)2(1)n ,nNm4 奎 屯王 新 敞新 疆 阶乘： 表示正整数 1 到 的连乘积，叫做 的阶乘 奎 屯王 新 敞新 疆 规定 ! 0!15排列数的另一个计算公式： = 奎 屯王 新 敞新 疆 奎 屯王 新 敞新 疆mnA!()6 奎 屯王 新 敞新 疆 组合的概念：一般地，从 个不同元素中取出 个元素并成一组，叫做从 个不同元素中取出nn个元素的一个组合 奎 屯王 新 敞新 疆m7组合数的概念：从 个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素n中取出 个元素的组合数用符号 表示mnC8组合数公式： (1)2(1)!m
4、nA或 奎 屯王 新 敞新 疆 奎 屯王 新 敞新 疆)!(Cmn),nN且9 奎 屯王 新 敞新 疆 组合数的性质 1： 规定： ；mnC10n10组合数的性质 2： + 奎 屯王 新 敞新 疆n11;02413512nnnC 012nC11.“16 字方针”是解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合， 。12.“1 个技巧”是迅速解决排列组合的捷径二基本题型讲解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 例 1 分别求出符合下列要求的不同排法的种数（1）6 名学生排 3 排，前排 1 人，中排 2 人，后排 3 人；（2）6 名
5、学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；（3）从 6 名运动员中选出 4 人参加 4100 米接力赛，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒；（4）6 人排成一排，甲、乙必须相邻；（5）6 人排成一排，甲、乙不相邻；（6）6 人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边（甲、乙、丙可以不相邻） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解：（1）分排坐法与直排坐法一一对应，故排法种数为 706A3（2）甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有 种选法，然后其他 5 人选，有 种选法，故排14A5A法种数为 48051A（3）有两棒受限制，以第一棒的人选来分类：乙跑第一棒，其余棒次则不受限制，排法
6、数为 ；35乙不跑第一棒，则跑第一棒的人有 种选法，第四棒除了乙和第一棒选定的人外，也有 种选法，其14A 14A余两棒次不受限制，故有 种排法，214由分类计数原理，共有 种排法535（4）将甲乙“捆绑”成“一个元”与其他 4 人一起作全排列共有 种排法2405A（5）甲乙不相邻，第一步除甲乙外的其余 4 人先排好；第二步，甲、乙选择已排好的 4 人的左、右及之间的空挡插位，共有 （或用 6 人的排列数减去问题（2）后排列数为 ）254A 86（6）三人的顺序定，实质是从 6 个位置中选出三个位置，然后排按规定的顺序放置这三人，其余 3 人在3 个位置上全排列，故有排法 种103C点评：排队
7、问题是一类典型的排列问题，常见的附加条件是定位与限位、相邻与不相邻 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j例 2 假设在 100 件产品中有 3 件是次品，从中任意抽取 5 件，求下列抽取方法各多少种？（1）没有次品；（2）恰有两件是次品；（3）至少有两件是次品 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解：（1）没有次品的抽法就是从 97 件正品中抽取 5 件的抽法，共有 种40597C（2）恰有 2 件是次品的抽法就是从 97 件正品中抽取 3 件，并从 3 件次品中抽 2 件的抽法，共有种430397C（3）至少有 2 件次品的抽法，按次品件数来分有二类：第一类，从 97
8、 件正品中抽取 3 件，并从 3 件次品中抽取 2 件，有 种 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j397C第二类从 97 件正品中抽取 2 件，并将 3 件次品全部抽取，有 种 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j3按分类计数原理有 种 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j49797397C点评：此题是只选“元”而不排“序”的典型的组合问题，附加的条件是从不同种类的元素中抽取，应当注意：如果第（3）题采用先从 3 件次品抽取 2 件（以保证至少有 2 件是次品） ，再从余下的 98 件产品中任意抽取 3 件的抽法，那么所得结果是 种，其结论是错误的，错在“
9、重复”：假设83983 件次品是 A、B、C，第一步先抽 A、B 第二步再抽 C 和其余 2 件正品，与第一步先抽 A、C （或 B、C） ，第二步再抽 B（或 A）和其余 2 件正品是同一种抽法，但在算式 中算作 3 种不同抽法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j398例 3 求证： ；mnmn11 121mnmn证明：利用排列数公式4左 1!1!nmn右!nmnA!另一种证法：（利用排列的定义理解）从 n 个元素中取 m 个元素排列可以分成两类：第一类不含某特殊元素 的排列有amn1第二类含元素 的排列则先从 个元素中取出 个元素排列有 种，然后将 插入，共有11mnAam
10、个空档，故有 种，1mnA因此 n11利用组合数公式左 !2!1! mnnmm 1!1! n右 12!122! mnCnmnm另法：利用公式 推得1nnC左 右 1211 mnmmmnC点评：证明排列、组合恒等式通常利用排列数、组合数公式及组合数基本性质 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j例 4 已知 是集合 到集合 的映射fdcbaA,0B（1）不同的映射 有多少个？（2）若要求 则不同的映射 有多少个？4fcf f分析：（1）确定一个映射 ，需要确定 的像dcba,（2） 的象元之和为 4，则加数可能出现多种情况，即 4 有多种分析方案，各方案独立且并列需dcba,要分类计算
11、 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解：（1）A 中每个元都可选 0,1,2 三者之一为像，由分步计数原理，共有 个不同映射 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j43（2）根据 对应的像为 2 的个数来分类，可分为三类：dba,5第一类：没有元素的像为 2，其和又为 4，必然其像均为 1，这样的映射只有一个；第二类：一个元素的像是 2，其余三个元素的像必为 0,1,1，这样的映射有 个；1234PC第三类：二个元素的像是 2，另两个元素的像必为 0，这样的映射有 个 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j由分类计数原理共有 1+12+6=19（个） 头htp
12、:/w.xjkygcom126t:/.j点评：问题（1）可套用投信模型：n 封不同的信投入 m 个不同的信箱，有 种方法；问题（2）的关n键结合映射概念恰当确定分类标准，做到不重、不漏 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j例 5 四面体的顶点和各棱的中点共 10 个点（1）设一个顶点为 A，从其他 9 点中取 3 个点，使它们和点 A 在同一平面上，不同的取法有多少种？（2）在这 10 点中取 4 个不共面的点，不同的取法有多少种？解：（1）如图，含顶点 A 的四面体的三个面上，除点 A 外都有 5 个点，从中取出 3 点必与点 A 共面，共有 种取法 头htp:/w.xjkygc
13、om126t:/.j35C含顶点 A 的棱有三条，每条棱上有 3 个点，它们与所对棱的中点共面，共有 3 种取法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j根据分类计数原理和点 A 共面三点取法共有 种 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j35（2）取出的 4 点不共面比取出的 4 点共面的情形要复杂，故采用间接法：先不加限制任取 4 点（ 种取法）减去 4 点共面的取法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j410C取出的 4 点共面有三类：第一类：从四面体的同一个面上的 6 点取出 4 点共面，有 种取法46C第二类：每条棱上的 3 个点与所对棱的中点共面，有
14、6 种取法第三类：从 6 条棱的中点取 4 个点共面，有 3 种取法根据分类计数原理 4 点共面取法共有 946C故取 4 个点不共面的不同取法有 （种）1410点评：由点构成直线、平面、几何体等图形是一类典型的组合问题，附加的条件是点共线与不共线，点共面与不共面，线共面与不共面等 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j三、排列组合解题备忘录 ： 个 不 同 的 元 素 必 须 相 邻 ， 有种 “捆 绑 ”方 法 奎 屯王 新 敞新 疆P 个 不 同 元 素 互 不 相 邻 ， 分 别 “插 入 ”到 个 “间 隙 ”中 的 个 位 置 有 种 不 同 的 “插 入 ”方mnP法
15、奎 屯王 新 敞新 疆 个 相 同 的 元 素 互 不 相 邻 ， 分 别 “插 入 ”到 个 “间 隙 ”中 的 个 位 置 ， 有种 不 同 的 “插 入 ”C方 法 奎 屯王 新 敞新 疆 若 干 个 不 同 的 元 素 “等 分 ”为 个 组 ,要 将 选 取 出 每 一 个 组 的 组 合 数 的 乘 积 除 以 m四排列组合问题中的数学思想方法（一） 分类讨论的思想：许多“数数”问题往往情境复杂，层次多，视角广，这就需要我们在分析问题时，选择恰当的切入点，从不同的侧面，把原问题变成几个小问题，分而治之，各种击破。例.已知集合 A 和集合 B 各含有 12 个元素， 含有 4 个元素
16、，求同时满足下列条件的集合 C 的个数：ABAB CDE FGMNP61） 且 C 中含有 3 个元素，2）ABCA解：如图，因为 A，B 各含有 12 个元素， 含有 4 个元素，所以 中的BAB元素有 12+12-4=20 个，其中属于 A 的有 12 个，属于 A 而不属于 B 的有 8 个，要使，则 C 中的元素至少含在 A 中，集合 C 的个数是：1）只含 A 中 1 个元素的有 ；2）含 A 中 2 个元素的有 ；3）含 A 中 3 个元素的有 ，18 218 3028C故所求的集合 C 的个数共有 + + =1084 个1820（二） 等价转化的思想：很多“数数”问题的解决，如果
17、能跳出题没有限定的“圈子” ，根据题目的特征构思设计出一个等价转化的途径，可使问题的解决呈现出“要柳暗花明”的格局。1.具体与抽象的转化例.某人射击 7 枪，击中 5 枪，问击中和末击中的不同顺序情况有多少种？分析：没击中用“1”表示，击中的用“0”表示，可将问题转化不下列问题：数列有两项为 0，5 项是 1，不同的数列个数有多少个？1234567,aa解：1）两个 0 不相邻的情况有 种，2）两个 0 相邻的情况有 种，所以击中和末击中的不同顺序情6C16C况有 + =21 种。26C12）不同的数学概念之间的转化例.连结正方体 8 个顶点的直线中，为异面直线有多少对？分析：正面求解或反面求
18、解（利用补集，虽可行，但容易遗漏或重复，注意这样一个事实，每一个三棱锥对应着三对异面直线，因而转化为计算以正方体顶点，可以构成多少个三棱锥）解：从正文体珠 8 个顶点中任取 4 个，有 种，其中 4 点共面的有 12 种， （6 个表面和 6 个对角面）将48C不共面的 4 点可构一个三棱锥，共有 -12 个三棱锥，因而共有 3（ -12）=174 对异面直线。48C综上所述，有以上几种解排列组合的方法，此外，当然也还有其他的方法要靠我们去发现和积累，我们要掌握好这些方法，并且能够灵活运用，这样，在日常生活中，我们们能轻易解决很多问题。教师点评：对排列组合问题的处理方法总结得很细、很全面，而且
19、挖掘出其中所蕴藏的数学思想方法，对学习排列组合有一定的指导性。（三）容斥原理与计数1、文氏图： 在文氏图中,以下图形的含义如下： 矩形：其内部的点表示全集的所有元素； 矩形内的圆（或其它闭曲线）：表示不同的集合； 圆（或闭曲线）内部的点：表示相应集合的元素。8 4 872、三交集公式：A+B+C=A BC+AB+BC+AC-ABC （ABC 指的是 E，ABC 指的是 D） （四）模型构造例 1. 4 名同学各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人写的贺卡，则四张贺卡的不同分配方式共有 种.例 2. 将编号为 1，2，3，4 的四个小球分别放入编号为 1，2，3，4 的四个盒子中，要
20、求每个盒子放一个小球，且小球的编号与盒子的编号不能相同，则共有 种不同的放法.这两个问题的本质都是每个元素都不在自己编号的位置上的排列问题，我们把这种限制条件的排列问题叫做全错位排列问题.例 3.五位同学坐在一排，现让五位同学重新坐，至多有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有 种.解析：可以分类解决：第一类，所有同学都不坐自己原来的位置；第二类，恰有一位同学坐自己原来的位置；第三类，恰有两位同学坐自己原来的位置.对于第一类，就是上面讲的全错位排列问题；对于第二、第三类有部分元素还占有原来的位置，其余元素可以归结为全错位排列问题，我们称这种排列问题为部分错位排列问题.设 n 个元素全错位排列
21、的排列数为 Tn，则对于例 3，第一类排列数为 T5，第二类先确定一个排原来位置的同学有 5 种可能，其余四个同学全错位排列，所以第二类的排列数为 5T4，第三类先确定两个排原位的同学，有 =10 种，所以第三类的排列数为 10T3，因此例 3 的答案为：T 5+5T4+10T3.2C五排列组合中的易错题1 没有理解两个基本原理出错排列组合问题基于两个基本计数原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提.例 1（1995 年上海高考题）从 6 台原装计算机和 5 台组装计算机中任意选取 5 台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有 种.误解：因为
22、可以取 2 台原装与 3 台组装计算机或是 3 台原装与 2 台组装计算机，所以只有 2 种取法.错因分析：误解的原因在于没有意识到“选取 2 台原装与 3 台组装计算机或是 3 台原装与 2 台组装计算机”是完成任务的两“类”办法，每类办法中都还有不同的取法.正解：由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装计算机中任意选取 2 台，有 种方法；26C第二步是在组装计算机任意选取 3 台，有 种方法，据乘法原理共有 种方法.同理，完成第二类35C3526C办法中有 种方法.据加法原理完成全部的选取过程共有 种方法.2536C 35260例 2 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙
23、三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ ）种.8（A） （B） （C） （D ）34344334C误解：把四个冠军，排在甲、乙、丙三个位置上，选 A.错因分析：误解是没有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式. 正解：四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有 3 种选取方法，由乘法原理共有种.43说明：本题还有同学这样误解，甲乙丙夺冠均有四种情况，由乘法原理得 .这是由于没有考虑到某项冠4军一旦被一人夺得后，其他人就不再有 4 种夺冠可能.2 判断不出是排列还是组合出错在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列，无顺序的是组合.例 3 有大小形状相
24、同的 3 个红色小球和 5 个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？误解：因为是 8 个小球的全排列，所以共有 种方法.8A错因分析：误解中没有考虑 3 个红色小球是完全相同的，5 个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种排法.正解：8 个小球排好后对应着 8 个位置，题中的排法相当于在 8 个位置中选出 3 个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这 3 个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题.这样共有： 排法. 568C3 重复计算出错在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，这些问题要注意避免重复计数，产生错误。例 4（2002 年北京文科高考题）5 本不同的书
25、全部分给 4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）（A）480 种 （B）240 种 （C）120 种 （D）96 种误解：先从 5 本书中取 4 本分给 4 个人，有 种方法，剩下的 1 本书可以给任意一个人有 4 种分法，共45A有 种不同的分法，选 A.480错因分析：设 5 本书为 、 、 、 、 ，四个人为甲、乙、丙、丁.按照上述分法可能如下的表 1 和表abcde2： 表 1 是甲首先分得 、乙分得 、丙分得 、丁分得 ，最后一本书 给甲的情况；表 2 是甲首先分得 、abcdee乙分得 、丙分得 、丁分得 ，最后一本书 给甲的情况.这两种情况是完全相同的，而在误解中计
26、算bcda成了不同的情况。正好重复了一次.正解：首先把 5 本书转化成 4 本书，然后分给 4 个人.第一步：从 5 本书中任意取出 2 本捆绑成一本书，有 种方法；第二步：再把 4 本书分给 4 个学生，有 种方法.由乘法原理，共有 种方法，25C 4A5C40A故选 B.乙 丙 丁甲eb表 1乙 丙 丁甲 cb表 29例 5 某交通岗共有 3 人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值 2 天，其不同的排法共有（ ）种.（A）5040 （B）1260 （C）210 （D）630误解：第一个人先挑选 2 天，第二个人再挑选 2 天，剩下的 3 天给第三个人，这三个人再进行全排列.
27、共有： ，选 B.1603257C错因分析：这里是均匀分组问题.比如：第一人挑选的是周一、周二，第二人挑选的是周三、周四；也可能是第一个人挑选的是周三、周四，第二人挑选的是周一、周二，所以在全排列的过程中就重复计算了.正解： 种.630257AC4 遗漏计算出错在排列组合问题中还可能由于考虑问题不够全面，因为遗漏某些情况，而出错。例 6 用数字 0，1，2，3，4 组成没有重复数字的比 1000 大的奇数共有（ ）（A）36 个 （B）48 个 （C）66 个 （D）72 个误解：如右图，最后一位只能是 1 或 3 有两种取法，又因为第 1 位不能是 0，在最后一位取定后只有 3 种取法，剩下
28、 3 个数排中间两个位置有 种排法，共有 个.23A362A错因分析：误解只考虑了四位数的情况，而比 1000 大的奇数还可能是五位数.正解：任一个五位的奇数都符合要求，共有 个，再由前面分析四位数个数和五位数个数之3和共有 72 个，选 D.5 忽视题设条件出错在解决排列组合问题时一定要注意题目中的每一句话甚至每一个字和符号，不然就可能多解或者漏解.例 7 (2003 全国高考题)如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有 4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）误解：先着色第一区域，有 4 种方法，剩下 3 种颜色涂四个区域，即有
29、一种颜色涂相对的两块区域，有种，由乘法原理共有： 种.1213AC4812错因分析：据报导，在高考中有很多考生填了 48 种.这主要是没有看清题设“有 4 种颜色可供选择” ，不一定需要 4 种颜色全部使用，用 3 种也可以完成任务.正解：当使用四种颜色时，由前面的误解知有 48 种着色方法；当仅使用三种颜色时：从 4 种颜色中选取3 种有 种方法，先着色第一区域，有 3 种方法，剩下 2 种颜色涂四个区域，只能是一种颜色涂第 2、434C区域，另一种颜色涂第 3、5 区域，有 2 种着色方法，由乘法原理有 种.综上共有：2434C种.728 13 2 540 1，310例 8 已知 是关于
30、的一元二次方程，其中 、 ，求解集不同的一元二次方程的个02baxxa4,321b数.误解：从集合 中任意取两个元素作为 、 ，方程有 个，当 、 取同一个数时方程有 1 个，4,31 24Aab共有 个.24A错因分析：误解中没有注意到题设中：“求解集不同的”所以在上述解法中要去掉同解情况，由于同解、 同解，故要减去 2 个。21ba和 241ba和正解：由分析，共有 个解集不同的一元二次方程.36 未考虑特殊情况出错在排列组合中要特别注意一些特殊情况，一有疏漏就会出错.例9 现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、20元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可
31、组成不同的币值种数是（ ）(A)1024种 (B)1023种 (C)1536种 (D)1535种误解：因为共有人民币11张，每张人民币都有取和不取2种情况，减去全不取的1种情况，共有种.03错因分析：这里100元面值比较特殊有两张，在误解中被计算成 4 种情况，实际上只有不取、取一张和取二张3种情况.正解：除100元人民币以外每张均有取和不取2种情况，100元人民币的取法有3种情况，再减去全不取的1种情况，所以共有 种.153297 题意的理解偏差出错例 10 现有 8 个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有（ ）种.（A） （B） （C） （D）536 36A35468A误解
32、：除了甲、乙、丙三人以外的 5 人先排，有 种排法，5 人排好后产生 6 个空档，插入甲、乙、丙A三人有 种方法，这样共有 种排法，选 A.3636错因分析：误解中没有理解“甲、乙、丙三人不能相邻”的含义，得到的结果是“甲、乙、丙三人互不相邻”的情况.“甲、乙、丙三人不能相邻”是指甲、乙、丙三人不能同时相邻，但允许其中有两人相邻.正解：在 8 个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数，就得到甲、乙、丙三人不相邻的方法数，即 ，故选 B.36A8 解题策略的选择不当出错有些排列组合问题用直接法或分类讨论比较困难，要采取适当的解决策略，如间接法、插入法、捆绑法、概率法等，有助于问题的解决.例 10 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（ ）.
