1、 2011 年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理） （北京卷）本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合 ， .若 ,则 的取值范围是2|1PxMaPa（A） （B） （C） （D ）(,)1,(,)（2）复数 21i（A） （B） （C ） （D）i i435i435i（3）在极坐标系中，圆 的圆心的极坐标是2sn（A） （B） （C） （D）(
2、1,)2(1,)(1,0)(1,)（4）执行如图所示的程序框图，输出的 值为s（A） 3（B） 12（C） 3（D） 2开 始0,2is4i是 1is否输出 s结 束（5）如图， 分别与圆 切于点 ，延长 与圆 交于另一点 。,ADEBCO,DEFAOG给出下列三个结论： ；A ；FG ABD:其中，正确结论的序号是（A） （B） （C） （D） （6）根据统计，一名工人组装第 件某产品所用的时间（单位：分钟）为x（ 为常数） 。已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟，组装第,(),cxAf,c件产品用时 15 分钟， A那么 和 的值分别是c（A） （B） （C） （D）75,275,1
3、660,2560,1（7）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（A） 8（B） 62（C） 10（D） 82（8）设 ， ， ， （ ） ，记 为平行四边形内(0,)A(4,)B(,4)Ct(,)DtR()Nt部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数的()Nt值域为ABDCEF正（主）视图 侧（左）视图俯视图443（A） （B） （C） （D）9,109,1029,1210,2第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9）在 中，若 ， ，则 ； ABC,4bBtan2Asina。（10）已知向
4、量 ， ， ，若 与 共线，则 (3,1)a(0,)(,3)ck2abck。（11）在等比数列 中，若 ， ，则公比 ；n12a4q。12|a（12）用数字 2，3 组成四位数，且数字 2，3 至少都出现一次，这样的四位数共有 个。（用数字作答）（13）已知函数 过关于 的方程 有两个不同的实根，则实3,()1)2xfxx()fk数 的取值范围是 。k（14）曲线 是平面内与两个定点 和 的距离的积等于常数 的点C1(,0)F2(,)2(1)a的轨迹，给出下列三个结论： 曲线 过坐标原点； 曲线 关于坐标原点对称； 若点 在曲线 上，则 的面积不大于 ；P12P21a其中，所有正确结论的序号是
5、 。三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15） （本小题共 13 分）已知函数 ，()4cosin()16fxx（I）求 的最小正周期；（）求 在区间 上的最大值和最小值；()fx,4（16） （本小题共 14 分）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面PABCDABCD是菱形， 。2,60（I）求证： 平面（）若 ，求 与 所成角的余弦值；（）当平面 与平面 垂直时，求 的长；PBCDPA（17） （本小题共 13 分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学植树的棵数，乙组记录中有一个数据记录模糊无法确认，在图中以 表示。X9 9 0 8 9X1 1 1
6、 0（I）如果 ，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；8X（）如果 ，分别从甲、乙两组中随机选取一名学生，求这两名同学的植树总9棵数 的分布列和数学期望；Y注：方差 ，其中 为 的平均数22221()()()nsxxxn 12,nxABCDP甲 组 乙 组（18） （本小题共 13 分）已知函数 。2()xkfxe（）求 的单调区间；（）若对于任意的 ，都有 ，求 的取值范围；(0,)x1()fxek（19） （本小题共 14 分）已知椭圆 ，过点 作圆 的切线 交椭圆 于 两点，2:14xGy(,0)m21xylG,AB（）求椭圆 的焦点坐标及离心率；（）将 表示为 的函数，并求 的最大值；|
7、AB|AB（20） （本小题共 13 分）若数列 （ ）满足 ，则称 为12:,nnAa 21(1,2)kan nA数列，记 。E()nS（）写出一个满足 ，且 的 数列 ；150a5()0SAE5A（）若 ，证明 数列 是递增数列的充要条件是 ；12,0anEnA201na（）对任意给定的整数 ，是否存在首项为 0 的 数列 ，使得 ，(2)EA()S如果存在，写出一个满足条件的 数列 ；如果不存在，说明理由。n2011 年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分）1 C 2A 3B 4D 5A 6D 7C 8C二、填空题（共 6
8、小题，每小题 5 分，满分 30 分）9 ；2 101 112 ，12 14 13 （0，1） 14三、解答题（共 6 小题，满分 80 分）15解：（）=4cosx（ ）1= sin2x+2cos2x1= sin2x+cos2x=2sin（2x+ ）所以函数的最小正周期为 （） x ， 2x+ 当 2x+ = ，即 x= 时，f （x）取最大值 2当 2x+ = 时，即 x= 时， f（x）取得最小值 116解：（I）证明：因为四边形 ABCD 是菱形，所以 ACBD，又因为 PA平面 ABCD，所以 PABD，PAAC=A所以 BD平面 PAC（II）设 ACBD=O，因为BAD=60，P
9、A=AB=2，所以 BO=1，AO=OC= ，以 O 为坐标原点，分别以 OB，OC ，为 x 轴，以过 O 且垂直于平面 ABCD 的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，则P（0， ，2） ，A （0， ，0 ） ，B（1，0 ，0） ，C（0， ，0 ）所以 ，设 PB 与 AC 所成的角为 ，则 cos=|（III）由（II）知 ，设 ，则设平面 PBC 的法向量 =（x ，y，z）则 =0，所以 令 ，平面 PBC 的法向量所以 ，同理平面 PDC 的法向量 ，因为平面 PBC平面 PDC，所以 =0，即 6+ =0，解得 t= ，所以 PA= 17解：（I）当 X=8，乙组
10、同学植树棵树是 8，8 ，9，10平均数是 =方差为 + =（II）当 X=9 时，甲同学的指数棵树是 9，9，11，11；乙组同学的植树棵树是 9，8，9，10，分别从甲和乙两组中随机取一名同学，共有 44=16 种结果，这两名同学植树的总棵树 Y 可能是 17，18，19，20，21 ，事件 Y=17，表示甲组选出的同学植树 9 棵，乙组选出的同学植树 8 棵，P（Y=17）=P（Y=18）=P（Y=19 ）=P（Y=20）= ， P（Y=21）=随机变量的期望是 EY= =1918解：（） = ，令 f（x）=0，得 x=k当 k0 时，f（ x）f（x）随 x 的变化情况如下：所以，f
11、（x）的单调递增区间是（， k） ，和（k，+） ，单调递减区间是（ k，k） ；当 k0 时，f（ x）f（x）随 x 的变化情况如下：所以，f（x）的单调递减区间是（，k） ，和（k，+） ，单调递增区间是（ k，k） ；（）当 k0 时， ，f（k+1）= ，不会有任意的 x（0，+） ，都有 f（x） ，当 k0 时，由（I）知 f（x）在（0，+）上的最大值是 f（ k）= ，任意的 x（0，+） ，f（x ） ， f（ k）= ，解得 ，故对于任意的 x（0 ，+） ，都有 f（x） ，k 的取值范围是 19解：（I）由题意得 a=2，b=1，所以 c= 椭圆 G 的焦点坐标离心率
12、 e= （II）由题意知：|m|1，当 m=1 时，切线 l 的方程为 x=1，点 A（1， ） 点 B（1， ） 此时|AB|= ；当 m=1 时，同理可得|AB|= ；当 m1时，设切线 l 的方程为：y=k （xm） ，由 （1+4k 2）x28k2mx+4k2m24=0，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）则 x1+x2=又由 l 与圆圆 x2+y2=1 相切 圆心到直线 l 的距离等于圆的半径即 =1m= ，所以|AB|= = ，由于当 m=1 时，|AB|=，当 m1时，|AB|= ，此时 m（，1 1，+） 又|AB|= 2（当且仅当 m= 时， |AB|=2） ，所
13、以，|AB|的最大值为 2故|AB|的最大值为 220解：（）0 ，1，0，1，0 是一个满足条件的 E 数列 A5（）必要性：因为 E 数列 An 是递增数列所以 ak+1ak=1（k=1，2 ，1999）所以 An 是首项为 12，公差为 1 的等差数列所以 a2000=12+（2000 1）1=2011充分性：由于 a2000a19991a1999a19981a2a11，所以 a2000a11999，即 a2000a1+1999又因为 a1=12，a 2000=2011所以 a2000=a1+1999故 ak+1ak=10（k=1，2，1999） ，即 An 是递增数列综上所述，结论成立（）设 ck=ak+1ak（k=1 ，2，n1 ） ，则 ck=1因为 a2=a1+c1a3=a1+c1+c2an=a1+c1+c2+cn1所以 S（ An）=na 1+（n1）c 1+（n2）c 2+（n 3）c 3+cn1=（n1）+（n2 ）+1 （1c 1） （n 1）+（1 c2） （n2）+（1 cn1）=因为 ck=1，所以 1ck 为偶数（ k=1，2，n 1） ）所以（1c 1） （n 1）+ （1 c2） （n2）+ （1 cn1）为偶数所以要使 S（A n）=0，必须= 使为偶数即 4 整除 n（n1） ，亦即 n=4m 或 n=4m+1（mN *）
