1、2015 年高考数学圆锥曲线小题拔高题组一选择题（共 15 小题）1 （2014南昌模拟）已知双曲线 的左右焦点分别为 F1，F 2，e 为双曲线的离心率，P 是双曲线右支上的点， PF1F2 的内切圆的圆心为 I，过 F2 作直线 PI 的垂线，垂足为 B，则 OB=（ ）Aa B b C ea Deb2 （2014衡阳三模）设 F1，F 2 分别是双曲线 =1（a0，b0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P 满足|PF 2|=|F1F2|且 cosPF1F2= ，则双曲线的渐近线方程为（ ）A3x4y=0 B 3x5y=0 C 4x3y=0 D5x4y=03 （2014南昌模拟）已知抛
2、物线 y2=2px（p0）的焦点 F 与椭圆 的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为 T，且 TF 与 x 轴垂直，则椭圆的离心率为（ ）AB C D4 （2014上海模拟）过抛物线 y2=4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A，B 两点，它们到直线 x=2 的距离之和等于 5，则这样的直线（ ）A有且仅有一条 B 有且仅有两条 C 有无穷多条 D不存在5 （2014商丘二模）设抛物线 y2=4x 的焦点为 F，过点 M（1，0）的直线在第一象限交抛物线于 A、B ，使，则直线 AB 的斜率 k=（ ）AB C D6 （2014宿州三模）过双曲线 （a0，b0）的左焦点 F（c，0）作圆
3、x2+y2=a2 的切线，切点为 E，延长 FE 交抛物线 y2=4cx 于点 P，若 E 为线段 FP 的中点，则双曲线的离心率为（ ）AB C +1 D7 （2014郑州一模）过双曲线 的左焦点 F（c，0） ， （c0） ，作圆：x 2+y2= 的切线，切点为 E，延长 FE 交双曲线右支于点 P，若 = （ + ） ，则双曲线的离心率为（ ）AB C D8 （2014河池一模）已知椭圆的一个焦点为 F，若椭圆上存在点 P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段 PF 相切于线段 PF 的中点，则该椭圆的离心率为（ ）AB C D9 （2014重庆三模）设双曲线 的右焦点为 F（c，0） ，方程
4、 ax2+bxc=0 的两实根分别为 x1，x 2，则 P（x 1，x 2） （ ）A必在圆 x2+y2=2 内 B 必在圆 x2+y2=2 外C 必在圆 x2+y2=2 上 D以上三种情况都有可能10 （2014贵州模拟）已知点 M 是抛物线 y2=4x 的一点，F 为抛物线的焦点，A 在圆 C：（x 4） 2+（y1） 2=1 上，则|MA|+|MF|的最小值为（ ）A2 B 3 C 4 D511 （2013广东）已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F（1，0） ，离心率等于 ，则 C 的方程是（ ）AB C D12 （2013浙江）如图 F1、F 2 是椭圆 C1： +y2=1 与双曲
5、线 C2 的公共焦点 A、B 分别是 C1、C 2 在第二、四象限的公共点，若四边形 AF1BF2 为矩形，则 C2 的离心率是（ ）AB C D13 （2013四川）从椭圆 上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点 F1，A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 ABOP（O 是坐标原点） ，则该椭圆的离心率是（ ）AB C D14 （2013辽宁）已知椭圆 C： 的左焦点 F，C 与过原点的直线相交于 A，B 两点，连结AF，BF，若|AB|=10 ，|AF|=6， ，则 C 的离心率为（ ）AB C D15 （2013东城区模拟）设 F 为抛物线 y2=
6、4x 的焦点，A，B，C 为该抛物线上三点，若 + + = ，则的值为（ ）A3 B 4 C 6 D9二填空题（共 15 小题）16 （2012安徽）过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A，B 两点，若|AF|=3，则|BF|= _ 17 （2012重庆）过抛物线 y2=2x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A，B 两点，若 ，则|AF|= _ 18 （2012江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 的离心率为 ，则 m 的值为 _ 19 （2012辽宁）已知双曲线 x2y2=1，点 F1，F 2 为其两个焦点，点 P 为双曲线上一点，若 PF1PF2，则|PF1|+|P
7、F2|的值为 _ 20 （2012辽宁）已知 P，Q 为抛物线 x2=2y 上两点，点 P，Q 的横坐标为 4，2，过 P，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点 A，则点 A 的纵坐标为 _ 21 （2012重庆）设 P 为直线 y= x 与双曲线 =1（a 0，b0）左支的交点，F 1 是左焦点，PF 1 垂直于 x轴，则双曲线的离心率 e= _ 22 （2012湖北）如图，双曲线 =1（a ，b0）的两顶点为 A1，A 2，虚轴两端点为 B1，B 2，两焦点为F1，F 2若以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2，切点分别为 A，B ，C，D则：（）双曲线的离心率 e= _ ；
8、（）菱形 F1B1F2B2 的面积 S1 与矩形 ABCD 的面积 S2 的比值 = _ 23 （2012梅州一模）已知双曲线 （a0，b0）的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是 _ 24 （2012包头一模）已知双曲线 =1（a 0，b0）与抛物线 y2=8x 有一个公共的焦点 F，且两曲线的一个交点为 P，若|PF|=5 ，则双曲线方程为 _ 25 （2012兰州模拟）双曲线 一条渐近线的倾斜角为 ，离心率为 e，则 的最小值为 _ 26 （2012吉林二模）已知双曲线的左右焦点是 F1，F 2，设 P 是双曲线右
9、支上一点， 上的投影的大小恰好为 且它们的夹角为 ，则双曲线的离心率 e 为 _ 27 （2012资阳二模）如图，已知 F1，F 2 是椭圆 C： （ab0）的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上，线段 PF2 与圆 x2+y2=b2 相切于点 Q，且点 Q 为线段 PF2 的中点，则椭圆 C 的离心率为 _ 28 （2011浙江）设 F1，F 2 分别为椭圆 +y2=1 的焦点，点 A，B 在椭圆上，若 =5 ；则点 A 的坐标是 _ 29 （2011江西）若椭圆 的焦点在 x 轴上，过点（1， ）做圆 x2+y2=1 的切线，切点分别为 A，B，直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭
10、圆的方程是 _ 30 （2011台湾）设 E1： （其中 a0）为焦点在（ 3，0） ， （3，0）的椭圆；E 2：焦点在（3，0）且准线为 x=3 的抛物线已知 E1，E 2 的交点在直线 x=3 上，则 a= _ 2015 年高考数学圆锥曲线小题拔高题组参考答案与试题解析一选择题（共 15 小题）1 （2014南昌模拟）已知双曲线 的左右焦点分别为 F1，F 2，e 为双曲线的离心率，P 是双曲线右支上的点， PF1F2 的内切圆的圆心为 I，过 F2 作直线 PI 的垂线，垂足为 B，则 OB=（ ）Aa B b C ea Deb考点： 双曲线的简单性质菁优网版权所有专题： 计算题；压轴
11、题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 根据题意，利用切线长定理，再利用双曲线的定义，把|PF1|PF2|=2a，转化为|AF 1|AF2|=2a，从而求得点H 的横坐标再在三角形 PCF2 中，由题意得，它是一个等腰三角形，从而在三角形 F1CF2 中，利用中位线定理得出 OB，从而解决问题解答： 解：由题意知：F1（ c，0） 、 F2（c，0） ，内切圆与 x 轴的切点是点 A，|PF1|PF2|=2a，及圆的切线长定理知，|AF1|AF2|=2a，设内切圆的圆心横坐标为 x，则|（ x+c）（cx）|=2ax=a在三角形 PCF2 中，由题意得，它是一个等腰三角形，PC=PF 2，在三角
12、形 F1CF2 中，有：OB= CF1= （ PF1PC）= （PF 1PF2）= 2a=a故选 A点评： 本题考查双曲线的定义、切线长定理解答的关键是充分利用三角形内心的性质2 （2014衡阳三模）设 F1，F 2 分别是双曲线 =1（a0，b0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P 满足|PF 2|=|F1F2|且 cosPF1F2= ，则双曲线的渐近线方程为（ ）A3x4y=0 B 3x5y=0 C 4x3y=0 D5x4y=0考点： 双曲线的简单性质菁优网版权所有专题： 计算题；压轴题分析： 利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出 a 与 b 之间的等量关系，从而得出正
13、确答案解答： 解：依题意|PF 2|=|F1F2|，可知三角形 PF2F1 是一个等腰三角形，F 2 在直线 PF1 的投影 A 是线段 PF1 中点，由勾股定理知可知|PF 1|=2|F1A|=2|F1F2|cosPF1F2=22c = ，根据双曲定义可知|PF 1|PF2|=2a，即 2c=2a，整理得 c= a，代入 c2=a2+b2 整理得 4b=3a，求得 =双曲线渐近线方程为 y= x，即 3x4y=0故选 A点评： 本题主要考查双曲线的简单性质、三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题3 （2014南昌模拟）已知抛物线 y2=2px（p0）的焦
14、点 F 与椭圆 的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为 T，且 TF 与 x 轴垂直，则椭圆的离心率为（ ）AB C D考点： 圆锥曲线的共同特征菁优网版权所有专题： 计算题；压轴题分析： 由条件可得 b2=2ac，再根据 c2 +b2 a2=0，即 c2+2aca2=0，两边同时除以 a2，化为关于 的一元二次方程，解方程求出椭圆的离心率 的值解答：解：依题意抛物线 y2=2px（p0）的焦点 F 与椭圆 的一个焦点重合，得： ，由 TF= 及 TF=p，得 ，b2=2ac，又 c2 +b2 a2=0， c2+2aca2=0，e 2+2e1=0，解得 故选 B点评： 本题考查了圆锥曲线的共
15、同特征，主要考查了椭圆和抛物线的几何性质，属于基础题4 （2014上海模拟）过抛物线 y2=4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A，B 两点，它们到直线 x=2 的距离之和等于 5，则这样的直线（ ）A有且仅有一条 B 有且仅有两条 C 有无穷多条 D不存在考点： 直线与圆锥曲线的关系菁优网版权所有专题： 计算题；压轴题分析： 先求出 A，B 到准线的距离之和的最小值，进而可得 A，B 到直线 x=2 的距离之和的最小值，利用条件可得结论解答： 解：抛物线 y2=4x 的焦点坐标为（1，0） ，准线方程为 x=1，设 A，B 的坐标为（x 1，y 1） ， （x 2，y 2） ，则 A，B
16、到直线 x=1 的距离之和 x1+x2+2设直线方程为 x=my+1，代入抛物线 y2=4x，则 y2=4（my+1） ，即 y24my4=0，x1+x2=m（y 1+y2）+2=4m 2+2x1+x2+2=4m2+44A， B 到直线 x=2 的距离之和 x1+x2+2+265过焦点使得到直线 x=2 的距离之和等于 5 的直线不存在故选 D点评： 本题考查抛物线的定义，考查过焦点弦长的计算，考查学生的计算能力，属于中档题5 （2014商丘二模）设抛物线 y2=4x 的焦点为 F，过点 M（1，0）的直线在第一象限交抛物线于 A、B ，使，则直线 AB 的斜率 k=（ ）AB C D考点：
17、直线与圆锥曲线的关系菁优网版权所有专题： 计算题；压轴题分析： 由题意可得直线 AB 的方程 y0=k （x+1） ，k0，代入抛物线 y2=4x 化简求得 x1+x2 和 x1x2，进而得到y1+y2 和 y1y2，由 ，解方程求得 k 的值解答： 解：抛物线 y2=4x 的焦点 F（1，0） ，直线 AB 的方程 y0=k （x+1） ，k0代入抛物线 y2=4x 化简可得 k2x2+（2k 24）x+k 2=0，x1+x2= ，x 1x2=1y1+y2=k（x 1+1）+k（x 2+1）= +2k= ，y1y2=k2（x 1+x2+x1x2+1）=4 又 =（x 11，y 1）（x 21
18、，y 2）=x 1x2（x 1+x2）+1+y 1y2=8 ，k= ，故选：B点评： 本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，两个向量的数量积公式的应用，得到 8 =0，是解题的难点和关键6 （2014宿州三模）过双曲线 （a0，b0）的左焦点 F（c，0）作圆 x2+y2=a2 的切线，切点为 E，延长 FE 交抛物线 y2=4cx 于点 P，若 E 为线段 FP 的中点，则双曲线的离心率为（ ）AB C +1 D考点： 圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质菁优网版权所有专题： 综合题；压轴题分析： 双曲线的右焦点的坐标为（c，0） ，利用 O 为 FF的中点，E 为 FP 的中点，可得 OE 为 P
19、FF的中位线，从而可求|PF|，再设 P（x，y） 过点 F 作 x 轴的垂线，由勾股定理得出关于 a，c 的关系式，最后即可求得离心率解答： 解：设双曲线的右焦点为 F，则 F的坐标为（c ，0）因为抛物线为 y2=4cx，所以 F为抛物线的焦点 因为 O 为 FF的中点，E 为 FP 的中点，所以 OE 为 PFF的中位线，属于 OEPF因为|OE|=a，所以 |PF|=2a又 PFPF，|FF|=2c 所以|PF|=2b 设 P（x，y） ，则由抛物线的定义可得 x+c=2a，x=2ac 过点 F 作 x 轴的垂线，点 P 到该垂线的距离为 2a 由勾股定理 y2+4a2=4b2，即 4
20、c（2a c）+4a 2=4（c 2a2）得 e2e1=0，e= 故选 D点评： 本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查抛物线的定义，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题7 （2014郑州一模）过双曲线 的左焦点 F（c，0） ， （c0） ，作圆：x 2+y2= 的切线，切点为 E，延长 FE 交双曲线右支于点 P，若 = （ + ） ，则双曲线的离心率为（ ）AB C D考点： 圆与圆锥曲线的综合菁优网版权所有专题： 综合题；压轴题分析：由题设知|EF|= ，|PF|=2 ，|PF |=a，再由|PF|PF |=2a，知 2 a=2a，由此
21、能求出双曲线的离心率解答：解： |OF|=c， |OE|= ，|EF|= ， ， |PF|=2 ，|PF|=a，|PF|PF|=2a， 2 a=2a， ，故选 C点评： 本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答8 （2014河池一模）已知椭圆的一个焦点为 F，若椭圆上存在点 P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段 PF 相切于线段 PF 的中点，则该椭圆的离心率为（ ）AB C D考点： 圆与圆锥曲线的综合菁优网版权所有专题： 计算题；压轴题分析： 记线段 PF1 的中点为 M，椭圆中心为 O，连接 OM，PF 2 则有|PF 2|=2|OM|，2a2 =2b，由此能够推导出该椭圆的离心率解答： 解：记线段 PF1 的中点为 M，椭圆中心为 O，连接 OM，PF 2 则有|PF 2|=2|OM|，2a2 =2b，a = ，1 = ，解得 e2= ，e= 故选 A点评： 本题考查椭圆的离心率，解题时要认真审题，合理地进行等价转化，充分利用椭圆的性质进行解题
