1、1华师大版九年级下册数学知识点总结第二十六章 二次函数 一、二次函数概念：1、二次函数的概念：一般地，形如 （ 是常数， ）的函数，叫做二次函数。 2yaxbca何0a这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 ，而 可以为零。二次函数的定义域是全体实数。0bc何2、二次函数 的结构特征：2yaxbc 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数是 2。xx 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项。bc何 bc二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式： 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。2yx2. 的性质：2yaxc的符号a开口方向 顶点坐标 对称轴 性
2、质0向上 0何轴y时， 随 的增大而增大；0xyx时， 随 的增大而减小；时， 有最小值 。00a向下 0何轴y时， 随 的增大而减小；0xyx时， 随 的增大而增大；时， 有最大值 。023. 的性质：2yaxh4. 的性质：2yaxhk三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；2yaxhkhk何 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：2yax何的符号a开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0向上 0c何轴y时， 随 的增大而增大；0xyx时， 随 的增大而减小；时， 有最小值 。c0a向下 0c何轴y时， 随 的增大而
3、减小；0xyx时， 随 的增大而增大；时， 有最大值 。c的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a向上 0h何X=h时， 随 的增大而增大；xhyx时， 随 的增大而减小；时， 有最小值 。0向下 何X=h时， 随 的增大而减小；xyx时， 随 的增大而增大；h时， 有最大值 。的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a向上 hk何X=h时， 随 的增大而增大； 时，xhyxxh随 的增大而减小； 时， 有最小值 。yyk向下 k何X=h时， 随 的增大而减小； 时，xyxx随 的增大而增大； 时， 有最大值 。yhyk3【(h0)【(h0)【(k0)【(h0)【(h0)【(k0)【(k
4、0)【|k|【y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax22. 平移规律在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”。概括成八个字“左加右减，上加下减”。方法二： 沿 轴平移:向上（下）平移 个单位，cbxay2ym变成 （或 ）cbxa2 mcbxay2 沿轴平移：向左（右）平移 个单位，cxy2变成 （或 ）ba cmxxy)()(2 cxxy)()(2四、二次函数 与 的比较2ahkab从解析式上看， 与 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，yx2yxc即 ，其中 。224bacyax 24babhk何五、二次函数 图象的画法2yx五点绘图
5、法：利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，确定其开口方向、对称2yaxbc2()yaxhk轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 轴的交点y、以及 关于对称轴对称的点 、与 轴的交点 ， （若与 轴没有交点，0c何0c何 h， x10何2何x则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点.y六、二次函数 的性质2yaxbc1. 当 时，抛物线开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为 。0 2bxa24bac何当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大；当 时， 有最小值2bxayxyx2bx
6、ay。4c42. 当 时，抛物线开口向下，对称轴为 ，顶点坐标为 。当 时， 随0a 2bxa24bac何2bxay的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小；当 时， 有最大值 。x2bxay2xy七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： （ ， ， 为常数， ）；ycc0a2. 顶点式： （ ， ， 为常数， ）；2()xhkhk3. 两根式： （ ， ， 是抛物线与 轴两交点的横坐标）.1a0a1x2x注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示。二次函数解析式的这三种x24bc
7、形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数 中， 作为二次项系数，显然 。2yxbca0a 当 时，抛物线开口向上， 的值越大，开口越小，反之 的值越小，开口越大；0 当 时，抛物线开口向下， 的值越小，开口越小，反之 的值越大，开口越大。a总结起来， 决定了抛物线开口的大小和方向， 的正负决定开口方向， 的大小决定开口的大小。aa2. 一次项系数 b在二次项系数 确定的前提下， 决定了抛物线的对称轴。ab 在 的前提下，0当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴左侧；b02y当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴；a当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的右侧。0b0
8、2y 在 的前提下，结论刚好与上述相反，即a当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴右侧；a当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴；0b02y当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的左侧。a总结起来，在 确定的前提下， 决定了抛物线对称轴的位置。b的符号的判定：对称轴 在 轴左边则 ，在 轴的右侧则 ，概括的说就是“左abax2y0aby0ab同右异”总结：3. 常数项 c 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴上方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为正；0yxy5 当 时，抛物线与 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 轴交点的纵坐标为 ；0cy y0 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴下方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为负。
9、x总结起来， 决定了抛物线与 轴交点的位置。总之，只要 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的。abc何二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法。用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便。一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；x4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于 轴对称x
10、关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 2yabcx 2yaxbc关于 轴对称后，得到的解析式是 ；xhk hk2. 关于 轴对称y关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 2abcy 2yaxbc关于 轴对称后，得到的解析式是 ；yxhk hk3. 关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是 ；2abc 2yaxbc关于原点对称后，得到的解析式是 ；yxhk hk4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180）关于顶点对称后，得到的解析式是 ；2abc 22byaxca关于顶点对称后，得到的解析式是 。yxhk hk5. 关于点 对称 mn何关于点 对称后，得到的解析式是2yaxhkn何 2yaxh
11、mnk根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 永远不变。求抛物a线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式。6十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 轴交点情况）：x一元二次方程 是二次函数 当函数值 时的特殊情况.20axbc2yabc0y图象与 轴的交点个数： 当 时，图象与 轴交于两点 ，其中的 是一元二次方程24x120AxB， ， ， 12()x1
12、2x，的两根。这两点间的距离 . 20axbca214bac 当 时，图象与 轴只有一个交点； x 当 时，图象与 轴没有交点.当 时，图象落在 轴的上方，无论 为任何实数，都有 ；10ax0y当 时，图象落在 轴的下方，无论 为任何实数，都有 。 2 x 2. 抛物线 的图象与 轴一定相交，交点坐标为 ， ； 2yaxbcy(0)c3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；x 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数 中 ， ， 的符号，或由二次函数中 ， ， 的符号判断2yaxbcab
13、cabc图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 轴的一个x交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式 本身就是所含字母 的二次函数；下面2(0)axbc以 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0a二次函数图像参考：抛物线与 轴有x两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根0抛物线与 轴只有一个交点二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根抛物线与 轴无x交点二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根.y=2(x-4)2-3y=
14、2(x-4)2y=2x2y=x22y=2x2y=x2y=-2x2y= -x2y= -x22y=2x2-4y=2x2+2y=2x2y=3(x+4)2y=3(x-2)2y=3x2y=-2(x+3)2 y=-2(x-3)2y=-2x27十一、函数的应用二次函数应用何第二十七章：圆一、知识回顾圆的周长： C=2r 或 C=d、圆的面积：S=r圆环面积计算方法：S=R-r或 S=（R-r）(R 是大圆半径，r 是小圆半径）二、知识要点一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离
15、小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；固定的端点 O 为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内 点 在圆内；drC2、点在圆上 点 在圆上
16、；B3、点在圆外 点 在圆外；A三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 无交点；dr2、直线与圆相切 有一个交点；3、直线与圆相交 有两个交点；rddCBAO8drd=rr d四、圆与圆的位置关系外离（图 1） 无交点 ；Rr外切（图 2） 有一个交点 ；d相交（图 3） 有两个交点 ；内切（图 4） 有一个交点 ；r内含（图 5） 无交点 ；周1rRd周3rRd五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并
17、且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即： 是直径 弧 弧 弧 弧ABCDEBCDACD中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在 中， OAB弧 弧六、圆心角定理顶点到圆心的角，叫圆心角。圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称 1周2rRd 周4rRd周5rRdOE DCBAOC DA B9推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，即： ； ；AOBDE
18、AB ； 弧 弧CF七、圆周角定理顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫圆周角。1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即： 和 是弧 所对的圆心角和圆周角AOBCAB 22、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在 中， 、 都是所对的圆周角OCD 推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在 中， 是直径 或AB90C 是直径90CAB推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在 中， O 是直角三角形或AB90C注：此推论实
19、是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在 中，O四边形 是内接四边形ABCD 180180E九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切 线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即： 且 过半径 外端MNOAA 是 的切线FEDC BAOCBAOD CBAOCB AOCB AO EDCBANM AO10（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆
20、心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即： 、 是的两条切线PAB 平分O十一、圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在 中，弦 、 相交于点 ，ABCDP P（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在 中，直径 ，O 2CEAB（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在 中， 是切线， 是割线P 2AB（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在 中， 、 是割线OPE CD十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图： 垂直平分 。12OAB即： 、 相交于 、 两点 垂直平分12十三、圆的公切线PBAOPO DCBAO EDCB AD EC BPAOBAO1 O2 CO2O1BA
