1、 307301095 习题 1 1-1 有一动圈传声器的振膜可当作质点振动系统来对待 ,其固有频率为 f ，质量为 m ，求它的弹性系数 。 解 ：由公式mmo MKf 21 得： mfK m 2)2( 1-2 设有一质量 mM 用长为 l 的细绳铅直悬挂着，绳子一端固定构成一单摆，如图所示，假设绳子的质量和弹 性均可忽略。试问： （ 1） 当这一质点被拉离平衡位置 时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？ （ 2） 当外力去掉后，质点 mM 在此力作用下在平衡位置附近产生振动，它的振动频率应如何表示？ （答： lgf 210 ， g 为重力加速度） 图 习题 1 2 解： （ 1）
2、如右图所示，对 mM 作受力分析：它受重力 mMg，方向竖直向下；受沿绳方向的拉力 T ，这两力的合力 F 就是小球摆动时的恢复力，方向沿小球摆动轨迹的切线方向。 设绳子摆动后与竖直方向夹角为 ，则 sin l 受力分析可得： s inmmF M g M g l（ 2）外 力去掉后 (上述拉力去掉后 )，小球在 F 作用下在平衡位置附近产生摆动，加速度的方向与位移的方向相反。由牛顿定律可知： 22ddmFMt则 22ddmmM M gtl即 22d 0,d gtl 20 gl即 0 1 ,2 gf l这就是小球产生的振动频率。 1-3 有一长为 l 的细绳，以张力 T 固定在两端，设在位置 0
3、x 处，挂着一质量 mM ，如图所示，试问： (1) 当质量被垂直拉离平衡位置 时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？ (2) 当外力去掉后，质量 mM 在此恢复力作用下产生振动，它的振动频率应如何表示？ (3) 当质量置于哪一位置时，振动频率最低？ 解 ：首先对 mM 进行受力分析，见右图， 0)( 22002200 x xTxl xlTF x （ 0x ， 2022020220 )()(, xlxlxx 。） 220220 )( xTxlTF y 00 xTxlT )( 00 xlx Tl 可见质量 mM 受力可等效为一个质点振动系统，质量 mMM ，弹性系数)( 00 xlx
4、 Tlk 。 （ 1）恢复平衡的力由两根绳子拉力的合力产生，大小为 )( 00 xlx TlF ，方向为竖直向下。 （ 2）振动频率为mMxlxTlMK )(00 。 （ 3）对 分析可得，当 20 lx 时，系 统的振动频率最低。 1-4 设有一长为 l 的细绳，它以张力 T 固定在两端，如图所示。设在绳的 0x 位置处悬有一质量为 M的重物。求该系统的固有频率。提示：当悬有 M 时，绳子向下产生静位移 0 以保持力的平衡，并假定 M图 习题 1-3 离平 衡位置 0 的振动 位移很小，满足 0 条件。 图 习题 1 4 解： 如右图所示，受力分析可得 0 02 c os4c os12T M
5、 gMgll 又 0 ， TT ，可得振动方程为 202d2d2TMl t 即 202d 4 4d TTM t l l 001 4 1 12 2 2T l M g gf MM 1-5 有一质点振动系统，已知其初位移为 0 ，初速度为零，试求其振动位移、速度和能量。 解 ：设振动位移 )c o s ( 0 ta ， 速度表达式为 )s in ( 00 tv a 。 由于 00 t ， 00 tv ， 代入上面两式计算可得： t00 cos ； tv 000 sin 。 振动能量 2202 2121 amam MvME 。 1-6 有一质点振动系统，已知其初位移为 0 ，初速度为 0v ，试求其振
6、动位移、速度、和能量。 解： 如右图所示为一质点振动系统，弹簧的弹性系数为 mK ，质量为 mM ，取正方向沿 x 轴，位移为 。 则质点自由振动方程为 2 202d 0,dt （其中 20 ,mmKM ） 解得 00cos( ),a t 0 0 0 0 0 0d s i n ( ) c o s ( )d2aav t tt 当 00t ， 00tvv 时， 000 0 0c o sc o s ( )2aav 2 2 20 0 0000001arcta na vv 质点振动位移为 2 2 2 00 0 0 00 0 01 c o s ( a r c ta n )vvt 质点振动速度为 2 2 2
7、 00 0 0 0 00c o s( a r c ta n )2vv v t 质点振动的能量为 2 2 2 20 0 011 ()22m a mE M v M v 1-7 假 定 一 质 点 振 动 系 统 的 位 移 是 由 下 列 两 个 不 同 频 率 、 不 同 振 幅 振 动 的 叠 加tt 2s in21s in ，试问： (1) 在什么时候位移最大？ (2) 在什么时候速度最大？ 解 ： tt 2s in21s in ， ttdtd 2c o sc o s ttdtd 2s in2s in 2222 。 令 0dtd ，得： 32 kt 或 kt 2 ， 经检验后得： 32 kt
8、 时，位移最大。 令 022 dtd ，得： kt 或 )41a rc c o s (2 kt ， 经检验后得： kt 2 时，速度最大。 1-8 假设一质点振动系统的位移由下式表示 )c os ()c os ( 2211 tt 试证明 )c o s ( ta 其中 )c o s (2 12212221 a ，22112211 c o sc o s s ins ina r c t a n 证明： )c os ()c os ( 2211 tt 1 1 1 1 2 2 2 2c o s c o s s i n s i n c o s c o s s i n s i nt t t t 1 1 2 2
9、 1 1 2 2c o s ( c o s c o s ) s i n ( s i n s i n )tt 设 1 1 2 2c o s c o sA ， 1 1 2 2( s in s in )B 则 c o s sinA t B t = 22co s( )A B t （其中 arctan( )BA ） 又 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2c o s c o s 2 c o s c o sAB 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2s i n s i n 2 s i n s i n 221 2 1 2 1 2 1 22 ( c o s c o s s i n s i
10、 n ) 221 2 1 2 2 12 c o s ( ) 又 arctan( )BA 1 1 2 21 1 2 2s in s ina r c ta n ( )c o s c o s 令 2 2 2 21 2 1 2 2 12 c o s ( )a AB 则 )c o s ( ta 1-9 假设一质点振动系统的位移由下式表示 twtw 2211 c osc os ( 12 ww ) 试证明 )c o s( 1 twa ， 其中 .,)c o s ( )s i n (a r c t a n,)c o s (2 2121 2212221 wwwwtwtwta 解： 因为位移是矢量，故可以用矢量图
11、来表示。 由余弦定理知， )c o s (2 12212221 twtwa )c o s (2 212221 wt 其中， 12 www 。 由三角形面积知， s in21s in21 121 awt 得 awt sinsin 2 得 wtwttga 22222 s ins in 221 2 )c o s(s in wtwt wtwt cossin21 2故 wtwt c o ss in21 2即可证。 1-10 有一质点振动系统，其固有频率 f0 为已知，而质量 Mm 与弹性系数 Km待求，现设法在此质量Mm 上附加一已知质量 m，并测得由此而引起的弹簧伸长 1，于是系统的质量和弹性系数都可
12、求得，试证明之 . 证 由胡克定理得 mg Km1 Km mg/1 由质点振动系统固有频率的表达式mmMKf 210 得，1202202 44 fmgfKM mm . 纵上所述，系统的质量 Mm 和弹性系数 Km 都可求解 . 1-11 有一质点振动系统，其固有频率 f0 为已知，而质量 Mm 与弹性系数待求，现设法在此 质量 Mm上附加一质量 m，并测得由此而引起的系统固有频率变为 f0,于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之。 解： 由 mmMKf 210 得 mm MfK 20 )2( 由 mM Kf m m 210得 ),()2( 20 mMfK mm 联立两式，求得202020f
13、f fmM m ，2020202024ff fmfK m 1-12 设有如图 1-2-3 和图 1-2-4 所示的弹簧串 接和并接两种系统，试分别写出它们的动力学方程，并求出它们的等效弹性系数。 解 ： 串接时，动力学方程为 0212122 mmmmm KK KKdtdM ，等效弹性系数为mmmm KK KKK2121 。 并接时，动力学方程为 0)(2122 mmm KKdtdM，等效弹性系数为 mm KKK 21 。 1-13 有一宇航员欲在月球表面用一弹簧秤称月球上一岩石样品。此秤已在地球上经过校验，弹簧压缩 0 100 mm可称 0 1kg 。宇航员取得一块岩石，利用此秤从刻度上读得为
14、 0.4 kg ，然后，使它振动一下，测得其振动周期为 1s ，试问月球表面的重力加速度是多少？而该岩石的实际质量是多少？ 解： 设该岩石的实际质量为 M ，地球表面的重力加速度为 29.8g m s ，月球表面的重力加速度为g 由虎克定律知 ,MF Kx 又 MF Mg 则 1 100 .1M g gKgx 02 21MT K 则 221 0 1 0 9 .8 2 .544gM k g 又 10.4xx 则 0.04xm Mg Kx 则 224 0 . 0 4 1 . 5 8Kg x m sM 故月球表面的重力加速度约为 21.58ms ，而该岩石的实际质量约为 2.5kg 。 1-14 试
15、求证 )1(c o s ()2c o s ()c o s (c o s ntatatata 2)1(c o s2s in2s in ntna 证 )1()2()( ntjtjtjtj aeaeaeae 图 1-2-3 图 1-2-4 )1( jtj eae s inc o s1 s inc o s111 jjj njnaeeeae tjntj 2c o s2s i n2c o s2s i n2s i n2s i ns i n2s i n2s i n2s i n222jnjnnaejnjnae tjtj )2 1(2 1)212()22(2s i n2s i n2s i n2s i n2s i
16、n2s i n ntjnjtjjnjtj enaenaeeenae 同时取上式的实部，结论即可得证。 1-15 有一弹簧 mK 在它上面加一重物 mM ，构成一振动系统，其固有频率为 0f ， (1) 假设要求固有频率比原来降低一半，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接？ (2) 假设重物要加重一倍，而要求固有频率 0f 不变，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样 联接？ 解 ：固有频率mmo MKf 21 。 （ 1） 200 ff 4mm KK ，故应该另外串接三根相同的弹簧； （ 2）002ffMM mm mm KK 2 ，故应该另外并接一根相同的弹簧。 1-16 有一直径为 d 的 纸
17、盆扬声器，低频时其纸盆一音圈系统可作质点系统来对待。现已知其总质量为 mM ，弹性系数为 mK 。试求该扬声器的固有频率。 解： 该扬声器的固有频率为 0 12 mmKf M。 1-17 原先有一个 0.5 的质量悬挂在无质量的弹簧上，弹簧处于静态平衡中，后来又将一个 0.2的质量附加在其上面，这时弹簧比原来伸长了 0.04m，当此附加质量突然拿掉后，已知这 0.5 质量的振幅在 1s 内减少到初始值的 1/e 倍 ，试计算： （ 1）这一系统的力学参数 Km， Rm， f0； （ 2）当 0.2 的附加质量突然拿掉时，系统所具有的能量； （ 3）在经过 1s 后，系统具有的平均能量。 解：
18、（ 1）由胡克定理知， Km mg/ 所以 Km 0.2 9.8/0.04=49N/m 1/1 ee 故 msNRMR mmm /12 Hzfww 57.115.0492 10200 （ 2）系统所具有的能量 JKEm 0 3 9 2.004.0492121 22 （ 3）平均能量 JeKE tm 3220 1031.521 1-18 试求当力学品质因素 5.0mQ 时，质点衰减振动方程的解。假设初始时刻 0 ， 0vv ，试讨论解的结果。 解 ：系统的振动方程为： 022 mmm KdtdRdtdM 进一步可转化为，设mmMR2 ， 02 222 dtddtd 设： tie 于是方程可化为
19、： 0)2( 202 tjej 解得： )( 202 j te )( 202 方程一般解可写成： )( 202202 ttt BeAee 存在初始条件： 00t ， 00 vvt 代入方程计算得： 202 02 vA ，202 02 vB 解的结果为： )( 202202 ttt BeAee 其中202 02 vA ，202 02 vB 。 1-19 有一质点振动系统，其固有频率为 1f ，如果已知外力的频率为 2f ，试求这时系统的弹性抗与质量抗之比。 解： 质点振动系统在外力作用下作强迫振动时弹 性抗为 MK ，质量抗为 MM 已知 0 50f Hz ， 300f Hz 则 ( ) ( )
20、MMK M 2 2 2 2002 2 2 2 241 ( 5 0 ) 14 ( 3 0 0 ) 3 6MM fKMf 1-20 有一质量为 0.4kg 的重物悬挂在质量为 0.3kg，弹性系数为 150N/m的弹簧上，试问： (1) 这系统的固有频率为多少？ (2) 如果系统中引入 5kg/s 的力阻，则系统的固有频率变为多少？ (3) 当外力频率为多少时，该系统质点位移振幅为最大？ (4) 相应的速度与加速度共振频率为多少？ 解： (1) 考虑弹簧的质量， Hz76.23/3.04.0 1 5 02 13/2 10 sm mMM Kf. (2) 考虑弹簧本身质量的系统仍可作为质点振动系统，但此时系统的等效质量 Mm为 Mm+Ms / 3. 55.02 52 mmMR ， Hz64.253/3.04.0 1 5 02 12 1 22200 f . (3) 品质因素 66.15 5.058.160 mmm RMQ ， 位移共振频率： Hz39.22 11 20 mr Qff. (4) 速度共振频率： Hz64.20 ff r ， 加速度共振频率： Hz92.22 11 20 mmr QfQf. 1-21 有一质点振动系统被外力所策动，试证明当系统发生速度共振时，系统每周期的损耗能量与
