1、 概率论与数理统计复习大纲与复习题 09-10 第 二 学期 一、 复习方法与要求 学习任何数学课程，要求掌握的都是基本概念、基本定理、基本方法，概率论与数理统计同样 .对这些基本内容，习惯称三基，自己作出罗列与总结是学习的重要一环，希望尝试自己完成 . 学习数学离不开作题，复习时同样 .正因为要求掌握的是基本内容，将课件中提供的练习题作好就可以了，不必再找其他题目 . 如开学给出的学习建议中所讲： 作为本科的一门课程，在教材中我们讲 述了大纲所要求的基本内容 .考虑到学员的特点，在学习中可以有所侧重 .考试也有所侧重， 期末考试各章内容要求与所占分值如下 ： 第一章 随机事件的关系与运算，概
2、率的基本概念与关系，约占 30 分 . 第二章 一维随机变量的分布， 约占 25 分 . 第三章 二维随机变量的分布，仅要求掌握二维离散型随机变量的联合分布律、边缘分布律、随机变量独立的判别与函数分布的确定 . 约占 10 分 . 第四章 随机变量的数字特征 . 约占 15 分 . 第五、六、七、八章约占 20 分 .内容为： 第五章：契比雪夫不等式与 中心极限定理 . 第六章：总体、样本、统计量等术语；常用统计量的定义式与 常用 分布（ t 分布、 2 分布）；正态总体样本函数服从分布定理 . 第七章：矩估计，点估计的评选标准，一个正态总体期望与方差的区间估计 . 第八章：一个正态总体期望与
3、方差的假设检验 . 二、 期终考试方式与题型 本学期期末考试类型为 集中开卷考试 ，即允许带教材与参考资料 . 题目全部为客观题，题型有判断与选择 .当然有些题目要 通过计算才能得出结果 .其中判断题占 70 分，每小题 2分；选择题占 30 分，每小题 3 分 . 三、 应熟练掌握的主要内容 1. 理解概率这一指标的涵义 . 2. 理解统计推断依据的原理，即实际推断原理，会用其作出判断 . 3. 理解事件的包含、相等、和、差、积、互斥、对立的定义，掌握样本空间划分的定义 .掌握事件的运算律 . 4. 熟练掌握用简单事件的和、差、积、划分等表示复杂事件； 掌握事件的常用变形 ： ABABA （
4、使成包含关系的差） ， ABAB （独立时计算概率方便） A B A AB ， A B AB AB AB （使成为互斥事件的和） 12 nA A B A B A B （ nBBB 、其中 21 是一个划分） （利用划分将 A 转化为若干互斥事件的和） A AB AB（ BB与 即一个划分） 若 AB ，则 ,A B A A B B A B . 5. 掌握古典概型定义，熟悉其概率计算公式 .掌握摸球、放盒子、排队等教材所举类型概率的计算 . 6. 熟练掌握事件的和、差、积、独立等基本概率公式，以及条件概率、全概、逆概公式，并利用它们计算概率 . 7. 掌握离散型随机变量分布律的定义、性质，会求简
5、单离散型随机变量 的分布律 . 8. 掌握 0-1 分布、二项分布、泊松分布的分布律 . 9. 掌握连续型随机变量的概率密度的定义与性质 . 10. 掌握随机变量分布函数的定义、性质 . 11. 理解连续型随机变量的概率密度曲线、分布函数以及随机变量取值在某一区间上的概率的几何意义 . 12. 掌握随机变量 X 在区间 (, )ab 内服从均匀分布的定义，会写 出 X 的概率密度 . 13. 掌握正态分布 2( , )N 概率密度曲线图像； 掌握一般正态分布与标准正态分布的关系定理； 会查正态分布函数表； 理解服从正态分布 (N ), 2 的随机变量 X ，其概率 PX 与参数 和 的关系 .
6、 14. 离散型随机变量有分布律会求分布函数；有分布函数会求分布律 . 15. 连续型随机变量有概率密度会求分布函数；有分布函数，会求概率密度 . 16. 有分布律或概率密度会求事件的概率 . 17. 理解当概率 ( ) 0PA 时，事件 A 不一定是不可能事件； 理解当概率 ( ) 1PA 时，事件 A 不一定是必然事件 . 18. 掌握二维离散型随机变量的联合分布律定义； 会利用二维离散型随机变量的联合分布律计算有关事件的概率； 有二维离散型随机变量的联合分布律会求边缘分布律以及判断是否独立； 会确定二维离散型随机变量函数的分布 . 19. 掌握期望、方差定义式与性质，会计算上述数字 .
7、20. 掌握 0-1 分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布的参数与期望、方差的关系 . 21了解契比雪夫不等式 . 22. 会用中心极限定理计算概率 .理解拉普拉斯中心极限定理的涵义是： 设随机变量 X 服从二项分布 ( , )Bnp ，当 n 较大时，则 ( , )X N np npq近 似 ，其中 1qp 23. 了解样本与样本值的区别，掌握统计量，样本均值与样本方差的定义 . 24. 了解 2 分布、 t 分布的概率密度图象，会查两个分布的分布函数表，确定上 分位点 . 25. 了解正态总体 2( , )N 中，样本容量为 n 的样本均值 X 与22)1( Sn 服从的
8、分布 . 26. 掌握无偏估计量、有效估计量定义 . 27. 会计算参数的矩估计 . 28. 会计算正态总体 2( , )N 参数 与 2 的区间估计 . 29. 掌握一个正态总体 2( , )N ，当 2 已知或未知时， 的假设检验， 2 的假设检验 . 30. 了解假设检验的两类错误涵义 . 四、复习题 注 为了方便学员复习，提供复习题如下，这些题目都是课件作业题目的改造，二者相 辅相成，希望帮助大家学懂基本知识点 . 期终试卷中 70 分的题目抽自复习题 . （答案供参考） （一）判断题 第一章 随机事件与概率 1.写出下列随机试验的样本空间 （ 1） 袋中有编号为 1、 2、 3、 4
9、、 5的 5个球，从中随机取 1 个，观察取到球的号码，样本空间 为 1,2,3,4,5S . 正确 （ 2）袋中有编号为 1、 2、 3 的 3个球，从中随机取 2 个， 观察取到球的号码， 样本空间为 (1 , 1 ) , (1 , 2 ) , (1 , 3 ) , ( 2 , 2 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 3 ) S 错误 解析 同时取 2 个球，不可能取到 2 个号码相同的球，如 (1,1),(2, 2),(3,3)，所以是错误的 . 2. 袋中有编号为 1、 2、 3、 4、 5 的 5 个球，从中随机取一个 .设 A （取到 1、 2、 3 号球）， B （取到奇
10、数号球）， C （取到 3、 4、 5 号球）， D （取到 4、 5号球）， E （取到 2 号球），则 （ 1） AB（取到 1、 1、 2、 3、 3、 5 号球） 错误 解析 取到 1 号球是一个结果，即一个样本点，其含在事件 A 中也含在事件 B 中，事件 AB 是将 A ， B 的样本点放到一起构成新的事件，“取到 1 号球”仍然是一个样本点，不能记为 1、 1，同理 3、 3 也是错误的 . （ 2） A B E （取到 2号球） 错误 解析 事件 AB即 AB ，其由属于 A 而不属于 B 的样本点构成，只有“取到 2 号球”属于 A ，不属于 B ，所以 A B E ，故 A
11、 B E 是错误的 . （ 3） CD （取到 1、 2、 3、 4、 5 号球） 错误 解析 事件 CD 由属于 C 且属于 D 的样本点构成 ， C （取到 3、 4、 5 号球）， D （取到 4、 5 号球），共同的样本点为（取到 4、 5 号球），所以 CD （取到 4、 5 号球），故 CD （取到 1、 2、 3、 4、 5 号球） 是 错误 的 . （ 4） CD （取到 3号球） 正确 解析 参照对事件 AB的分析，可知 CD （取到 3 号球）是正确的 . （ 5） AD（取到 1、 2、 3、 4、 5 号球） 正确 解析 参照对事件 AB 的分析，可知 AD（取到 1、
12、 2、 3、 4、 5 号球） 是正确的 . （ 6） AD （取到 1、 2、 3、 4、 5 号球） 错误 解析 事件 ,AD没有共同的样本点，即 事件 A 与 D 互斥， AD ，故 AD （取到 1、 2、 3、 4、 5 号球）是 错误的 . （ 7） A （取到 4， 5 号球）； 正确 解析 A 为 A 的对立事件，其由所有属于样本空间而不属于事件 A 的样本点组成。 （ 8） AB （取到 2、 4、 5 号球） . 正确 解析 先确定 AB ， AB 由 A 与 B 共同的样本点组成， AB （取到 1、 3 号球） ， AB 为 AB 的对立事件， 所以 AB（取到 2、
13、4、 5 号球） 是正确的。 （ 9） AC 不等于样本空间 S . 错误 解析 先确定 AC 的内容， A （取到 1、 2、 3 号球）， C （取到 3、 4、 5 号球）， A 与 C 的和事件应该为（取到 1、 2、 3、 4、 5 号球）。而样本空间 S 即所有结果的集合就是（取到 1、 2、 3、 4、 5 号球），所以 A C S。故称 AC不等于样本空间 S 是错误的。 3. 甲、乙二人打靶，每人射击一次，设 ,AB分别为甲、乙命中目标，用 ,AB事件的关系式表示下列事件，则 （ 1）（甲没命中目标） AB 错误 （ 2）（甲没命中目标） A 正确 解析 事件（甲没命中目标）
14、，涵义为不考虑乙是否命中，仅考虑甲，故（ 2）（甲没命中目标） A 是正确的；而 AB表示事件（甲没命中目标且乙命中目标），故（ 1）（甲没命中目标） AB 是错误的 . （ 3）（仅甲命中目标 ） A ； 错误 解析 A 为甲命中目标， 其 不管 乙是否命中 ，而（ 仅 甲命中目标 ）意味 乙 没有 命中 目标，所以（ 仅 甲命中目标 ） AB 。 （ 4）（甲、乙均命中目标） AB 错误 （ 5）（甲、乙均命中目标） AB 正确 解析 因为 A 与 B 的和事件 AB 表示或 A 或 B ，积事件 AB 表示 A 且 B . ,AB分别为甲、乙命中目标，所以AB 表示或甲命中目标，或乙命中
15、目标， AB 表示甲命 中目标且乙命中目标，即甲、乙均命中目标，所以（ 4）错，（ 5）正确 . 4.一批产品中有 3 件次品，从这批产品中任取 5 件检查，设 iA （ 5 件中恰有 i 件次品）， i=0,1,2,3 叙述下列事件，则 （ 1） 0A （ 5 件中恰有 0件次品） =（ 5 件中没有次品） 正确 解析 由事件 iA 的定义，显然 0A （ 5 件中恰有 0 件次品） =（ 5 件中没有次品） 是正确的 . （ 2） 0A （ 5 件中恰有 1件次品） 错误 （ 3） 0A （ 5 件中至少有 1件次品） 正确 解析 从这批产品中任取 5 件检查，从取到次品的数目的角度可以将
16、样本点分为 3 类，没有次品，有 1 件次品，有 2 件次品，有 3 件次品 . 0A 为没有次品，其对立事件为有次品，故有 1 件次品， 2 件次品， 3 件次品样本点的总和为 0A 的对立事件 .故 （ 2） 0A （ 5 件中恰有 1 件次品）是错误的， （ 3） 0A （ 5 件中至少有 1 件次品）是正确的 . （ 4） 3A （ 5 件中最多有 2件次品） 正确 解析 注意该批产品中有 3 件次品，从取到次品数目的角度看，取 5 件检查次品数最多有 3 件 .因为 3A 为 5 件中恰有 3 件次品，其对立事件则为没有次品，或有 1 件次品，或有 2 件次品，故 3A （ 5 件中
17、最多有 2 件 次品）是正确的 . （ 5） 23AA =（ 5 件中至少有 3件次品） 错误 （ 6） 23AA =（ 5 件中至少有 2 件次品） 正确 解析 23AA 表示或 2A 或 3A ， 2A 则是有 2 件次品，故 （ 5） 23AA =（ 5 件中至少有 3 件次品）是错误的，（ 6） 23AA =（ 5 件中至少有 2 件次品）是正确的 . 5.指出下列命题中哪些成立，哪些不成立？ （ 1） BAABA 错误 （ 2） A B A B A B A B 正确 （ 3） ABABA 正确 （ 4） A B AB 错误 （ 5） ABC ABC 错误 （ 6） ABC A B C
18、 正确 （ 7） 若 AB ，则 A B A ； 正确 （ 8） 若 AB ，则 AB A ； 错误 （ 9） 若 AB ，则 AB . 错误 （ 10） A B B A ； 正确 （ 11）若 ,AB互斥，则 A B A 。 正确 解析 由下面图示可见 A B A A B A B A B A B ，所以 （ 1） BAABA 是错误的， （ 2） A B A B A B A B 是正确的 . 由下面图可见 A B A AB AB ， 所以 （ 3） ABABA 是正确的， （ 4） A B AB 是错误的 . （ 5）（ 6）是考察对事件运算律中德 .摩根律的掌握，显然（ 6） ABC A
19、B C 正确， （ 5） ABC ABC 错误 . （ 7） （ 8）（ 9） 图（ a）事件 AB ， 即 事件 B 的样本点都是 事件 A 的样本点，故 AB 仍然为 A ， 所以 A B A 是正确的 。AB 为 事件 A 与 B 共同的样本点构成 ，因为 事件 B 的样本点都是 事 件 A 的样本点，故 AB B ， 所以 AB A 是错误的 。 （ a） (b) (c) 图（ b）红色区域为 A ，图（ c）绿色区域为 B ，显然 绿 色区域 包含 红 色区域，即 AB ，所以 AB 是错误的 . （ 10） A B B A ，式的两边均为 A 与 B 的和事件，由事件和的运算满足交
20、换律也可知该式成立。 （ 11） 首先应该清楚事件差的含义， AB 是属于 A 而不属于 B 的样本点构成的事件。 看下图， A 与 B 互斥，事件 A 的所有样本点也只有 A 的样本点满足属于 A 而不属于 B ，所以 A B A 是正确的。 6. 袋中有编号为 1、 2、 3、 4、 5 的 5 个球，从中随机取一个 .设 A （取到 1、 2、 3 号球）， B （取到奇数号球）， C （取到 3、 4、 5 号球）， D （取到 4、 5号球）， E （取到 2 号球），则 （ 1） 3()5PA 正确 解析 等可能概型 事件 A 的概率为 nkn kAAP 样本点总数中含样本点数 随
21、机试验为 从 1、 2、 3、 4、 5 的 5 个球中随机取一个 ，从取球号数角度看共有 5 种可能，即样本空间中含 5 个样本点，且取到每一个球的可能性相等，该随机试验为 等可能概型 .事件 A （取到 1、 2、 3 号球）， 含三个样本点，所以 3()5PA 是正确的 . （ 2） 4( ) ( ) ( ) 5P B E P B P E 正确 解析 概率有性质：互斥事件和的概率等于概率的和 .事件 B （取到奇数号球）， E （取到 2 号球）， 两事件没有共同的样本点，即两事件互斥 . 31( ) , ( )55P B P E， 所以 4( ) ( ) ( ) 5P B E P B
22、P E 是正确的 . （ 3） 4( ) ( ) ( ) 5P A E P A P E 错误 （ 4） 3( ) ( )5P A E P A 正确 解析 方法 1 事件 A （取到 1、 2、 3 号球）， E （取到 2 号球）， A 与 E 非互斥， A 与 E 和的概率为 3 1 1 3( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 5 5P A E P A P E P A E . 方法 2 因为事件 A 包含事件 E ，故 A E A ，所以 3( ) ( ) 5P A E P A . 总之 （ 3） 4( ) ( ) ( ) 5P A E P A P E 是 错误 的， （ 4） 3( )
23、( ) 5P A E P A 是 正确的 . （ 5） ( ) ( ) ( )P A B P A P B 错误 （ 6） 4()5P A B 正确 解析 事件 A （取到 1、 2、 3 号球）， B （取到奇数号球） =（取到 1、 3、 5 号球），事件 A 与 B 有共同的样本点，不是互斥的， A 与 B 的积事件 (AB 取到 1、 3 号球），故 3 3 2 4( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 5 5P A B P A P B P A B ， 所以（ 5） ( ) ( ) ( )P A B P A P B 是 错误的； （ 6） 4()5P A B是正确的 . （ 7） 3 1
24、 2( ) ( ) ( ) 5 5 5P A E P A P E ； 正确 （ 8） 33( ) ( ) ( ) 055P A B P A P B ； 错误 （ 9） 3 2 1( ) ( ) ( ) 5 5 5P A B P A P A B ； 正确 （ 10） 3 2 1( ) ( ) ( ) 5 5 5P A D P A P D . 错误 解析 （ 7） 、 （ 8）、 （ 9）、 （ 10）均为计算两个事件茬的概率， 两个事件差的概率公式为： 对任意事件有 ( ) ( ) ( )P A B P A P A B ， 若事件事件 A 包含 事件 B ， 则 ( ) ( ) ( )P A B
25、 P A P B 。 由题设 A （取到 1、 2、 3 号球）， B （取到奇数号球）， D （取到 4、 5 号球）， E （取到 2 号球） 。 因为 事件 A 包含事件 E ， 所以（ 7） 3 1 2( ) ( ) ( ) 5 5 5P A E P A P E 是正确的。 而事件 A 不 包含 事件 B ， 所以 （ 8 ） 33( ) ( ) ( ) 055P A B P A P B 是错误的， （ 9 ）3 2 1( ) ( ) ( ) 5 5 5P A B P A P A B 是正确的 ； 同样事件 A 不 包含 事件 D ， 所以 （ 10） 3 2 1( ) ( ) ( )
26、 5 5 5P A D P A P D 是错误的 . （ 11） ( ) ( )P A P D ； 正确 （ 12） 2()5P AB ； 正确 （ 13） ( ) 0PCE ； 正确 （ 14） 2()3P B A ； 正确 （ 15） ( ) 1P C D 。 正确 解析 （ 11） 该随机试验的 样本空间 S （取到 1、 2、 3、 4、 5 号球）， 由题 设 D （取到 4、 5 号球）， 显然 D（取到 1、 2、 3 号球）， 所以 AD ， ( ) ( )P A P D 。 （ 12）由题设 A （取到 1、 2、 3 号球）， B （取到奇数号球） =（取到 1、 3、 5
27、 号球）， 故事件 (AB 取到 1、3 号球），所以 2()5P AB 是正确的。 （ 13） 由题设 C （取到 3、 4、 5 号球）， E （取到 2 号球）， 两事件没有共同的样本点，即两事件互斥， CE 为不可能事件 ，故 ( ) 0PCE 。 （ 14） ()PBA 的计算有两种方法： 方法 1 条件概率计算公式 ()()()P ABP B A PA由前面的计算结果知道 2()5P AB ， 3()5PA ， 所以 ( ) 2 / 5 2()( ) 3 / 5 3P A BP B A PA 。 方法 2 由条件概率的本质涵义 。 ()PBA 为在已知事件 A 发生条件下事件 B
28、发生的概率， 由题设 A （取到 1、 2、3 号球）， B （取到奇数号球） =（取到 1、 3、 5 号球）， A 发生即已经知道 取到 的是 1、 2、 3 号球 中的一个，其中只有 1、 3 号球属于 B ，故 A 发生条 件下事件 B 发生的概率 2()3P B A 。 （ 15） ()PCD 为在已知事件 D 发生条件下事件 C 发生的概率， 由题设 C （取到 3、 4、 5 号球）， D （取到4、 5 号球）， D 发生了，一定是取到了 4、 5 号球 中的一个，无论取到哪一个事件 C 均发生，故 ( ) 1P C D 。 7.（ 1） 设事件 ,AB互斥， 2.0)( AP
29、 ， )(BP =0.3 ，则 5.0)( BAP . 正确 （ 2） 设事件 ,AB互斥， 2.0)( AP ， 5.0)( BAP 则 )(BP =0.7 . 错误 （ 3） 设 ( ) 0.5PA ， ( ) 0.4PB ， ( ) 0.7P A B， 则 ( ) 0.2P AB . 正确 （ 4） 设事件 ,AB相互独立， 2.0)( AP ， )(BP =0.3，则 ( ) 0.5P AB . 错误 （ 5） 设事件 ,AB相互独立， 2.0)( AP ， )(BP =0.3，则 ( ) 0.06P AB . 正确 （ 6） 设事件 ,AB相互独立， 2.0)( AP ， )(BP
30、=0.3，则 ( ) 0.44P A B . 正确 （ 7）设事件 ,AB相互独立 ， ( ) 0.5,PA ( ) 0.2PB ，则 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 . 4P A B P A B P A P B 。 正确 解析 （ 1） 参考 6（ 2）的解析，可知 ,AB互斥 ， ( ) ( ) ( ) 0 . 2 0 . 3 0 . 5P A B P A P B 所以 5.0)( BAP 是正确的 . （ 2）由上面的分析， ,AB互斥 ， ( ) ( ) ( )P A B P A P B ，故 ( ) ( ) ( ) 0 . 5 0 . 2 0 . 3P B P A B P A 所
31、以 )(BP =0.7 是 错误 的 . （ 3）没有 ,AB互斥 的前提， A 与 B 两个事件和的概率 ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B 则 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 . 4 0 . 5 0 . 7 0 . 2P A B P A P B P A B ， 所以 ( ) 0.2P AB 是 正确的 . （ 4）（ 5）（ 6）均在事件 ,AB相互独立条件下讨论问题，事件 ,AB相互独立必然满足 ( ) ( ) ( )P AB P A P B ， 所以 ( ) 0.5P AB 是错误的， ( ) 0.06P AB 是正确的。 因为 ( ) ( ) (
32、 ) ( )P A B P A P B P A B ，所以 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 . 2 0 . 3 0 . 0 6 0 . 4 4P A B P A P B P A B 是正确的。 （ 7） 参考 5 题中对“（ 4） A B AB 是错误的” 的分析， 应该有 A B AB 。又当随机事件 A 与 B 相互独立时， A 与 B 、 A 与 B 、 A 与 B 均 相互独立，故 ( ) ( ) ( ) 0 . 4P A B P A P B， 综上有( ) ( ) ( ) ( ) 0 . 4P A B P A B P A P B 。 8. 设事件 , ( ) 0.5,A B P A( ) 0.2PB ，则 （ 1） ( ) ( ) ( ) 0 .3P A B P A P B 正确 （ 2） ( ) ( ) ( ) 0 .7P A B P A P B 错误 （ 3） ( ) ( ) 0 .5P A B P A 正确 （ 4） ( ) 0.5P AB 错误
