1、1复变函数论试题库梅一 A111复变函数考试试题（一）1、 _.（ 为自然数）1| 00)(znzdn2. _.22cossin3.函数 的周期为_.z4.设 ，则 的孤立奇点有_.1)(2f)(zf5.幂级数 的收敛半径为_.0nz6.若函数 f(z)在整个平面上处处解析，则称它是_.7.若 ，则 _.nzlimnzzn.li218. _，其中 n 为自然数.)0,(Renzs9. 的孤立奇点为_ .zi 10.若 是 的极点，则 .0z)(f _)(lim0zfz三.计算题（40 分）：1. 设 ，求 在)2(1)(zzf )(zf内的罗朗展式.1|0:zD2. .cos1|zd3. 设
2、，其中 ，试求Czf73)(2 3|:z).1(if4. 求复数 的实部与虚部 .1w四. 证明题.(20 分)1. 函数 在区域 内解析 . 证明：如果 在 内为常数，(zfD|)(|zfD那么它在 内为常数 .2. 试证: 在割去线段 的 平面内能分出两个()1)fzz0Re1z单值解析分支, 并求出支割线 上岸取正值的那支在 的1z值.2复变函数考试试题（二）二. 填空题. (20 分)1. 设 ，则iz_,arg_,| z2.设 ，则Ciyxyxixyf )sn(1)2() 2_.lim1zz3. _.（ 为自然数） 1| 00)(znzdn4. 幂级数 的收敛半径为_ .0n5. 若
3、 z0 是 f(z)的 m 阶零点且 m0，则 z0 是 的_零点.)(f6. 函数 ez的周期为_. 7. 方程 在单位圆内的零点个数为_.83258. 设 ，则 的孤立奇点有_.21)(zf)(f9. 函数 的不解析点之集为_.|10. ._),(Res4z三. 计算题. (40 分)1. 求函数 的幂级数展开式.2sin(3z2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数 在正z实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点处的值 .iz3. 计算积分： ，积分路径为（1）单位圆izId|（ ）的右半圆.1|z4. 求 dzz22)(sin.四. 证明题.
4、(20 分)1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证：f (z)在 D 内为常数的充要条件是在 D 内解析.)(zf2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.复变函数考试试题（三）二. 填空题. (20 分)1. 设 ，则 f(z)的定义域为_.1(2zf32. 函数 ez的周期为_.3. 若 ，则 _.nni)1(2nzlim4. _.zcosi5. _.（ 为自然数）1| 00)(zndn6. 幂级数 的收敛半径为_.0nx7. 设 ，则 f(z)的孤立奇点有_.1)(2zf8. 设 ，则 .e_9. 若 是 的极点，则 .0)(f _)(lim0fz10. .,Resnz三. 计算题.
5、(40 分)1. 将函数 在圆环域 内展为 Laurent 级数.12(zfe0z2. 试求幂级数 的收敛半径.nz!3. 算下列积分： ，其中 是 . Cze)9(d21|z4. 求 在| z|1 内根的个数 .08269 zz四. 证明题. (20 分)1. 函数 在区域 内解析. 证明：如果 在 内为常(fD|)(|fD数，那么它在 内为常数.2. 设 是一整函数，并且假定存在着一个正整数 n，以及两个正)zf数 R 及 M，使得当 时|，nzf|)(证明 是一个至多 n 次的多项式或一常数。)(zf复变函数考试试题（四）4二. 填空题. (20 分)1. 设 ，则 .iz1_Im,Re
6、z2. 若 ，则 _.nlimnzn.l213. 函数 ez的周期为_.4. 函数 的幂级数展开式为_2)(f5. 若函数 f(z)在复平面上处处解析，则称它是 _.6. 若函数 f(z)在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是 D 内的_.7. 设 ，则 .1|:C_)(Cdz8. 的孤立奇点为_.zsin9. 若 是 的极点，则 .0)(f)(lim0zfz10. _.),(Resnz三. 计算题. (40 分)1. 解方程 013z.2. 设 ，求1)(2zef ).,(Rzfs3. . )(9(2| 2z di4. 函数 zez1有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它()f
7、的阶数）.四. 证明题. (20 分)1. 证明：若函数 在上半平面解析，则函数 在下半平面解f )(zf析.2. 证明 方程在 内仅有 3 个根.0364z2|1z复变函数考试试题（五）二. 填空题.（20 分）1. 设 ，则 .iz31_,arg_,| zz52. 当 时， 为实数._zze3. 设 ，则 .14. 的周期为 _.ze5. 设 ，则 .|:C_)(Cdz6. .0,1(Rsz7. 若函数 f(z)在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是 D 内的_。8. 函数 的幂级数展开式为_.21f9. 的孤立奇点为_.zsin10. 设 C 是以为 a 心，r 为半径的圆周
8、，则.（ 为自然数）_)(Cndan三. 计算题. (40 分)1. 求复数 的实部与虚部.1z2. 计算积分：，zILdRe在这里 L 表示连接原点到 的直线段.1i3. 求积分： ，其中 0a1.I202cosa4. 应用儒歇定理求方程 ，在|z| 1 内根的个数，在这里)(z在 上解析，并且 .)(z1|1四. 证明题. (20 分)1. 证明函数 除去在 外，处处不可微.2|zf02. 设 是一整函数，并且假定存在着一个正整数 n，以及两个数 R(及 M，使得当 时R|，nzf|)(6证明: 是一个至多 n 次的多项式或一常数 .)(zf复变函数考试试题（六）1.一、填空题（20 分）
9、1. 若 ，则 _.21()nnzilimnz2. 设 ，则 的定义域为2()ff_.3. 函数 的周期为_.sinz4. _.22co5. 幂级数 的收敛半径为_.0nz6. 若 是 的 阶零点且 ，则 是 的_零()fm10z()f点.7. 若函数 在整个复平面处处解析，则称它是_.()fz8. 函数 的不解析点之集为_.9. 方程 在单位圆内的零点个数为_.53280z10. 公式 称为_.cosinixex二、计算题（30 分）1、 .2lim6nni2、设 ，其中 ，试求 .2371()Cfzdz:3Cz(1)fi3、设 ，求 .2()zefR(),sfi4、求函数 在 内的罗朗展式
10、.36sinz05、求复数 的实部与虚部.1wz6、求 的值.3ie三、证明题（20 分）1、 方程 在单位圆内的根的个数为 6.763910zz2、 若函数 在区域 内解析， 等于常数，(),)(,)fuxyivD(,)vxy则 在 恒等于常数.fzD73、 若 是 的 阶零点，则 是 的 阶极点.0z()fm0z1()fm计算下列积分 （分）(1) ； (2) 22sin()zdzA24(3)zdzA计算积分 （分）053cos求下列幂级数的收敛半径 （分）(1) ； (2) 1()nniz21(!)nnz设 为复平面上的解析函数，试确定3232()fmyxilxy， ， 的值 （分）l三
11、、证明题设函数 在区域 内解析， 在区域 内也解析，证明()fzD()fzD必为常数 （分）()fz试证明 的轨迹是一直线，其中 为复常数， 为实常0azbab数 （分）试卷一至十四参考答案复变函数考试试题（一）参考答案二填空题1. ； 2. 1； 3. ， ； 4. ； 20in2k()zzi5. 16. 整函数； 7. ； 8. ； 9. 0； 1()!n10. .三计算题.1. 解 因为 所以01,z01z.()(2)()2f001()2nnzz2. 解 因为 ,222 1Re()limlicossnzzzsf8.222 1Re()limlicossnzzzsf所以 .2221(Re)(
12、)0zzzdiff3. 解 令 , 则它在 平面解析, 由柯西公式有在()371内 ,3z.()()2()cfdzi所以 .11(36)2(13)zii ii4. 解 令 , 则zab.2222()()11(1)abiabwz故 , .2()Re()12Im()(z四. 证明题.1. 证明 设在 内 .D()fzC令 .22(),()fzuivfzuvc则两边分别对 求偏导数, 得 xy0(1)xy因为函数在 内解析, 所以 . 代入 (2) 则上述方程组变D,xxuv为. 消去 得, .0xuvx2()0x1) 若 , 则 为常数.2fz2) 若 , 由方程 (1) (2) 及 方程有 ,
13、0xv.CR0,xuy.y所以 . ( 为常数).12,ucv12,c所以 为常数.()fzi2. 证明 的支点为 . 于是割去线段 的()z0,1z0Re1z平面内变点就不可能单绕 0 或 1 转一周, 故能分出两个单值解析分支 .z由于当 从支割线上岸一点出发,连续变动到 时, 只有 的幅角z9增加 . 所以的幅角共增加 . 由已知所取分支在支割线上岸取正值, ()1)fzz2于是可认为该分支在上岸之幅角为 0, 因而此分支在 的幅角为 , 1z2故 .2(1)ife复变函数考试试题（二）参考答案二. 填空题1.1， ， ； 2. ； 3. ； 4. 2i3(1sin2)210in1； 5
14、. .1m6. ， . 7. 0； 8. ； 9. ； ki()ziR10. 0.三. 计算题1. 解 .3212163300()()sin(2)!nnnzzz2. 解 令 .ire则 .2(),(0,1)kifzre又因为在正实轴去正实值，所以 .所以 .4()if3. 单位圆的右半圆周为 , .ize2所以 .22i iizdi4. 解 zz22)(sin2)(sinz2coszi=0.四. 证明题.1. 证明 (必要性) 令 ,则 . ( 为实常数).1()fci1()fi1,c令 . 则 .12,uxycv0xyxuv即 满足 , 且 连续, 故 在 内解析.CRxyfzD(充分性)
15、令 , 则 ,()fzui()fzi因为 与 在 内解析, 所以D, 且 .,xyxuv,()xyyxxvuv比较等式两边得 . 从而在 内 均为常数,故0yx在 内为常数.()fz2. 即要证 “任一 次方程 n1010()nnazaza10有且只有 个根 ”.n证明 令 , 取101() 0nnfzazaz, 当 在 上时, 有 10maxR:CR.11110() ()n nnnnzR .)fz由儒歇定理知在圆 内, 方程 与 z101nnazaz有相0naz同个数的根. 而 在 内有一个 重根 . 因此0nazR0次方程在 内有 个根.R复变函数考试试题（三）参考答案二.填空题.1. ;
16、 2. ; 3. ; 4. 1; 5. ,zizC且 2()kiz1ei;210n6. 1; 7. ; 8. ; 9. ; i(2)zki10. .(1)!n三. 计算题.1. 解 .22201()!nz zez2. 解 .11!() 1limlilim()li()!nnnnnc e所以收敛半径为 .e3. 解 令 , 则 .2()9)zf200Re()9zzesf故原式 .0Reziisf4. 解 令 , . 962()fz()8z则在 上 均解析, 且 , 故由:C1()f与 ()6()8fz儒歇定理有. 即在 内, 方程只有一个根.(,),1NfCz四. 证明题.1. 证明 证明 设在 内 .D()fz令 .22(),fzuivuvc则两边分别对 求偏导数, 得 xy0(1)xy因为函数在 内解析, 所以 . 代入 (2) 则上述方程组变D,xxuv为. 消去 得, .0xuvx2()0x
