1、1一元一次方程应用题归类汇集 一元一次方程应用题归类汇集：行程问题 ， 工程问题 ， 和差倍分问题（生产、做工等各类问题） ， 调配问题， 分配问题，配套问题 ， 增长率问题 数字问题 ，方案设计与成本分析 ，古典数学 ， 浓度等问题。一、行程问题：（1）行程问题中的三个基本量及其关系： 路程=速度时间。 （2）基本类型有： 相遇问题； 追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。例 1：甲、乙两站相距 480 公里，一列慢车从甲站开出，每小时行
2、90 公里，一列快车从乙站开出，每小时行140 公里。 （1）慢车先开出 1 小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？ （2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距 600 公里？ （3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距 600 公里？ （4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？ （5）慢车开出 1 小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？ 此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可结合图形分析。 类型 等 量 关 系列一元一次方程解行程问题直线 相遇追及相遇追及顺逆流
3、问题错车问题两者的路程之和=两地的距离两者的路程之差=两地的距离两者的路程之和=环形跑道一圈的长度两者的路程之差=环形跑道一圈的长度路程或静水中的速度相等两者路程和或差=两个车身的长度和2（一）相遇：1.甲、乙两人在相距 18 千米的两地同时出发，相向而行，1 小时 48 分相遇，如果甲比乙早出发 40 分钟，那么在乙出发 1 小时 30 分时两人相遇，求甲、乙两人的速度。2. A、B 两地相距 15 千米. 甲每小时走 5 千米，乙每小时走 4 千米. 甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，几小时后两人相遇？3A、B 两地相距 15 千米.甲每小时走 5 千米，乙每小时走 4 千
4、米.甲、乙两人分别从 A、B 两地相向而行，甲先出发 1 小时后乙再出发，几小时后两人相遇？4 A、B 两地相距 15 千米. 甲每小时走 5 千米，乙每小时走 4 千米. 甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，背向而行，几小时后两人相距 60 千米？5.甲乙两人从相距 32 千米的两地相向而行,甲步行每小时走 4 千米,先行 1 小时后,乙骑自行车出发 2 小时后与甲相遇,问乙骑自行车每小时走多少千米?6.某汽车和电动车从相距 298 千米的两地同时出发相对而行，汽车的速度比电动车速度的 6 倍还多 15 千米，半小时后相遇。求两车的速度。7.甲、乙两站相距 280 千米，一列慢车从甲站出
5、发，每小时行驶 60 千米，一列快车从乙站 出发，每小时行驶 80 千米，问： （1）两车同时开出，相向而行，出发后多少小时相遇？ （2）两车同时开出，同向而行，如果慢车在前，出发后多少小时快车追上慢车？ 8.一列快车从甲地开往乙地需 5 小时,一列慢车从乙地开往甲地需要的时间比快车多 51小时.两列火车同时从两地相对开出,2 小时后,慢车在一个车站停了下来,快车继续行驶 96 千米与慢车相遇.问甲、乙两地相距多少千米?9.一列客车和一列货车在平行的轨道上同向行驶,客车长 200 米,货车长 310 米,客货两车的速度比为 4:3.如果客车从后面追赶货车,从车头赶上到车尾超过的时间为 2 分钟
6、.求两列火车的速度.10.一个通讯员骑自行车需要在规定时间内把信件送到某地，每小时走 15 公里，早到 24 分钟，如果每小时走12 公里，就要迟到 15 分钟，原定时间是多少？他去某地的路程是多远？（二）追击：1.一列客车长 200 m,一列货车长 280 m,在平行的轨道上相向行驶,从两车头相遇到两车尾相离经过 16 秒,已知客车与货车的速度之比是 32,问两车每秒各行驶多少米?2.与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南行进。行人的速度是每小时 3.6Km，骑自行车的人的速度是每小时 10.8Km。如果一列火车从他们背后开来，它通过行人的时间是 22 秒，通过骑自行车人的时间
7、是 26 秒。（1）行人的速度为每秒多少米；（2）求这列火车的身长是多少米。3.休息日我和妈妈从家里出发一同去外婆家，我们走了 1 小时后，爸爸发现带给外婆的礼品忘在家里，便立刻带上礼品以每小时 6 千米的速度去追，如果我和妈妈每小时行 2 千米，从家里到外婆家需要 1 小时 45 分钟，问爸爸能在我和妈妈到外婆家之前追上我们吗？4.一次远足活动中，一部分人步行，另一部分乘一辆汽车，两部分人同地出发。汽车速度 60 公里/小时，我们的速度是 5 公里/小时，步行者比汽车提前 1 小时出发，这辆汽车到达目的地后，再回头接步行这部分人。出发地到目的地的距离是 60 公里。问：步行者在出发后经多少时
8、间与回头接他们的汽车相遇（汽车掉头的时间忽略不计）？5某中学学生步行去某地参加社会公益活动，每小时行走 4 千米. 出发 30 分钟后，学校派一名通信员骑自行3车以 12 千米时的速度追赶队伍，问通信员用多少时间可以追上学生队伍？6某中学学生步行去某地参加社会公益活动，每小时 4 千米. 出发 30 分钟后，队长派一名通信员以 8 千米时原路的速度返回学校取重要信件，然后以 12 千米时的速度追赶队伍，问通信讯员拿到信件后用多少时间可以追上学生队伍？ 7.甲乙两人练习短距离赛跑,甲每秒跑 7.5 米,乙每秒跑 7 米,如果乙先跑 1 秒种,甲经过几秒钟可以追上乙?8. 甲、乙两人练习跑步，从同
9、一地点出发，甲每分钟跑 250 米，乙每分钟跑 200 米，甲因找跑鞋比乙晚出发3 分钟，结果两人同时到达终点，求两人所跑的路程。9.敌我相距 14 千米,得知敌军于 1 小时前以每小时 4 千米的速度逃跑,现在我军以每小时 7 千米的速度追击敌军,问需几小时可以追上?10.甲、乙两站相距 245 千米,一列慢车由甲站开出,每小时行驶 50 千米;同时,一列快车由乙站开出,每小时行驶 70 千米;两车同向而行,快车在慢车的后面,经过几小时快车可以追上慢车?11.某班学生列队从学校到一个农场去参加劳动,以每小时 4 千米的速度行进.走完 1 千米时,一个学生奉命回学校取一件东西,他以每小时 5
10、千米的速度跑回学校,取了东西后又立即以同样的速度跑步追赶队伍,结果在距农场 1.5 千米的地方追上队伍.求学校到农场的距离.12.甲、乙两人由 A 村去 B 城办事,乙临时因事耽误了 30 分钟,若乙的速度比甲的速度每小时快 5 千米,那么乙用了 2 小时追上甲.求甲、乙两人的速度及追上时离 A 村的距离.13.甲、乙两人从同一地点出发,同向而行,甲骑自行车,乙步行.如果乙先走 12 千米,那么甲用 1 小时就能追上乙;如果乙先走 1 小时,那么甲只用 21小时就能追上乙.求两人的速度.14.甲从 A 地出发以 6 千米/时的速度向 B 地行驶,40 分钟后,乙从 A 地以 8 千米/时的速度
11、按甲所走的路径追甲,结果在甲行至离 B 地还差 5 千米处追上了甲,求 A、B 两地间的距离.（三）行船问题：流水问题是研究船在流水中的行程问题，因此，又叫行船问题。 流水问题有如下两个基本公式：顺水速度=船速+水速 （1）逆水速度=船速-水速 （2）水速=船速-逆水速度 （3） 船速=逆水速度+水速 (4) 船速=（顺水速度+逆水速度）2 (5) 水速=（顺水速度-逆水速度）2 (6) 1. 一艘船在两个码头之间航行，水流速度是 3 千米每小时，顺水航行需要 2 小时，逆水航行需要 3 小时，求两码头的之间的距离？2.一轮船航行于两个码头之间，逆水需 10 小时，顺水需 6 小时。已知该船在
12、静水中每小时航行 12 千米，求水流速度和两码头间的距离。43.一艘船从 A 港到 B 港顺流行驶，用了 5 小时；从 B 港返回 A 港逆流而行，用了 7.5 小时，已知水流的速度是3 千米/时，求船在静水中的速度。4.一只轮船航行于甲、乙两地之间,顺水用 3 小时,逆水比顺水多 30 分钟,已知轮船在静水中速度是每小时 26千米,求水流的速度.5.一艘轮船从甲乙码头顺流行驶用了两个小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶用了 2.5 小时。已知水流的速度是 3 千米/时，求船在静水中的平均速度。6.某人乘船由 A 地顺流而下到 B 地，然后又逆流而上到 C 地，共乘船 3 小时，已知船在静水中的速
13、度是每小时8 千米，水流速度是每小时 2 千米，若 A、C 两地距离为 2 千米，求 A、B 两地之间的距离。7.一只轮船航行于甲、乙两地之间，顺水用 3 小时，逆水用的时间比顺水多用 30 分钟，已知船在静水中的速度是每小时 26 千米，求水流的速度和甲、乙两地的距离。8.一架飞机飞行在两个城市之间，风速为每小时 24 千米，顺风飞行需要 2 小时 50 分钟，逆风飞行需要 3 小时，求两城市间距离。9.一架飞机在两城之间飞行，风速为 24 千米/小时。顺风飞行需要 2 小时 50 分，逆风飞行需要 3 小时，求无风时飞机的航速和两城之间的航程。（四）上坡下坡1. 某人每小时可走平路 8 千
14、米,可走下坡路 10 千米,可走上坡路 6 千米.他从甲地到乙地去,先走一段上坡路,再走一段平路,到乙地后立即返回甲地.往返共用了 2 小时 36 分钟.若甲乙两地间的路程为 10 千米,问在这 10千米路程中,上坡路及平路各有多少千米?（五）圆环跑道：1.在 800 米跑道上有两人练中长路，甲每分钟跑 320 米，乙每分钟跑 280 米，两人同时同地同向起跑，t 分钟后第一次相遇，t 等于 分钟2.甲,乙二人在 400 米的环形跑道上跑步，已知甲的速度比乙快，如果二人在同一地方出发，同向跑，则 3 分20 秒，相遇一次，若反向跑，则 40 秒相遇，求甲跑步的速度每秒跑多少米？3.甲、乙二人在
15、长为 400 米的圆形跑道上跑步，已知甲每秒钟跑 9 米，乙每秒钟跑 7 米(1)当两人同时同地背向而行时，经过几秒钟两人首次相遇？(2)两人同时同地同向而行时，经过几秒钟两人首次相遇4.一环形公路周长是 24 千米,甲乙两人从公路上的同一地点同一时间出发,背向而行,3 小时后.他们相遇.已知甲每小时比乙慢 0.5 千米,求甲、乙两人速度各是多少?5.某市举行环城自行车赛,一圈 7 千米,甲的速度是乙的速度的 75,出发后来 1 6小时,两人第二次相遇.问:甲、乙二人每分钟相差多少千米?（六）折返问题1.某校学生列队以 8 千米/时的速度前进，在队尾，校长让一名学生跑步到队伍的最前面找带队老师
16、传达一个指示，然后立即返回队尾，这位学生的速度为 12 千米/时，从队尾出发赶到排头又回到队尾共用了 7.2 分钟，问学生队伍的长是多少米?2.某人骑自行车以每小时 10 千米的速度从甲地到乙地,返回时因事绕道而行,比去时多走 8 千米的路.虽然行车的速度增加到每小时 12 千米,但比去时还多用了 10 分钟.求甲、乙两地的距离.3.小王骑车从 A 地到 B 地共用了 4 小时.从 B 地返回 A 地,他先以去时的速度骑车行 2 小时, 后因车出了毛病,修车耽误了半小时,接着他用比原速度每小时快 6 千米的速度回到 A 地,结果返程比去时少用了 10 分钟.求小王5从 A 地到 B 地的骑车速
17、度.4.汽车从 A 地往 B 地送货.如果往返都以每小时 60 千米的速度行驶,那么可以按时返回.可是当司机到达 B 地后才发现,从 A 地到 B 地每小时只走了 55 千米,为了按时返回 A 地,汽车应以多大速度往回开?（七）其他行程问题1.从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用 3.6 小时，已知步行速度为每小时 8 千米，公交车的速度为每小时40 千米，设甲乙两地相距 x 千米，则列方程为_。2. 某人从家里骑自行车到学校。若每小时行 15 千米，可比预定的时间早到 15 分钟；若每小时行 9 千米，可比预定的时间晚到 15 分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？3. 某人乘车行 121
18、千米 的路程,一共用了 3 小时.第一段路程每小时行 42 千米,第二段每小时行 38 千米,第三段每小时行 40 千米.第三段路程为 20 千米,第一段和第二段路程各有多少千米？4.有两支成分不同且长度相等的蜡烛,其中一支 3 小时可燃烧完,另一支 4 小时燃烧完.现在要求到下午四点钟时,其中一支蜡烛的剩余部分恰是另一支剩余部分的二倍,问应在何时点燃这两支蜡烛?5.粗蜡烛和细蜡烛长短一样,粗蜡烛可以点 5 小时,细蜡烛可以点 4 小时.同时点燃这两支蜡烛,点了一段时间后粗蜡烛比细蜡烛长 3 倍.问这两只蜡烛已点了多长时间?6.从家里骑摩托车到火车站,如果每小时行 30 千米,那么比开车时间早
19、到 15 分钟;如果每小时行 18 千米,那么比开车时间迟到 15 分钟.现在打算在开车时间前 10 分钟到达,那么骑摩托车的速度应该是多少 ?18、好马走 15 天的路程,劣马需走 30 天,已知劣马每天走 150 千米,问好马每天走多少千米?7.某工人每天早晨在同一时刻从家骑自行车去工厂,如果以每小时 16 千米的速度行驶,可在工厂上班时刻前 15分钟到工厂;如果以每小时 9.6 千米的速度行驶,则在工厂上 班时刻后 15 分钟到工厂.(1) 求这位工人家到工厂的距离. (2) 这位工人每天早晨以每小时 16 千米的速度行驶,在工厂上班时刻前多少小时从家里出发,可在上班前 15 分钟到工厂
20、? 8.甲乙两人登一座山，甲每分登高 10 米并且先出发 30 分，乙分每登高 15 米，两人同时登上山顶。甲用多少时间登上山顶？这座山有多高？三、工程问题：工程问题中的三个量及其关系为：个体工作量=个体工作时间个体工作效率总工作量=各个个体量的和经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位 1。例 1 一件工程，甲独做需 15 天完成，乙独做需 12 天完成，现先由甲、乙合作 3 天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？例题 2：一件工作，甲单独做 20 小时完成，乙单独做 12 小时完成。那么两人合作多少小时完成？设两人合作 x 小时完成此工作，依题意可得
21、：x/20+x/12=1解之得：x=7.56答：两人合作 7.5 小时完成。变式 1： 一件工作，甲单独做 20 小时完成，乙单独做 12 小时完成。甲先单独做 4 小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成？分析 1：此工作分两步完成的，故有相等关系：甲先单独完成的工作量+两人合作完成的工作量=完成的工作总量解法一：设两人合作还需 x 小时完成此工作，依题意可得：4/20+（1/20+1/12）x=1解之得：x=6答：两人合作还要 6 小时完成。分析 2：此工作由甲、乙两人完成的，故有相等关系：甲共完成的工作量+乙完成的工作量=完成的工作总量解法二：设两人合作还需 x 小时完成此工作
22、，依题意可得：（4+x）/20+x/12=1解之得：x=6答：两人合作还要 6 小时完成。变式 2：一件工作，甲单独做 20 小时完成，乙单独做 12 小时完成。甲先单独做 4 小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成此工作的 2/3？分析；本题目在前者的基础上仅改变了完成的工作总量，故由此易建立方程：74/20+（1/20+1/12）x=2/3解法：略变式 3：一件工作，甲单独做 20 小时完成，乙单独做 12 小时完成。甲先单独做 4 小时，然后乙加入合作，那么共要多少小时完成此工作的 2/3？分析：本题目在前者的基础上改变了未知量，弄清问题中是总的时间，要特别注意。相等关系：甲
23、共完成的工作量+乙完成的工作量=完成的工作总量解：设共需 x 小时完成此工作，依题意可得：x/20+（x4）/12=2/3解之得：x=7.5 答：共要 7.5 小时完成此工作的 2/3。变式 4：一件工作，甲单独做 20 小时完成，甲、乙合做 7.5 小时完成。甲先单独做 4 小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成？分析：本题目在例题的基础上改变了已知量，容易得到甲的工作效率、两人合作的工作效率。相等关系：甲先单独完成的工作量+两人合作完成的工作量=完成的工作总量解：设两人合作还需 x 小时完成此工作，依题意可得：4/20+x/7.5=1解之得：x=6答：两人合作还要 6 小时完成
24、。8变式 5：一件工作，甲单独做 20 小时完成，甲、乙合做 7.5 小时完成。甲先单独做 4 小时，余下的乙单独做，那么乙还要多少小时完成？分析：本题目在例题的基础上改变了已知量，容易得到甲的工作效率、两人合作的工作效率。但还要求出乙的工作效率：1/7.51/20相等关系：甲先单独完成的工作量+ 乙单独完成的工作量=完成的工作总量解：设乙还需 x 小时完成此工作，依题意可得：4/20+（1/7.51/20）x=1解之得：x=9.6 答：乙还要 9 小时 36 分完成。变式 6：一件工作，甲单独做 20 小时完成，甲、乙合做 3 小时完成此工作的 2/5。现在甲先单独做 4 小时，然后乙加入合
25、做 2 小时后，甲因故离开，余下的部分由乙单独完成，那么共用多少小时完成此项工作？分析：此题涉及到前面几个题目中的变化，且完成方式更为复杂化。但明确等量关系仍然不变：（1）此工作分三步完成的，故有：甲先单独完成的工作量+两人合作完成的工作量+乙单独完成的工作量=完成的工作总量（2）此工作由甲乙二人完成的，故有：甲共完成的工作量+乙共完成的工作量=完成的工作总量类比前面变式练习便可解出此题：解法 1：设共需 x 小时完成此工作，依题意可得：4/20+2（2/53）+（x-4-2）（2/53-1/20）=19解之得：x=12.4 答：共要 12 小时 24 分钟完成此工作。解法 2：设共需 x 小
26、时完成此工作，依题意可得：（4+2）/20+（x4）（2/53-1/20）=1解之得：x=12.4 答：共要 12 小时 24 分钟完成此工作。反思：通过设计变式练习，可以脱离就题论题的模式，让学生从题海中逃匿，很轻松地就能理解此类题目，且能达到举一反三之功效。同时通过问题的循序渐进、由简到繁，让学生明确题目的演变过程，揭开了综合性较强的题目的神秘面纱，从而形成“析问题，抓本质”的习惯，增强战胜困难的信心和智慧。（一）具体工作问题1.整理一批图书，由一个人做要 40 小时完成。现计划由一部分人先做 4 小时，再增加 2 人和他们一起做 8 小时，完成这项工作。假设这些人的工作效率相同，具体先安
27、排多少人工作。2.某车间加工 30 个零件，甲工人单独做，能按计划完成任务，乙工人单独做能提前一天半完成任务，已知乙工人每天比甲工人多做 1 个零件，问甲工人每天能做几个零件？原计划几天完成？3.两个班组工人，按计划本月应共生产 680 个零件，实际第一组超额 20、第二组超额 15完成了本月任务，因此比原计划多生产 118 个零件。问本月原计划每组各生产多少个零件？4.为了搞好水利建设，某村计划修建一条长 800 米，横断面是等腰梯形的水渠.（1）设计横断面面积为 1.6 米 2，渠深 1 米，水渠的上口宽比渠底多 0.8 米，求水渠上口宽和渠底宽；（2）某施工队承建这项工程，计划在规定的时
28、间内完成，工作 4 天后，改善了设备，提高了工效，每天比原计划多挖水渠 10 米，结果比规定的时间提前 2 天完成任务，求计划完成这项工程需要的天数。5.某人承做一批零件，原计划每天做 40 个，可按期完成任务，由于改进工艺，工作效率提高了 20%，结果不但提前了 16 天完成，而且超额完成了 32 件，求原来预定几天完成？原计划共做多少零件？5.一艘轮船发生漏水事故,海水以每分钟 24 桶的速度涌进底舱,发现时已漏进 600 桶海水.水手立即开动两部抽水机向外抽水,经 50 分钟将舱内的水抽完,已知甲机抽水量是乙机的 54,问甲、乙两机每分钟各抽水多少桶?6.一批材料,原计划用 6 辆汽车
29、12 次运完,为了提前完成任务,再增加 3 辆汽车,问几次可以运完?7.修一条路,原计划每天修 75 米,20 天修完,实际每天计划多修 2 ,问可以提前几天修完?10（二）总工作量看成“1”的问题1.一项工程，甲单独做需要 10 天完成，乙单独做需要 15 天完成，两人合作 4 天后，剩下的部分由乙单独做，需要几天完成？2.某工程由甲、乙两队完成，甲队单独完成需 16 天，乙队单独完成需 12 天。如先由甲队做 4 天，然后两队合做，问再做几天后可完成工程的六分之五？3.有一个水池，用两个水管注水。如果单开甲管，2 小时 30 分注满水池，如果单开乙管，5 小时注满水池。 如果甲、乙两管先同
30、时注水 20 分钟，然后由乙单独注水。问还需要多少时间才能把水池注满？ 假设在水池下面安装了排水管丙管，单开丙管 3 小时可以把一满池水放完。如果三管同时开放，多少小时才能把一空池注满水？4一件工作，甲单独做 20 个小时完成，乙单独做 12 小时完成，现在先由甲单独做 4 小时，剩下的部分由甲、乙合做。剩下的部分需要几小时完成？5一件工作，甲单独做 20 个小时完成，乙单独做 12 小时完成，现在先由甲单独做 4 小时，剩下的部分由甲、乙合做。剩下的部分需要几小时完成？6.某工作由甲、乙两队单独做分别需要 3 小时、5 小时，求两人合做这项工作的 80%需要几小时？7一项工程，甲队单独施工
31、15 天完成，乙队单独施工 9 天完成，现在由甲队先工作 3 天，剩下的由甲、乙两队合作，还需几天可以完成？8甲，乙两工程队，单独铺设一段管道分别 需要 20 天、25 天。现由甲队铺设 5 天，余下的部分两队合作，还需多少天铺好？9. 修筑一条公路，甲工程队单独承包要 80 天完成，乙工程队单独承包要 120 天完成,现在由两个工程队合作承包，如果甲、乙两工程队合作了 30 天后，因甲工作队另有任务，剩下工作由乙工作队完成，则修好这条公路共需要几天？ 10. 修筑一条公路，甲工程队单独承包要 80 天完成，乙工程队单独承包要 120 天完成,现在由两个工程队合作承包，几天可以完成？11.一项工程，甲单独做 20 天完成，乙单独做 10 天完成，现在由乙先独做几天后，剩下的部分由甲独做，先后共话 12 天完成，问乙做了几天？12.甲、乙两个工程队合做一项工程,乙队单独做一天后,由甲、乙两队合做两天后就完成了全部工程.已知甲队单独做所需天数是乙队单独做所需天数的 32,问甲、乙两队单独做,各需多少天?13.某工作,甲单独干需用 15 小时完成,乙单独干需用 12 小时完成,若甲先干 1 小时、乙又单独干 4 小时,剩下
